因式分解(简单练习) 一、基本方法
⑴提公因式法:各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 例如:am-bm+cm=m(a-b+c);-am+bm+cm=-m(a-b-c);
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
⑵公式法:平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b); 例如:a2-25b2=(a+5b)(a-5b) 完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b) 2;例如:a2 +4ab+4b2 =(a+2b)
(一)、分解因式(提公因式法):
(1)-20a+15ax (2)8x2y-4xy2
(3)-8x4-16x2y (4)4a2b-16ab+8b
(5)-16y4-32y3+8y2 (6)4a2b-16ab+8b
(二)、分解因式(公式法—平方差):
(1) x2-y2 (2)1-m2
1(3)-a2+b2 (4)x2-y2
9
1
(5)-9+16x2 (6)x2-9y2
1
(7)x2y2-z2 (7)-x2+
(三)、分解因式(公式法—完全平方):(1) a2-2ab+b2
(3)m2+m+1
4
(5)1-6y+9y2
(四)、分解因式
(1)4m2?9n2 (2)-4
(3)56x3yz+14x2y2z-21xy2z2 (4)
(5)a2(x-y)+b2(y-x) (6) 2
4
(2)4x2+4x+1
(4)a2-8ab+16b2
(6)4x2-20x+25 x3+16x2-26x 122
axy2
+2axy+2a ﹣9a2b﹣6ab2﹢3ab
(7)﹣9ab﹣6ab﹢3ab (8)2x+4xy+2y
2222
(9)a5-2a3b2+ab4 (10)4x2+4x+1
3
第二篇:因式分解 例题讲解及练习
因式分解例题讲解及练习
【例题精选】:
(1)
评析:先查各项系数(其它字母暂时不看),确定5,15,20的最大公因数是5,确定系数是5 ,再查各项是否都有字母X,各项都有时,再确定X的最低次幂是几,至此确认提取X2,同法确定提Y,最后确定提公因式5X2Y。提取公因式后,再算出括号内各项。
解:
=
(2)
评析:多项式的第一项系数为负数,应先提出负号,各项系数的最大公因数为3,且相同字母最低次的项是X2Y
解:
=
=
=
(3)(y-x)(c-b-a)-(x-y)(2a+b-c)-(x-y)(b-2a)
评析:在本题中,y-x和x-y都可以做为公因式,但应避免负号过多的情况出现,所以应提取y-x
解:原式=(y-x)(c-b-a)+(y-x)(2a+b-c)+(y-x)(b-2a)
=(y-x)(c-b-a+2a+b-c+b-2a)
=(y-x)(b-a)
(4) (4) 把分解因式
评析:这个多项式有公因式2x3,应先提取公因式,剩余的多项式16y4-1具备平方差公式的形式
解:=2=2=
(5) (5) 把分解因式
评析:首先提取公因式xy2,剩下的多项式x6-y6可以看作用平方差公式分解,最后再运用立方和立方差公式分解。
对于x6-y6也可以变成先运用立方差公式分解,但比较麻烦。
解:
=xy2(x6-y6)= xy2[]=
=
(6)把分解因式
评析:把(x+y)看作一个整体,那么这个多项式相当于(x+y)的二次三项式,并且为降幂排列,适合完全平方公式。对于本例中的多项式切不可用乘法公式展开后再分解,而要注意观察分析,善于把(x+y)代换完全平方公式中的a,(6Z)换公式中的
解:
==(x+y-6z)2
(7) (7) 把分解因式
评析:把x2-2y2和y2看作两个整体,那么这个多项式就是关于x2-2y2和y2的二次三项式,但首末两项不是有理数范围内的完全平方项,不能直接应用完全平方公式,但注意把首项系数提出后,括号里边实际上就是一个完全平方式。
解:
=
=
=
(8) (8) 分解因式a2-b2-2b-1
评析:初看,前两项可用平方差公式分解。采用“二、二”分组,原式=(a+b)(a-b)-(2b+1),此时无法继续分解。再仔细看,后三项是一个完全平方式,应采用“一、三”分组。
