例说因式分解的方法与技巧
广东石油化工学院高州师范学院308数学（1）班 梁贻云
【摘要】多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，也是代数式恒等变形的一个重要组成部分。因式分解在代数的运算、解方程等方面都有极其广泛的应用。本文阐述了因式分解概念，并详细地介绍了因式分解的方法
【关键词】 多项式 因式分解 应用
因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的
解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习
的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注
意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
一、 多项式分解的定义
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分
解，也叫做分解因式。
二、 多项式因式分解的方法
（一）提公因式法
定义： 把多项式中每项都含有的公因式提出来，从而把多项式化成两
因式相乘的形式叫提公因数法。
. 提公因式法基本步骤：
1.找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；
2.提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式
除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
例1 
；
（二）运用公式法
平方差公式：
；
完全平方公式：
；
立方和公式：
；
立方差公式：
；
完全立方公式：
运用公式分解因式，就是把一些形如公式的多项式按公式的形式分解成几个
因式的乘积的形式的方法。
在运用乘法公式分解因式时，一定要熟练掌握几个乘法公式，并且把所有要分解的多项式和公式进行对比，观察多项式中的哪一项相当于公式中的哪个字母，同时还要注意它的符号，以免带来错误的解法。
（三） 分组分解法
分组分解法是先根据多项式的特点，将其恰当分组，然后各组分别变形，
如在每组中提公因式，再在各组间提公因式，从而实现分解因。
比如：
=
=
我们把
和
分一组，
和
分一组，利用乘法分配律，两两相配，
立即解除了困难。同样，这道题也可以这样做
=
=
（四）十字相乘法
十字相乘法实际上是借助十字交叉分解系数，建立的十字交叉线图，既直观
又易于比较系数之间的关系，尤其方便调整因数 ，使之达到分解因式的目的，
这种方法体现了数学中的一种思想，那就是数形结合的思想。
如果有
，
，且有
时，那么
例2：因为
1 -3
×
7 2
-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，
所以
（五）求根公式法
令多项式
,求出其根为
……
，则该多项式可分解为
……
．
例如在分解
时，令
=0
则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1． 所以=
（六）配方法
对于直接用十字相乘法比较难的二次三项式的因式分解问题，我们也可以考虑用配方法进行分解。
配方法是数学中极其重要的一个方法，在代数式中利用添项的方法，给原来的多项式配上适当部分，是添加后的多项式的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫配方法。
例3：
=
=
=
．
（七）待定系数法
待定系数法求解函数解析式的有效方法，也是分解因式的强有力工具，用
待定系数法分解因式，首先要根据题设条件制定原式分解后所成的因式乘积的形式，然后再到方程确定待定系数的值。
例4．
解：用待定系数法：设 =
把右边展开，合并同类项（把同类项对齐），得 =
用恒等式的性质，比较同类项系数，∴=
本题也可用换元法： 设
, 那么
把左边关于
的多项式化为关于
的多项式，最后再把换成 －1待定系数法的关键是首先判断分解的形式，要求解题者具有较强的预见性。
（八）换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意:换元后勿忘还元.
例5 在分解
时，可以令
,则
解： 原式=
=
=
=
=
=
三、多项式因式分解的特点
结果的对称型：由于一个多项式的可约与不可约都是相对于某个数域而言的，因此一道因式分解题究竟分解到何时才算是结局，应是给定数域而异。
对于定义域上的多项式的因式分解，在高等代数中已经证明了这种分解的结果除常数因式外是唯一的。
四、因式分解四个注意
因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。 现举下例 可供参考
例6 把
分解因式。
解：＝－
＝－
这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如
=
＝
的错误
例2把
分解因式。
解：=
这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公 因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每
一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如
＝
的错误。
考试时应注意： 在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了
五 、多项式因式分解的一般步骤
（一）如果多项式的各项有公因式，那先提公因式；
（二）如果各项没有公因式，那么可尝试用公式或十字相乘法来分解；
（三）如果上述方法不能分解，那么可尝试用分组、待定系数法或换元等方法来分解。
六、多项式因式分解的应用
在数学中，因式分解是一种基本的恒等变形，在公式的计算、解方程、
解不等式、等式的证明等中却是不可缺少的一种工具
参考文献:
[1］《义务教育课程标准实验教科书?数学》 北师大版八年级下册第二章
[2］《中学数学杂志》 20##年第三期第22页到第23页
[3］郭思乐《怎样学好初中数学》 广东科技出版社
[4］孙国良《新教程与初中数学教学》北京师联教育科学研究所
[5］许纯舫《初中代数学习指导》中国青年出版社
第二篇：因式分解的方法技巧
因式分解的常用方法
第一部分：方法介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．
一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、运用公式法.
