因式分解的多种方法
编者按：很多同学在做因式分解的题目时，会觉得无从入手。而面临竞赛题目时，更加摸不着头脑。在此介绍几种因式分解的方法。其实，因式分解没有想象中的那么难。
1】提取公因式
这种方法比较常规、简单，必须掌握。
常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等
例一：2x^2-3x=0
解：x(2x-3)=0
x1=0,x2=3/2
这是一类利用因式分解的方程。
总结：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式 这对我们后面的学习有帮助。
2】公式法
将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。
常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等
注意：使用公式法前，建议先提取公因式。
例二：x^2-4分解因式
分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2 解：原式=(x+2)(x-2)
3】十字相乘法
是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意：它不难。
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1?a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果
例三： 把2x^2-7x+3分解因式.
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数)：
2＝1×2＝2×1；
分解常数项：
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 1
╳
2 3
1×3+2×1
=5
1 3
╳
2 1
1×1+2×3
=7
1 -1
╳
2 -3
1×(-3)+2×(-1)
=-5
1 -3
╳
2 -1
1×(-1)+2×(-3)
=-7
经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.
解 原式=(x-3)(2x-1).
总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：
a1 c1
╳
a2 c2
a1c2+a2c1
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
这种方法要多实验，多做，多练。它可以包括前两者方法。
4】分组分解法
也是比较常规的方法。
一般是把式子里的各个部分分开分解，再合起来
需要可持续性！
例四：x^2+4x+4y^2-y^2
可以看出，前面三项可以组成平方，结合后面的负平方，可以用平方差公式 解：原式=（x+2）^2-y^2
=(x+2+y)(x+2-y)
总结：分组分解法需要前面的方法作基础，可见前面方法的重要性。
5】换元法
整体代入，免去繁琐的麻烦，亦是建立的之前的基础上
例五：（x+y）^2-2(x+y)+1分解因式
考虑到x+y是以整体出现，展开是十分繁琐的，用a代替x+y
那么原式=a^2-2a+1
=(a-1)^2
回代
原式=（x+y-1）^2
6】主元法
这种方法要难一些，多练即可
即把一个字母作为主要的未知数，另一个作为常数
例六：因式分解16y+2x^2(y+1)^2+(y-1)^2x^4
分析：本题尚且属于简单例用，只是稍加难度，以y为主元会使原式极其烦琐，
而以x为主元的话，原式的难度就大大降低了。
原式=(y-1)^2x^4+2(y+1)^2x^2+16y---------------------【主元法】
=(x^2y^2-2x^2y+x^2+8y)(x^2+2)---------------------【十字相乘法】
可见，十字相乘十分重要。
7】双十字相乘法
难度较之前的方法要提升许多。是用来分解形如ax^2＋bxy＋cy^2＋dx＋ey＋f 的二次六项式
在草稿纸上，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq＋np＝b，pk＋qj＝e，mk＋nj＝d，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。则原式＝（mx＋py＋j）（nx＋qy＋k
）
要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，
例七：ab＋b^2＋a－b－2分解因式
解：原式＝0×1×a^2＋ab＋b^2＋a－b－2
＝（0×a＋b＋1）（a＋b－2）
＝（b＋1）（a＋b－2）
8】待定系数法
将式子看成方程，将方程的解代入
这时就要用到1】中提到的知识点了
当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式
例八：x^2+x-2
该题可以用十字相乘来做，这里介绍一种待定系数法
我们可以把它当方程做，x^2+x-2=0
一眼看出，该方程有一根为x=1
那么必有一因式为(x-1)
结合多项式展开原理，另一因式的常数必为2（因为乘-1要为-2）
一次项系数必为1（因为与1相乘要为1）
所以另一因式为（x+2）
分解为(x-1)(x+2)
9】列竖式
让人拍案叫绝的方法。原理和小学的除法差不多。
要建立在待定系数法的方程法上
不足的项要用0补
除的时候，一定要让第一项抵消
例九：3x^3+5x^2-2分解因式
提示：x=-1可以使该式=0，有因式（x+1）