解:a2-b2-2b-1= a2-(b2-2b+1)=a2-(b+1)2=[a+(b+1)][a-(b+1)]=(a-b-1)(a+b+1)
一般来说,四项式“一、三”分解,最后要用“平方差”。四项式“二、二”分组,只有前后两组出现公因式,才是正确的分组方案。
(9) (9) 把a2-ab+ac-bc分解因式
解法一:a2-ab+ac-bc=(a2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)
解法二:a2-ab+ac-bc=(a2+ac)-(ab+bc)=a(a+c)-b(a+c) =(a-b)(a+c)
(10) (10) 把分解因式
解法一:
=
解法二:
=
说明:例(2)和例(3)的解法一和解法二虽然分组不同,但却有着相同的内在联系,即两组中的对应系数成比例。(2)题解法一 1:1,解法二也是1:1;(3)题解法一是
1:1,解法二是2:(-3)
(11) 分解因式
评析:四项式一般先观察某三项是否是完全平方式。如是,就考虑“一、三”分组;不是,就考虑“二、二”分组
解法一:
=
=
解法二:=
=
解法三:=
=
(12) (12) 分解因式(a-b)2-1-2c(a-b)+c2
评析:本题将(a-b)看作一个整体,可观察出其中三项是完全平方式,可以“一、三”分组
解:(a-b)2-1-2c(a-b)+c2
=[(a-b)2-2c(a-b)+c2]-1=[(a-b)-c]2-1=(a-b-c)2-1-(a-b-c+1)(a-b-c-1)
(13)分解因式8a2-5ab-42b2 8a -21b
解:8a2-5ab-42b2 a +2b
=(8a-21b)(a+2b) -21ab+16ab=-5ab
(14) (14) 分解因式a6-10a3+16
解:a6-10a3+16 a3 -2
=( a3-2)( a3-8) a3 -8
=( a3-2)(a-2)(a2+2a+4) -8a3-2a3 =-10a3
(15) (15) 分解因式-x2+x+30
解:-x2+x+30 (先提出负号) x +5
=-( x2-x-30) x -6
=-(x+5)(x-6) +5x-6x=-x
(16) (16) 分解因式12(x+y)2-8(x+y)-7
解:12(x+y)2-8(x+y)-7 2(x+y) +1
=[2(x+y)+1][6(x+y)-7] 6(x+y) -7
=(2x+2y+1)(6x+6y-7) -14+6=8
(17)把分解因式
评析:此题是一个五项式,它能否分组分解,要看分组后组与组之间是否出现公因式或是否符合公式。本题注意到后三项当把-1提出后,实际上是按立方差公式分解后的一个因式:
解:
=
=
=
(18) (18) 把分解因式
评析:把看成一组符合完全平方公式,而剩下的三项把-1提出之后恰好也是完全平方式,这样分组后又可用平方差公式继续分解。
解:
=
=
=
(19)分解因式
评析:先不要把前面两个二次三项式的乘积展开,要注意到这两个二次三项式的前两项都是这一显著特点,我们不妨设=a可得(a+1)(a+2)-6即a2+3a+2-6,即a2+3a-4,此时可分解为(a+4)(a-1)
解:
=
=
=
=
(20)把分解因式
解:
=
=
=
=
(21)把分解因式
评析:它不同于例3(1)的形式,但通过观察,我们可以对这两个二次三项式先进行分解,有。它又回到例3(1)的形式,我们把第一项和第三项结合在一起,第二、四项结合在一起,都产生了(x2-3x)
解:
=
=
=
=
=
=
(22)把分解因式
评析:不要轻易展开前四个一次因式的积,要注意到常数有1×6=2×3=6 利用结合律会出现a2+6
解:
=
=
=
(23)把(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)-9分解因式
评析:不要轻易地把前四个一次因式的乘积展开,要注意到1+7=3+5,如果利用乘法结合律,把(x+1)(x+7)和(x+3)(x+5)分别乘开就会出现的形式,这就不难发现(x2+8x)作为一个整体a同时出现在两个因式中,即(a+7)(a+15)-9的形式,展开后有a2+22a+96,利用十字相乘,得到(a+6)(a+16)而分解。
解:(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)-9
=[(x+1)(x+7)][(x+3)(x+5)]-9
