导数知识点及习题讲解

1. 导数（导函数的简称）的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.

②已知函数定义域为，的定义域为，则与关系为

2. 函数在点处连续与点处可导的关系：

⑴函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.

可以证明，如果在点处可导，那么点处连续.

事实上，令，则相当于.

于是

⑵如果点处连续，那么在点处可导，是不一定成立的.

例：在点处连续，但在点处不可导

注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.

3. 导数的几何意义：

函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为

4. 求导数的四则运算法则：

（为常数）

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.

I.（为常数）                      

（）                 

II.                             

                           

5. 复合函数的求导法则：或

6. 函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果＞0，则为增函数；如果＜0，则为减函数

注：①是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如在上并不是都有，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样是f（x）递减的充分非必要条件.

7. 极值的判别方法：（极值是在附近所有的点，都有＜，则是函数的极大值，极小值同理）

当函数在点处连续时，

①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；

②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值

例1．   在处可导，则           

注意：如果函数在某一点可导，则在这一点的左右极限相等，函数值也相等

例2．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：

　（1）；  （2）

1．（全国卷10）函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数（   ）

A ()        B (π,2π)        C ()        D (2π,3)

2. 已知函数f(x)=ax²＋c,且=2,则a的值为（    ） 

A.1                B.               C.－1              D. 0

3 与是定义在R上的两个可导函数，若,满足,则

与满足（    ）

A 2          B为常数函数 

C         D 为常数函数

4. 函数的递增区间是（    ）

A           B    C         D 

7．曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（    ）

A                  B  

C  和       D  和

8．函数 有  （    ）    

A.极小值-1，极大值1              B. 极小值-2，极大值3    

C.极小值-1，极大值3              D. 极小值-2，极大值2

9  对于上可导的任意函数，若满足，则必有（     ）

A      B

C       D   

11．函数的单调区间为________________________.

13.曲线在点 处的切线倾斜角为__________.

17．已知的图象经过点，且在处的切线方程是，

（1）求的解析式；

（2）求的单调递增区间。

18．已知函数

（1）当时，求函数极小值；

（2）试讨论曲线与轴公共点的个数。

19.已知函数在与时都取得极值

（1）求的值与函数的单调区间

（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围 

第二篇：导数基础知识点汇总及经典习题解答

导数

导数基础：

1. 导数（导函数的简称）的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.

②以知函数定义域为，的定义域为，则与关系为.

2. 函数在点处连续与点处可导的关系：

函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.

 常用性质：

①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.

3. 导数的几何意义：

函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为

4. 求导数的四则运算法则：

（为常数）

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.

I.（为常数）                      

（）                 

II.                             

                           

5. 复合函数的求导法则：或

6. 函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果＞0，则为增函数；如果＜0，则为减函数

注：①是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如在上并不是都有，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样是f（x）

7. 极值的判别方法：（极值是在附近所有的点，都有＜，则是函数的极大值，极小值同理）

当函数在点处连续时，

②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.

①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；

例1. 8．函数 有  （    ）    

A.极小值-1，极大值1                 B. 极小值-2，极大值3    

C.极小值-1，极大值3              D. 极小值-2，极大值2

6．函数在区间上的最小值为（    ）

A．         B．             

C．         D．

6．函数的最大值为（    ）

A．        B．        C．        D．

2．函数的一个单调递增区间是（    ）

  (A)    (B)    (C)     (D)

3．已知对任意实数，有，且时，，则时（   ）

A．                   B．

C．                   D．

4．若函数在内有极小值，则（   ）

（A）    （B）        （C）      （D）

5．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（   ）

A．   B．  C．    D．

6．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（    ）

Ａ．         Ｂ．        Ｃ．          Ｄ．

2．若，则（    ）

A．       B．     

C．       D．

1.(2005全国卷Ⅰ文)函数,已知在时取得极值,则=(   )

（A）2            （B）3          （C）4          （D）5

2．(2008海南、宁夏文)设，若，则（   ）

A.         B.        C.             D.

3．（2005广东）函数是减函数的区间为（   ）

  A．    B．   C．    D．（0，2）

4.（2008安徽文）设函数 则（    ）

A．有最大值     B．有最小值       C．是增函数            D．是减函数

5．（2007福建文、理)已知对任意实数x有f(－x)=－f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0时，f’(x)>0，g’(x)>0，

则x<0时（    ）

A f’(x)>0，g’(x)>0       B f’(x)>0，g’(x)<0

C f’(x)<0，g’(x)>0       D f’(x)<0，g’(x)<0

6.(2008全国Ⅱ卷文)设曲线在点（1,）处的切线与直线平行,则(   )

A．1      B．               C．              D．

导数答案

CDA  ABA   ADD  DBD   ABA