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；
(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=(a±b)2；
(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．
下面再补充两个常用的公式：
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
例.已知
是
的三边，且
，
则的形状是（ ）
A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形
解：
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=
=
每组之间还有公因式！
=
例2、分解因式：
解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。 第二、三项为一组。
解：原式=
原式=
=
=
=
=
练习：分解因式1、
2、
（二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：
分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式=
=
=
例4、分解因式：
解：原式=
=
=
练习：分解因式3、
4、
综合练习：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——
进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
思考：十字相乘有什么基本规律？
例.已知0＜
≤5，且为整数，若
能用十字相乘法分解因式，求符合条件的.
解析：凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c，都要求
>0而且是一个完全平方数。
于是
为完全平方数，
例5、分解因式：
分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2
解：=
1 3
=
1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式：
解：原式=
1 -1
=
1 -6
（-1）+（-6）= -7
练习5、分解因式(1)
(2)
(3)
练习6、分解因式(1)
(2)
(3)
（二）二次项系数不为1的二次三项式——
条件：（1）
（2）
（3）
分解结果：=
例7、分解因式：
分析： 1 -2
3 -5
（-6）+（-5）= -11
解：=
练习7、分解因式：（1）
（2）
（3）
（4）
（三）二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式：
分析：将
看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1 8b
1 -16b
8b+(-16b)= -8b
解：=
=
练习8、分解因式(1)
(2)
(3)
（四）二次项系数不为1的齐次多项式
例9、
例10、
1 -2y 把
看作一个整体 1 -1
2 -3y 1 -2
(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3
解：原式=
解：原式=
练习9、分解因式：（1）
（2）
综合练习10、（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
思考：分解因式：
五、换元法。
例13、分解因式（1）
（2）
解：（1）设2005=，则原式=
=
=
（2）型如
的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=
设
，则
∴原式=
=
=
=
练习13、分解因式（1）
（2）
（3）
例14、分解因式（1）
观察：此多项式的特点——是关于
的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。
方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：原式=
=
设
，则
∴原式=
=
=
=
=
=
=
（2）
解：原式=
=
设
，则
∴原式=
=
=
=
练习14、（1）
（2）
六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式（1）
解法1——拆项。 解法2——添项。
原式=
原式=
=
=
=
=
=
=
=
=
（2）
解：原式=
=
=
=
练习15、分解因式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
七、待定系数法。
例16、分解因式
分析：原式的前3项
可以分为
，则原多项式必定可分为
解：设=
∵=
∴=
对比左右两边相同项的系数可得
，解得
∴原式=
例17、（1）当
为何值时，多项式
能分解因式，并分解此多项式。
（2）如果
有两个因式为
和
，求
的值。
（1）分析：前两项可以分解为
，故此多项式分解的形式必为
解：设=
则=
比较对应的系数可得：
，解得：
或
∴当
时，原多项式可以分解；
当
时，原式=
；
当
时，原式=
（2）分析：是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如
的一次二项式。
解：设=
则=
∴
解得
，
∴=21
练习17、（1）分解因式
（2）分解因式
（3） 已知：
能分解成两个一次因式之积，求常数
并且分解因式。
（4） 
为何值时，
能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。
第二部分：习题大全
经典一：
一、填空题
1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫做把这个多项式分解因式。
2分解因式： m3-4m= .
3.分解因式： x2-4y2= __ _____.
4、分解因式：
=___________ ______。
5.将xn-yn分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y)，则n的值为 .