=
以下同于例3
=
=+96
=
=
(24)把x(x+1)(x+2)(x+3)-24分解因式
评析:通过观察第一项和第四项两上一次式相乘出现(x2+3x),第二和第三个一次式相乘出现(x2+3x)。可以设x2+3x=a,会有a(a+2)-24,此时已易于分解
解:x(x+1)(x+2)(x+3)-24
=[x(x+3)][(x+1)(x+2)]-24
=
=
=
=
(25)把分解因式
评析:不要急于展开,通过观察前两项,发现它们有公共的x2+3x,此时把它看成一个整体将使运算简化。
解:
=
=
(26)把分解因式
评析:我们可以观察到+前后的两项都有(a+b)和(c+d)。据此可把它们看作为一个整体。
解:
=
=
=
=
(27)把分解因式
评析:把(1+a)看成一个整体,第一项1与第二项a也合成一个整体(1+a)
解:
=
=
=
(28)把分解因式
评析:此题容易想到分组分解法,但比较困难,考虑到
此时可设
再用待定系数法求出m和n
解:设
=
比较两边对应系数 得到
m+2n=2 ①
-3n+2m=11 ②
mn=-4 ③
由①和② 得到m=4,n=-1 代入③也成立
∴=(2x-3y+4)(x+2y-1)
(29)把分解因式
解:
=
=(x+4y+m)(x-2y+n)
=
有 m+n=-4 ①
4n-2m=-10 ②
mn=3 ③
由①和② 得到m=-3,n=-1 代入③也成立
∴=(x+4y-3)(x-2y-1)
(30)当x+y=2时,求的值
评析:∵x+y=2这是唯一的条件。∴要从中找到x+y或有关(x+y)的表达式
解:=(x+y)()+6xy
∵x+y=2
∴原式==
=2=8
(31)己知=2 求的值
解:=
∵=2
∴原式=2[(2)2-3]=2
(32)己知x-y=2,求的值
解:
=
= (x-y) -3a
= (x-y) +2a
∵x-y=a
∴原式=
【综合练习题】∶
一、一、填空(每空1分,共15分)
1、把一个多项式化为 的形式,叫做因式分解。
2、 ( )+2ab+1=( )2
3、因式分解=( )-4x2=( )2-( )2=( )( )
4、二次三项式=( )( )
5、立方和8(a-b)3+27=( )( )
6、(n是大于2的整数)中,各项的公因式是( )
7、己知x2-2xy+1是完全平方式,则y=
8、(3x-y)( )=27x3-y3
二、选择题(四选一;每题3分,共15分)
1、多项式作因式分解,结果为( )
A、
B、
C、
D、
2、2-x和3+x同是下面某多项式的因式,它是( )
A、6+x-x2 B、6-x+x2 C、x2+x+6 D、6-x-x2
3、因式分解时,正确分组方法有( )
A、1种 B、2种 C、3种 D、4种
4、因式分解时,正确分组方法有( )
A、1种 B、2种 C、3种 D、4种
1、1、若将(2x)n-81分解后得,那么n的值为
A、2 B、6 C、4 D、8
三、把下列各式分解因式(每小题3分,共15分)
1、
2、
3、
4、
5、
四、利用因式分解计算(每小题3分,共15分)
1、17.52-12.52
2、83×77
3、1.222×9-1.332×4
4、1012
5、16.8×+7.6×
五、求值(每小题3分,共15分)
1、1、己知a+b=-3, ab=-2,求
2、2、己知x+y=-2,a+b=,,求的值
六、把下列各式分解因式(每小题3分,共15分)
1、
2、
3、
4、
5、()(-9)+18
七、己知a、b、c均大于0,任意两个数之和大于第三个数,试确定的值的符号(5分)
答案
一、
1、n个整式的积
2、
3、
4、(2x-y)(3x+5y)
5、
=
6、
7、y=1
8、
二、
1、B 2、D 3、A 4、B 5、C
三、
1、
2、(xy+8)(xy-3)
3、
4、
5、
四、
1、150 2、6391 3、原式=(3×1.22)2-(2×1.33)2 再往下做 结果6.32
4、10201
5、原式化为结果15
五、
1、1、解:
∵a+b=-3,ab=-2 代入上式 ∴原式=(-2)[(-3)2-4×(-2)]=-2×[9+8]=-34
2、2、解:
∵
代入上式 ∴原式=
六、
1、
2、
3、
4、
5、
七、解:
=
=
=
=
=
∵a>0,b>0,c>0,a+c>b,a+b>c,b+c>a
∴原式>0