那么该式分解为（x+1）(3x^2+2x-2)
因式分解有9种方法，这么多？
其实是不止的，还有很多很多。不过了解这些，初中的因式分解是不会有问题了。
考虑到每种方法只有一个例题，下面提供一些题目，供大家练习。
(ab+b)^2?(a+b)^2
(a^2?x^2)^2?4ax(x?a)^2
3a^3b^2c－6a^2b^2c^2＋9ab^2c^3
xy＋6－2x－3y
(3a－b)^2－4(3a－b)(a＋3b)＋4(a＋3b)^2
(x＋2)(x－3)＋(x＋2)(x＋4)
12x^2－29x＋15
x(y＋2)－x－y－1
4x^2＋4xy＋y^2－4x－2y－3
2x^4＋13x^3＋20x^2＋11x＋2
2x^2-7xy-22y^2-5x+35y-3
4m^2+8mn+3n^2
4n^2+4n－15
x^2+2x-8
x^2+3x-10
.x^2+x-6
2x^2+5x-3
x^2+4x-2
x^2-2x-3
5ax+5bx+3ay+3by
x^３-x^２+x-1
18a^2-32b^2-18a+24b
希望同学们能掌握因式分解，把因式分解看成一种乐趣~
第二篇：因式分解方法技巧
因式分解方法技巧
专题一 分解因式的常用方法：一提二用三查 ，即先考虑各项有无公因式可提；再考虑能否运用公式来分解；最后检查每个因式是否还可以继续分解，以及分解的结果是否正确。 常见错误：
1、漏项，特别是漏掉
2、变错符号，特别是公因式有负号时，括号内的符号没变化
［例题］把下列各式因式分解：
1. x(y-x)+y(y-x)-(x-y)2
2. a5-a
3. 3(x2-4x)2-48
[解析]1中（x-y）2=(y-x)2 ,可以直接提取公因式\(y-x);2、3中先提取公因式，再用平方差公式分解
[答案]1 原式=x(y-x)+y(y-x)-(y-x)2
=(y-x)[x+y-(y-x)]
=2y(y-x)
2 a5-a=a(a4-1)=a(a2+1)(a2-1)=a(a2+1)(a+1)(a-1)
3原式=3[(x2-4x)-16]=3(x2-4x+4)(x2-4x-4)
[点拨]看出其中所含的公式是关键
练习
1、3x?12x 3 2、2a(x?1)?2ax 222
3、3a2?6a 4、56x3yz+14x2y2z－21xy2z2
5、－4a3＋16a2b－26ab2 6、m4?16n4
专题二
二项式的因式分解:二项式若能分解，就一定要用到两种方法：1提公因式法 2平方差公式法。先观察二项式的两项是否有公因式，然后再构造平方差公式，运用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)时，关键是正确确定公式中a,b所代表的整式，将一个数或者一个整式化成整式，然后通过符号的转换找到负号，构成平方差公式，记住要分解彻底。
平方差公式运用时注意点：
根据平方差公式的特点：当一个多项式满足下列条件时便可用平方差公式分解因式：
A、 多项式为二项式或可以转化成二项式；
B、 两项的符号相反；
C、 每一项的绝对值均可以化为某个数的平方，及多项式可以转化成平方差的形式；
D、 首项系数是负数的二项式，先交换两项的位置，再用平方差公式；
E、 对于分解后的每个因式若还能分解应该继续分解；如有公因式的药先提取公因式
[例题]分解因式：3(x+y)2-27
[答案]3（x+y）2-27=3[(x+y)2-9]=3[(x+y)2-32]=??
[点拨]先提取公因式，在利用平方差公式分解因式，一次不能分解彻底的，应继续分解
练习
1)x5－x3 2)m4?16n4
12b. 4
15）25－16x2; 6）9a2－b2. 4
专题三 3)25－16x2 4)9a2－
三项式的分解因式:如果一个能分解因式，一般用到下面2种方法：1提公因式法 2完全平方公式法。先观察三项式中是否含有公因式，然后再看三项式是否是完全平方式，即a2+2a+b2或者a2-2ab+b2的形式 完全平方公式运用时注意点：
A. 多项式为三项多项式式；
B. 其中有两项符号相同，且这两项的绝对值均可以化为某两数（或代数式）的平方；
C. 第三项为B中这两个数（或代数式）的积的2倍，或积的2倍的相反数。
【例题】将下列各式因式分解：
1）ax2-2axy+ay2 2)x4-6x2+9
[解答] ax2-2axy+ay2 =a(x2-2xy+y2 )=a(x-y)2
x4-6x2+9=(x2-3)2
练习
1)25x＋20xy＋4y 2）x＋4x＋4x 2232
3) 8a3b2?12ab4?4ab 4)?3x3?12x2?9x
5)x3n?1yn?1?2x2n?1y2n?1?xn?1y3n?1
专题四
多项式因式分解的一般步骤：
①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；
④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
(6)应用因式定理：如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。
分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)
[例题]分解因式m^2 +5n-mn-5m
解：m^2+5n-mn-5m= m^2-5m -mn+5n =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n)
练习
a2?b2?4a?4b bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
x3n?1yn?1?2x2n?1y2n?1?xn?1y3n?1