6、若
，则
=_________，
=__________。
二、选择题
7、多项式
的公因式是( )
A、
B、
C、
D、
8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )
A、
B、
C、
D、
10.下列多项式能分解因式的是（ ）
(A)x2-y (B)x2+1 (C)x2+y+y2 (D)x2-4x+4
11．把（x－y）2－（y－x）分解因式为（ ）
A．（x－y）（x－y－1） B．（y－x）（x－y－1）
C．（y－x）（y－x－1） D．（y－x）（y－x＋1）
12．下列各个分解因式中正确的是（ ）
A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3c）
B．（a－b）2－（b－a）2＝（a－b）2（a－b＋1）
C．x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋y－1）
D．（a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）2＝（a－2b）（11b－2a）
13.若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为（ ）
A.2 B.4 C.2y2 D.4y2
三、把下列各式分解因式：
14、
15、
16、
17、
18、
19、
；
五、解答题
20、如图，在一块边长=6.67cm的正方形纸片中，挖去一个边长=3.33cm的正方形。求纸片剩余部分的面积。
21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径
，外径
长
。利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？(
取3.14，结果保留2位有效数字)
22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5)个等式。
经典二：
因式分解小结
知识总结归纳
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。
1. 因式分解的对象是多项式；
2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；
3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；
4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；
5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；
6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；
7. 因式分解的一般步骤是：
（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；
下面我们一起来回顾本章所学的内容。
1. 通过基本思路达到分解多项式的目的
例1. 分解因式
分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把
分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把
，
，
分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。
解一：原式
解二：原式=
2. 通过变形达到分解的目的
例1. 分解因式
解一：将
拆成
，则有
解二：将常数
拆成
，则有
3. 在证明题中的应用
例：求证：多项式
的值一定是非负数
分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。
证明：
设
，则
4. 因式分解中的转化思想
例：分解因式：
分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。
解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B
说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。
中考点拨
例1.在
中，三边a,b,c满足
求证：
证明：
说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。
例2. 已知：
__________
解：
说明：利用
等式化繁为易。
题型展示
1. 若x为任意整数，求证：
的值不大于100。
解：
说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。
2. 将
解：
说明：利用因式分解简化有理数的计算。
实战模拟
1. 分解因式：
2. 已知：
的值。
3. 矩形的周长是28cm，两边x,y使
，求矩形的面积。
4. 求证：
是6的倍数。（其中n为整数）
5. 已知：a、b、c是非零实数，且
，求a+b+c的值。
6. 已知：a、b、c为三角形的三边，比较
的大小。
经典三：因式分解练习题精选
一、填空：（30分）
1、若
是完全平方式，则的值等于_____。
2、
则=____
=____
3、
与
的公因式是＿
4、若
=
