因式分解的常用方法

一、学习目标

1. 知道分解因式在解方程，解不等式及以后学习中是一项重要的数学方法。

2. 通过范例教学使学生掌握分解因式的基本方法：提取公因式法、公式法和十字相乘法；了解分解因式的其它方法。

3.通过练习提升分解因式的能力。

二．问题探究.

例1．（1）解方程x²-4x+3=0;(2)解不等式x²-4x+30

例2.试用提公因式法分解因式

(1)   (2)

例3.试用公式法分解因式

(1)  (2)

    

例4.试用十字相乘法分解下列因式.

(1)  (2)  (3)

三．拓展延伸

例5.试用主元法分解因式

例6.试用换元法分解因式（1）;

（2）.

例7．试用添项、拆项、配方法分解因式：

（1）          （2）

例8．试用待定系数法分解因式

例9.试用试除法分解因式:

例10.试用求根公式法分解因式

四．网络构建

五．资料补充（常用代数公式）.

　(1)a²-b²=(a+b)(a-b)；(2)a²±2ab+b²=(a±b)²；

　(3)a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)；(4)a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)．

  (5)(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³  (6) (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³

　(7)a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)²；

　(8)a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)；

六．课堂练习：（分解因式）

1.（1） （2）

（3） （4）

（5）             （6）

（7）         （8）

（9）       （10）

2.（1）  (2)  (3)

(4)   (5)   (6)

（7）    （8）    （9）      

（10）  (11)   (12)     

(13)     （14）  （15）

3.（1）            （2）

（3）     （4）

（5）          （6）

（7）（8）

（9）（10）

七．课后作业：分解下列因式

1．m²(p－q)－p＋q；                 2．a(ab＋bc＋ac)－abc；

3．x⁴－2y⁴－2x³y＋xy³；               4．abc(a²＋b²＋c²)－a³bc＋2ab²c²；

5．a²(b－c)＋b²(c－a)＋c²(a－b)；    6．(x²－2x)²＋2x(x－2)＋1；

7．(x－y)²＋12(y－x)z＋36z²；        8．x²－4ax＋8ab－4b²；

9．(ax＋by)²＋(ay－bx)²＋2(ax＋by)(ay－bx)；

10．(1－a²)(1－b²)－(a²－1)²(b²－1)²；

11．(x＋1)²－9(x－1)²；              12．4a²b²－(a²＋b²－c²)²；

13．ab²－ac²＋4ac－4a；              14．x³n＋y³n；

15．(x＋y)³＋125；                   16．(3m－2n)³＋(3m＋2n)³；

17.            18.

19.          20.

21.如果方程有两个根是-1，-2，求的值。

第二篇：因式分解的常用方法 精心总结版

因式分解的常用方法

第一部分：方法介绍

初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；

(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------  a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

(4)  (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

下面再补充两个常用的公式：

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

例.已知是的三边，且，

则的形状是（  ）

A.直角三角形   B等腰三角形  C 等边三角形  D等腰直角三角形

解：

 

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

练习：分解因式1、        2、

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

      解：原式=            

              =

              =

例4、分解因式：

      解：原式=

              =

              =

练习：分解因式3、   4、

综合练习：（1）  （2）

（3） （4）

（5）             （6）

（7）         （8）

（9）       （10）

（11）（12）

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；

     （2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律？

例.已知0＜≤5，且为整数，若能用十字相乘法分解因式，求符合条件的.

解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c，都要求 ＞0而且是一个完全平方数。

于是为完全平方数，

例5、分解因式：

（5）           （6）

（7）（8）

（9）（10）

思考：分解因式：

五、换元法。

例13、分解因式（1）

          （2）

解：（1）设2005=，则原式=

                         =

                         =

（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

     原式=

设，则

∴原式==

      ==

练习13、分解因式（1）

（2） 

（3）

例14、分解因式（1）

观察：此多项式的特点——是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。

方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。

解：原式==

设，则

∴原式==

      ==

      ==

      =

（2）

解：原式==

   设，则

  ∴原式==

        ==

练习14、（1）

（2）

六、添项、拆项、配方法。

例15、分解因式（1）         

解法1——拆项。                       解法2——添项。

原式=                  原式=

=     =                                        =        = =                   =

==

（2）

解：原式=

=

=

=

练习15、分解因式

（1）           （2）

（3）          （4）

（5）      （6）

七、待定系数法。

例16、分解因式

分析：原式的前3项可以分为，则原多项式必定可分为

解：设=

∵=

∴=

对比左右两边相同项的系数可得，解得

∴原式=

例17、（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。

 （2）如果有两个因式为和，求的值。（1）分析：前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为

解：设=

    则=

比较对应的系数可得：，解得：或

∴当时，原多项式可以分解；

当时，原式=；

当时，原式=

（2）分析：是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如的一次二项式。

解：设=

     则=

∴  解得，

∴=21

练习17、（1）分解因式

（2）分解因式

（3） 已知：能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式。

（4） 为何值时，能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。