因式分解

Y1、讲故事：

下定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

（八年级上册第194页）

分解的对象：多项式

问题1：什么是多项式？

研究多项式的常规角度有哪些？

分解的结果：[整式] 单项式、多项式

[运算] 乘法

问题2：什么是整式？

问题3：分解的结果中，能不能都是单项式？为什么？

问题4：分解的结果中，能不能有两个或两个以上的单项式？为什么？

问题5：分解的结果中，能不能全是多项式？

Y2、结构

构成：

本质：[等式] 等号左边的多项式＝等号右边的不能再因式分解的几个整式的乘积

      [方程的解] 方程中未知数的解为全体实数

重要的组成部分：分解结果中至少含有一个多项式；有且仅有一个单项式。

部分与整体的联系：分解结果中的单项式是分解对象多项式各项的公因式。

Y3、分类

     

 

Y4、条件、特征

1、一元二次三项式能在实数范围内因式分解的条件：

证明： ∵    （配方法）

∴ 当时：

             

2、因式分解的方法

3、如何提取公因式

① 多项式的各项都有一个公共的因式。公因式可以是单项式，也可以是多项式。

② 如何提取单项式公因式（八年级上册第195页例1的分析）

[系数] [系数符号]   提公因式后保证多项式的最高次项的系数为正数。

[系数绝对值] 各项系数绝对值的最大公因数

[字母] 多项式各项公有的字母

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因式分解方法技巧

分解因式的常用方法：一提二用三查 ，即先考虑各项有无公因式可提；再考虑能否运用公式来分解；最后检查每个因式是否还可以继续分解，以及分解的结果是否正确。

常见错误：

1、漏项，特别是漏掉

2、变错符号，特别是公因式有负号时，括号内的符号没变化

［例题］把下列各式因式分解：

1. x(y-x)+y(y-x)-(x-y)2 a5-a 3(x2-4x)2-48

2[解析]1中(x-y)=(y-x)2 ,可以直接提取公因式(y-x);2、3中先提取公因式，再用平方差公式分

解

[答案]1、 原式=x(y-x)+y(y-x)-(y-x)2

=(y-x)[x+y-(y-x)]

=2y(y-x)

2、 a5-a=a(a4-1)=a(a2+1)(a2-1)=a(a2+1)(a+1)(a-1)

3、原式=3[(x2-4x)-16]=3(x2-4x+4)(x2-4x-4)=3(x-2)2 (x2-4x-4)

练习

1、3x?12x3 2222、2a(x?1)?2ax 3、3a?6a 2

4、56x3yz+14x2y2z－21xy2z2 5、－4a3＋16a2b－26ab2 6、m4?16n4

专题二 二项式的因式分解:二项式若能分解，就一定要用到两种方法：1提公因式法 2平方差公式法。先观察二项式的两项是否有公因式，然后再构造平方差公式，运用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)时，关键是正确确定公式中a,b所代表的整式，将一个数或者一个整式化成整式，然后通过符号的转换找到负号，构成平方差公式，记住要分解彻底。

平方差公式运用时注意点：

根据平方差公式的特点：当一个多项式满足下列条件时便可用平方差公式分解因式：

A、 多项式为二项式或可以转化成二项式；

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因式分解的方法(初中版)

     因式分解是初中一个重点，它牵涉到分式方程，一元二次方程，所以很有必要学会一些基本的因式分解的方法。下面列举了九种方法，希望对大家的学习能有所帮助。

1】提取公因式

 这种方法比较常规、简单，必须掌握。

常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等

例一：-3x=0

解：x(2x-3)=0

  =0,=3/2

这是一类利用因式分解的方程。

总结：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式

这对我们后面的学习有帮助。

2】公式法

将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。

常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等

注意：使用公式法前，建议先提取公因式。

例二：-4分解因式

分析：此题较为简单，可以看出4=2 ²，适用平方差公式a ² -b ² =(a+b)(a-b) ²

解：原式=(x+2)(x-2)

3】十字相乘法

是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意：它不难。

这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数的积，把常数项c分解成两个因数的积，并使正好是一次项b，那么可以直接写成结果

　例三： 把-7x+3分解因式.

　　分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.

　　分解二次项系数(只取正因数)：

　　2＝1×2＝2×1；

　　分解常数项：

　　3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).

　　用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

　　1 1

　　╳

　　2 3

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因式分解的十二种方法 :

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：

1、 提公因法

如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、 分解因式x -2x -x(20xx淮安市中考题)

x -2x -x=x(x -2x-1)

2、 应用公式法

由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b (20xx南通市中考题)

解：a +4ab+4b =（a+2b）

3、 分组分解法

要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)

例3、分解因式m +5n-mn-5m

解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n

= (m -5m )+(-mn+5n)

=m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n)

4、 十字相乘法

对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6

分析： 1 -3

7 2

2-21=-19

解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)

5、配方法

对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x +3x-40

解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40

=(x+ ) -( )

=(x+ + )(x+ - )

=(x+8)(x-5)

6、拆、添项法

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因式分解方法总结

一、定义

定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）.

因式分解与整式乘法为相反变形，同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤.

二、因式分解三原则

1．分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）

2．最后结果只有小括号

3．最后结果中多项式首项系数为正（例如：）

三、基本方法

（一）提公因式法 

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法.

找公因式的一般步骤：

（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；

（2）取相同的字母，字母的指数取次数最低的；

（3）取相同的多项式，多项式的指数取次数最低的；

（4）所有这些因式的乘积即为公因式.

（5）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数，提出“-”号时，多项式的各项都要变号.

口诀：找准公因式，一次要提尽；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶.

例如：                                                                                                                                                                                               

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例说因式分解的方法与技巧

广东石油化工学院高州师范学院308数学（1）班  梁贻云

     【摘要】多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，也是代数式恒等变形的一个重要组成部分。因式分解在代数的运算、解方程等方面都有极其广泛的应用。本文阐述了因式分解概念，并详细地介绍了因式分解的方法

     【关键词】     多项式  因式分解   应用

因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的

解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习

的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注

意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。

一、  多项式分解的定义

   把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分

解，也叫做分解因式。

二、  多项式因式分解的方法

（一）提公因式法

定义： 把多项式中每项都含有的公因式提出来，从而把多项式化成两

因式相乘的形式叫提公因数法。

.     提公因式法基本步骤：

1.找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；

     2.提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式    

除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

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因式分解的常用方法

第一部分：方法介绍

　　多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

　（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；

　(2)  (a±b)2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=(a±b)2；

　(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------  a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

　(4)  (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

下面再补充两个常用的公式：

　(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

　(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

例.已知是的三边，且，

则的形状是（  ）

A.直角三角形   B等腰三角形  C 等边三角形  D等腰直角三角形

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