天元课程初中数学
因式分解的常用方法
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．
一、提公因式法.
二、运用公式法.
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；
(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；
(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．
下面再补充两个常用的公式：
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
例.已知
是
的三边，且
，
则的形状是（ ）
A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形
解：
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=
=
每组之间还有公因式！
=
例2、分解因式：
解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。 第二、三项为一组。
解：原式=
原式=
=
=
=
=
练习：分解因式1、
2、
（二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：
分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式=
=
=
例4、分解因式：
解：原式=
=
=
练习：分解因式3、
4、
综合练习：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——
进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
思考：十字相乘有什么基本规律？
例.已知0＜
≤5，且为整数，若
能用十字相乘法分解因式，求符合条件的.
解析：凡是能十字相乘的二次三项式，都要求
是一个完全平方数。
于是
为完全平方数，
练习7、分解因式：（1）
（2）
（3）
（4）
（三）二次项系数为1的齐次多项式
练习9、分解因式：（1）
（2）
综合练习10、（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
思考：分解因式：
五、换元法。
例13、分解因式（1）
（2）
解：（1）设2005=，则原式=
=
=
（2）型如
的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=
设
，则
∴原式=
=
=
=
练习13、分解因式（1）
（2）
（3）
例14、分解因式（1）
观察：此多项式的特点——是关于
的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。
方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：原式=
=
设
，则
∴原式=
=
=
=
=
=
=
（2）
解：原式=
=
设
，则
∴原式=
=
=
=
练习14、（1）
（2）
六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式（1）
解法1——拆项。 解法2——添项。
原式=
原式=
=
=
=
=
=
=
=
=
（2）
解：原式=
=
=
=
练习15、分解因式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
七、待定系数法。
例16、分解因式
分析：原式的前3项
可以分为
，则原多项式必定可分为
解：设=
∵=
∴=
对比左右两边相同项的系数可得
，解得
∴原式=
例17、（1）当
为何值时，多项式
能分解因式，并分解此多项式。
（2）如果
有两个因式为
和
，求
的值。
（1）分析：前两项可以分解为
，故此多项式分解的形式必为
解：设=
则=
比较对应的系数可得：
，解得：
或
∴当
时，原多项式可以分解；
当
时，原式=
；
当
时，原式=
（2）分析：是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如
的一次二项式。
解：设=
则=
∴
解得
，
∴=21
练习17、（1）分解因式
（2）分解因式
（3） 已知：
能分解成两个一次因式之积，求常数
并且分解因式。
（4） 
为何值时，
能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。
第二篇：初中数学因式分解的常用方法(精华例题详解)[1]
初中阶段因式分解的常用方法（例题详解）
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：
一、提公因式法.
如多项式
其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
二、运用公式法.
运用公式法，即用
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=
=
每组之间还有公因式！
=
思考：此题还可以怎样分组？
此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。
例2、分解因式：
解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。 第二、三项为一组。
解：原式=
原式=
=
=
=
=
练习：分解因式1、
2、
（二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：
分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式=
=
=
例4、分解因式：
解：原式=
=
=
注意这两个例题的区别！
练习：分解因式3、
4、
综合练习：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——
进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例5、分解因式：
分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2
解：=
1 3
=
1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式：
解：原式=
1 -1
=
1 -6
（-1）+（-6）= -7
练习5、分解因式(1)
(2)
(3)
练习6、分解因式(1)
(2)
(3)
（二）二次项系数不为1的二次三项式——
条件：（1）
（2）
（3）
分解结果：=
例7、分解因式：
分析： 1 -2
3 -5
（-6）+（-5）= -11
解：=
练习7、分解因式：（1）
（2）
（3）
（4）
（三）二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式：
分析：将
看成常数，把原多项式看成关于
的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1 8b
1 -16b
8b+(-16b)= -8b
解：=
=
练习8、分解因式(1)
(2)
(3)
（四）二次项系数不为1的齐次多项式
例9、
例10、
1 -2y 把
看作一个整体 1 -1
2 -3y 1 -2
(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3
解：原式=
解：原式=
练习9、分解因式：（1）
（2）
综合练习10、（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
思考：分解因式：