，则m=_______，n=_________。
5、在多项式
中，可以用平方差公式分解因式的
有________________________ ，其结果是 _____________________。
6、若
是完全平方式，则m=_______。
7、
8、已知
则
9、若
是完全平方式M=________。
10、
， 
11、若
是完全平方式，则k=_______。
12、若
的值为0，则
的值是________。
13、若
则=_____。
14、若
则
___。
15、方程
，的解是________。
二、选择题：（10分）
1、多项式
的公因式是（ ）
A、－a、 B、
C、
D、
2、若
，则m，k的值分别是（ ）
A、m=—2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=—4，k=—12、D m=4，k=12、
3、下列名式：
中能用平方差公
式分解因式的有（ ）
A、1个，B、2个，C、3个，D、4个
4、计算
的值是（ ）
A、
B、
三、分解因式：（30分）
1 、
2 、 
3 、 
4、
5、
6、
7、
8、
9 、
10、
四、代数式求值（15分）
1、 已知
，
，求 
的值。
2、 若x、y互为相反数，且
，求x、y的值
3、 已知
，求
的值
五、计算： （15）
（1） 0.75
（2） 
（3）
六、试说明：（8分）
1、对于任意自然数n，
都能被动24整除。
2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积。
七、利用分解因式计算（8分）
1、一种光盘的外D=11.9厘米，内径的d=3.7厘米，求光盘的面积。（结果保留两位有效数字）
2、正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米，其面积相差960平方厘米求这两个正方形的边长。
八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进行了描述：
甲：这是一个三次四项式
乙：三次项系数为1，常数项为1。
丙：这个多项式前三项有公因式
丁：这个多项式分解因式时要用到公式法
若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式，并将它分解因式。（4分）
经典四：
因式分解
一、 选择题
1、代数式a3b2－a2b3, a3b4＋a4b3,a4b2－a2b4的公因式是（ ）
A、a3b2 B、a2b2 C、a2b3 D、a3b3
2、用提提公因式法分解因式5a(x－y)－10b·(x－y)，提出的公因式应当为（ ）
A、5a－10b B、5a＋10b C 、5(x－y) D、y－x
3、把－8m3＋12m2＋4m分解因式，结果是（ ）
A、－4m(2m2－3m) B、－4m(2m2＋3m－1)
C、－4m(2m2－3m－1) D、－2m(4m2－6m＋2)
4、把多项式－2x4－4x2分解因式，其结果是（ ）
A、2(－x4－2x2) B、－2(x4＋2x2) C、－x2(2x2＋4) D、 －2x2(x2＋2)
5、（－2）1998＋（－2）1999等于（ ）
A、－21998 B、21998 C、－21999 D、21999
6、把16－x4分解因式，其结果是（ ）
A、(2－x)4 B、(4＋x2)( 4－x2)
C、(4＋x2)(2＋x)(2－x) D、(2＋x)3(2－x)
7、把a4－2a2b2＋b4分解因式，结果是（ ）
A、a2(a2－2b2)＋b4 B、(a2－b2)2 C、(a－b)4 D、(a＋b)2(a－b)2
8、把多项式2x2－2x＋分解因式，其结果是（ ）
A、(2x－)2 B、2(x－)2 C、(x－)2 D、 (x－1)2
9、若9a2＋6(k－3)a＋1是完全平方式，则 k的值是（ ）
A、±4 B、±2 C、3 D、4或2
10、－（2x－y）(2x＋y)是下列哪个多项式分解因式的结果（ ）
A、4x2－y2 B、4x2＋y2 C、－4x2－y2 D、－4x2＋y2
11、多项式x2＋3x－54分解因式为（ ）
A、(x＋6)(x－9) B、(x－6)(x＋9)
C、(x＋6)(x＋9) D、 (x－6)(x－9)
二、填空题
1、2x2－4xy－2x = _______(x－2y－1)
2、4a3b2－10a2b3 = 2a2b2(________)
3、(1－a)mn＋a－1=(________)(mn－1)
4、m(m－n)2－(n－m)2 =(__________)(__________)
5、x2－(_______)＋16y2=( )2
6、x2－(_______)2=(x＋5y)( x－5y)
7、a2－4(a－b)2=(__________)·(__________)
8、a(x＋y－z)＋b(x＋y－z)－c(x＋y－z)= (x＋y－z)·(________)
9、16(x－y)2－9(x＋y)2=(_________)·(___________)
10、(a＋b)3－(a＋b)=(a＋b)·(___________)·(__________)
11、x2＋3x＋2=(___________)(__________)
12、已知x2＋px＋12=(x－2)(x－6)，则p=_______.
三、解答题
1、把下列各式因式分解。
(1)x2－2x3 (2)3y3－6y2＋3y
(3)a2(x－2a)2－a(x－2a)2 (4)(x－2)2－x＋2
(5)25m2－10mn＋n2 (6)12a2b(x－y)－4ab(y－x)
(7)(x－1)2(3x－2)＋(2－3x) (8)a2＋5a＋6
(9)x2－11x＋24 (10)y2－12y－28
(11)x2＋4x－5 (12)y4－3y3－28y2
2、用简便方法计算。
（1）9992＋999 （2）2022－542＋256×352
(3)
3、已知：x＋y=
,xy=1.求x3y＋2x2y2＋xy3的值。
四、探究创新乐园
1、若a－b=2,a－c=,求(b－c)2＋3(b－c)＋
的值。
2、求证：1111－1110－119=119×109
经典五：
因式分解练习题
一、填空题：
2．(a－3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)；
12．若m2－3m＋2=(m＋a)(m＋b)，则a=______，b=______；
15．当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式．
二、选择题：
1．下列各式的因式分解结果中，正确的是
[ ]
A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a)
B．3x2y－3xy－6y=3y(x－2)(x＋1)
C．8xyz－6x2y2＝2xyz(4－3xy)
D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a＋2b－3c)
2．多项式m(n－2)－m2(2－n)分解因式等于
[ ]
A．(n－2)(m＋m2) B．(n－2)(m－m2)
C．m(n－2)(m＋1) D．m(n－2)(m－1)
3．在下列等式中，属于因式分解的是
[ ]
A．a(x－y)＋b(m＋n)＝ax＋bm－ay＋bn
B．a2－2ab＋b2＋1=(a－b)2＋1
C．－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b)
D．x2－7x－8=x(x－7)－8
4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是
[ ]
A．a2＋b2 B．－a2＋b2
C．－a2－b2 D．－(－a2)＋b2
5．若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式，那么m的值是
[ ]
A．－12 B．±24
C．12 D．±12
6．把多项式an+4－an+1分解得
[ ]
A．an(a4－a) B．an-1(a3－1)
C．an+1(a－1)(a2－a＋1) D．an+1(a－1)(a2＋a＋1)
7．若a2＋a＝－1，则a4＋2a3－3a2－4a＋3的值为
[ ]
A．8 B．7
C．10 D．12
8．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么x，y的值分别为
[ ]
A．x=1，y=3 B．x=1，y=－3
C．x=－1，y=3 D．x=1，y=－3
9．把(m2＋3m)4－8(m2＋3m)2＋16分解因式得
[ ]
A．(m＋1)4(m＋2)2 B．(m－1)2(m－2)2(m2＋3m－2)
C．(m＋4)2(m－1)2 D．(m＋1)2(m＋2)2(m2＋3m－2)2
10．把x2－7x－60分解因式，得
[ ]
A．(x－10)(x＋6) B．(x＋5)(x－12)
C．(x＋3)(x－20) D．(x－5)(x＋12)
11．把3x2－2xy－8y2分解因式，得
[ ]
A．(3x＋4)(x－2) B．(3x－4)(x＋2)
C．(3x＋4y)(x－2y) D．(3x－4y)(x＋2y)
12．把a2＋8ab－33b2分解因式，得
[ ]
A．(a＋11)(a－3) B．(a－11b)(a－3b)
C．(a＋11b)(a－3b) D．(a－11b)(a＋3b)
13．把x4－3x2＋2分解因式，得
[ ]
A．(x2－2)(x2－1) B．(x2－2)(x＋1)(x－1)
C．(x2＋2)(x2＋1) D．(x2＋2)(x＋1)(x－1)
14．多项式x2－ax－bx＋ab可分解因式为
[ ]
A．－(x＋a)(x＋b) B．(x－a)(x＋b)
C．(x－a)(x－b) D．(x＋a)(x＋b)
15．一个关于x的二次三项式，其x2项的系数是1，常数项是－12，且能分解因式，这样的二次三项式是
[ ]
A．x2－11x－12或x2＋11x－12
B．x2－x－12或x2＋x－12
C．x2－4x－12或x2＋4x－12
D．以上都可以
16．下列各式x3－x2－x＋1，x2＋y－xy－x，x2－2x－y2＋1，(x2＋3x)2－(2x＋1)2中，不含有(x－1)因式的有
[ ]
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
17．把9－x2＋12xy－36y2分解因式为
[ ]
A．(x－6y＋3)(x－6x－3)
B．－(x－6y＋3)(x－6y－3)
C．－(x－6y＋3)(x＋6y－3)
D．－(x－6y＋3)(x－6y＋3)
18．下列因式分解错误的是
[ ]
A．a2－bc＋ac－ab=(a－b)(a＋c)
B．ab－5a＋3b－15=(b－5)(a＋3)
C．x2＋3xy－2x－6y=(x＋3y)(x－2)
D．x2－6xy－1＋9y2=(x＋3y＋1)(x＋3y－1)
19．已知a2x2±2x＋b2是完全平方式，且a，b都不为零，则a与b的关系为
[ ]
A．互为倒数或互为负倒数 B．互为相反数
C．相等的数 D．任意有理数
20．对x4＋4进行因式分解，所得的正确结论是
[ ]
A．不能分解因式 B．有因式x2＋2x＋2
C．(xy＋2)(xy－8) D．(xy－2)(xy－8)
21．把a4＋2a2b2＋b4－a2b2分解因式为
[ ]
A．(a2＋b2＋ab)2 B．(a2＋b2＋ab)(a2＋b2－ab)
C．(a2－b2＋ab)(a2－b2－ab) D．(a2＋b2－ab)2
22．－(3x－1)(x＋2y)是下列哪个多项式的分解结果
[ ]
A．3x2＋6xy－x－2y B．3x2－6xy＋x－2y
C．x＋2y＋3x2＋6xy D．x＋2y－3x2－6xy
23．64a8－b2因式分解为
[ ]
A．(64a4－b)(a4＋b) B．(16a2－b)(4a2＋b)
C．(8a4－b)(8a4＋b) D．(8a2－b)(8a4＋b)
24．9(x－y)2＋12(x2－y2)＋4(x＋y)2因式分解为
[ ]
A．(5x－y)2 B．(5x＋y)2
C．(3x－2y)(3x＋2y) D．(5x－2y)2
25．(2y－3x)2－2(3x－2y)＋1因式分解为
[ ]
A．(3x－2y－1)2 B．(3x＋2y＋1)2
C．(3x－2y＋1)2 D．(2y－3x－1)2
26．把(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2分解因式为
[ ]
A．(3a－b)2 B．(3b＋a)2
C．(3b－a)2 D．(3a＋b)2
27．把a2(b＋c)2－2ab(a－c)(b＋c)＋b2(a－c)2分解因式为
[ ]
A．c(a＋b)2 B．c(a－b)2
C．c2(a＋b)2 D．c2(a－b)
28．若4xy－4x2－y2－k有一个因式为(1－2x＋y)，则k的值为
[ ]
A．0 B．1
C．－1 D．4
29．分解因式3a2x－4b2y－3b2x＋4a2y，正确的是
[ ]
A．－(a2＋b2)(3x＋4y) B．(a－b)(a＋b)(3x＋4y)
C．(a2＋b2)(3x－4y) D．(a－b)(a＋b)(3x－4y)
30．分解因式2a2＋4ab＋2b2－8c2，正确的是
[ ]
A．2(a＋b－2c) B．2(a＋b＋c)(a＋b－c)
C．(2a＋b＋4c)(2a＋b－4c) D．2(a＋b＋2c)(a＋b－2c)
三、因式分解：
1．m2(p－q)－p＋q；
2．a(ab＋bc＋ac)－abc；
3．x4－2y4－2x3y＋xy3；
4．abc(a2＋b2＋c2)－a3bc＋2ab2c2；
5．a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)；
6．(x2－2x)2＋2x(x－2)＋1；
7．(x－y)2＋12(y－x)z＋36z2；
8．x2－4ax＋8ab－4b2；
9．(ax＋by)2＋(ay－bx)2＋2(ax＋by)(ay－bx)；
10．(1－a2)(1－b2)－(a2－1)2(b2－1)2；
11．(x＋1)2－9(x－1)2；
12．4a2b2－(a2＋b2－c2)2；
13．ab2－ac2＋4ac－4a；
14．x3n＋y3n；
15．(x＋y)3＋125；
16．(3m－2n)3＋(3m＋2n)3；
17．x6(x2－y2)＋y6(y2－x2)；
18．8(x＋y)3＋1；
19．(a＋b＋c)3－a3－b3－c3；
20．x2＋4xy＋3y2；
21．x2＋18x－144；
22．x4＋2x2－8；
23．－m4＋18m2－17；
24．x5－2x3－8x；
25．x8＋19x5－216x2；
26．(x2－7x)2＋10(x2－7x)－24；
27．5＋7(a＋1)－6(a＋1)2；
28．(x2＋x)(x2＋x－1)－2；
29．x2＋y2－x2y2－4xy－1；
30．(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)－48；
31．x2－y2－x－y；
32．ax2－bx2－bx＋ax－3a＋3b；
33．m4＋m2＋1；
34．a2－b2＋2ac＋c2；
35．a3－ab2＋a－b；
36．625b4－(a－b)4；
37．x6－y6＋3x2y4－3x4y2；
38．x2＋4xy＋4y2－2x－4y－35；
39．m2－a2＋4ab－4b2；
40．5m－5n－m2＋2mn－n2．
四、证明(求值)：
1．已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值．
2．求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数．
3．证明：(ac－bd)2＋(bc＋ad)2=(a2＋b2)(c2＋d2)．
4．已知a=k＋3，b=2k＋2，c=3k－1，求a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ac的值．
5．若x2＋mx＋n=(x－3)(x＋4)，求(m＋n)2的值．
6．当a为何值时，多项式x2＋7xy＋ay2－5x＋43y－24可以分解为两个一次因式的乘积．
7．若x，y为任意有理数，比较6xy与x2＋9y2的大小．
8．两个连续偶数的平方差是4的倍数．