最精最全的《函数与导数解题方法知识点技巧总结》

1.高考试题中，关于函数与导数的解答题(从宏观上)有以下题型：

（1）求曲线在某点出的切线的方程

（2）求函数的解析式

（3）讨论函数的单调性，求单调区间

（4）求函数的极值点和极值

（5）求函数的最值或值域

（6）求参数的取值范围

（7）证明不等式

（8）函数应用问题

 2.在解题中常用的有关结论（需要熟记）：

（1）曲线在处的切线的斜率等于，且切线方程为。

（2）若可导函数在处取得极值，则。反之不成立。

（3）对于可导函数，不等式的解是函数的递增（减）区间。

（4）函数在区间I上递增（减）的充要条件是：恒成立（不恒为0）.

（5）若函数在区间I上有极值，则方程在区间I上有实根且非二重根。 （若为二次函数且I=R，则有）。

（6）若函数f(x)在区间I上不单调且不为常量函数,则在I上有极值。

（7）若恒成立，则; 若恒成立，则

若使得，则.;若使得 ，则.

（8）若对、 ，恒成立，则.

若对， ， 使得, 则.

     若对，,使得,则.

（9） 若三次函数f(x)有三个零点，则方程有两个不等实根  且

         

3.函数与导数解答题常见题型的解法

（1）已知曲线（含参数）的切线方程为，求参数的值

【解法】先设切点坐标为，求出切线方程 

再与已知切线方程比较系数得:

解此方程组可求参数的值

（2）已知函数（含参数），讨论函数的单调性

【解法】先确定的定义域，并求出，观察能否恒大于或等于（恒小于或等于）0，如果能，则求参数的范围，讨论便从这里开始，当参数在上述范围以外取值时，令，求根.再分层讨论，是否在定义域内或讨论的大小关系，再列表讨论，确定的单调区间。（大多数函数的导函数都可以转化为一个二次函数，因此讨论函数单调性问题又往往是讨论二次函数在某一区间上的符号问题）

（3）已知函数（含参数）在区间I上有极值，求参数的取值范围.

【解法】函数在区间I 上有极值，可转化为，方程 在区间I上有实根，且为非二重根。从而确定参数（或其取值范围）。

（4）可导函数（含参数）在区间I上无极值，求参数的取值范围

【解法】在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数，进而得到或在I上恒成立

（5） 函数（含单个或多个参数）仅在时取得极值，求参数的范围

【解法】先由，求参数间的关系，再将表示成=，再由恒成立，求参数的范围。（此类问题中一般为三次多项式函数）

（6） 函数（含参数）在区间I上不单调，求参数的取值范围

【解法一】转化为在I上有极值。（即 在区间I上有实根且为非二重根）。

【解法二】从反面考虑：假设在I上单调则 在I 上恒成立，求出参数的取值范围，再求参数的取值范围的补集

（7）已知函数（含参数），若，使得成立，求参数的取值范围.

【解法一】转化为在I上的最大值大于0（最小值小于0）

【解法二】从反面考虑：假设对恒成立则  （）,求参数的取值范围，再求参数的取值范围的补集

（8）含参数的不等式恒成立，求参数的取值范围

【解法一】分离参数求最值

【解法二】构造函数用图像

（注：对于多变量不等式恒成立，先将不等式变形，利用函数的最值消变元，转化为单变量不等式恒成立问题）

（9）可导函数（含参数）在定义域上存在单调递增(减)区间， 求参数的范围.

【解法】等价转化为在定义域上有解即D使成立（1）可用分离参数法（2）利用图像及性质

（10）证明不等式

【解法】构造函数并确定定义域D，考察在D上的单调性（注意区间端点的函数值）或者求在D上的最值

    （ 注：对于含有正整数n的带省略号的不定式的证明，先观察通项，联想基本不定式，确定要证明的函数不定式，再对自变量x赋值，令x分别等于1、2、…….、n,把这些不定式累加，可得要证的不定式。）

第二篇：导数复习知识点总结

20##高考数学复习详细资料——导数概念与运算知识清单

1．导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’|。

即f（x）==。

说明：

（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。

（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤（可由学生来归纳）：

（1）求函数的增量=f（x+）－f（x）；

（2）求平均变化率=；

（3）取极限，得导数f’(x)=。

2．导数的几何意义

函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）。相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）。

3．几种常见函数的导数:

①  ②   ③;   ④;

⑤⑥;   ⑦;   ⑧.

4．两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

即： (

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个

函数乘以第二个函数的导数，即：

若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：‘=（v0）。

形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇|= y＇| ·u＇|

2010高考数学复习详细资料——导数应用

知识清单

单调区间：一般地，设函数在某个区间可导，

如果，则为增函数；

如果，则为减函数；

如果在某区间内恒有，则为常数；

2．极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；

3．最值：

一般地，在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。

①求函数?在(a，b)内的极值；

②求函数?在区间端点的值?(a)、?(b)；

③将函数? 的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

4．定积分

（1）概念：设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…xn＝b把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上取任一点ξi（i＝1，2，…n）作和式In＝(ξi)△x（其中△x为小区间长度），把n→∞即△x→0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作：，即＝(ξi)△x。

这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。

基本的积分公式：

＝C；

＝＋C（m∈Q， m≠－1）；

dx＝ln＋C；

＝＋C；

＝＋C；

＝sinx＋C；

＝－cosx＋C（表中C均为常数）。

（2）定积分的性质

①（k为常数）；

②；

③（其中a＜c＜b。

（3）定积分求曲边梯形面积

由三条直线x＝a，x＝b（a<b），x轴及一条曲线y＝f（x）(f(x)≥0)围成的曲边梯的面积。

如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨设f1(x)≥f2(x)≥0），及直线x＝a，x＝b（a<b）围成，那么所求图形的面积S＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC＝。

课前预习

1．求下列函数导数

（1）   （2）  （3）

（4）y=            （5）y＝

2．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（     ）

A．    B．   C．   D．

3．过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为（     ）

 （A）   （B）  （C）   （D）

4．半径为r的圆的面积S(r)＝r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(r2)`＝2r  1，1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于

1的式子：                             ；

2式可以用语言叙述为：                                   。

5．曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是                      。

6．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）³0，则必有（    ）

A．f（0）＋f（2）<2f（1）             B. f（0）＋f（2）£2f（1）

C．f（0）＋f（2）³2f（1）             D. f（0）＋f（2）>2f（1）

7．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　   ）

A．1个        B．2个           C．3个            D． 4个

8．已知函数。（Ⅰ）设，讨论的单调性；（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围。

9．在区间上的最大值是（   ）

(A)－2        (B)0                 (C)2                (D)4

10．设函数f(x)=

（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）讨论f(x)的极值。

11．设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点.求

(I)求点的坐标；

(II)求动点的轨迹方程.

12．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？

13．计算下列定积分的值

（1）

（2）；

（3）；

（4）；

14．（1）一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功。

（2）抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求Smax．

典型例题

一 导数的概念与运算

EG：如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时速度为（   ）

A. 6m/s            B. 18m/s                C. 54m/s          D. 81m/s

变式：定义在D上的函数，如果满足：，常数，

都有≤M成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.

【文】（1）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.

【理】（2）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.

EG：已知的值是（  ）

       A.             B. 2     C.        D. －2

变式1：（    ）

       A．－１ Ｂ．－2  C．－3   D．1

变式2：           （    ）

       A．  B．    C．  D．

根据所给的函数图像比较

变式：函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（  ） 

A.                 y          

B.                            

C.                            

D.                  O  1  2  3  4       x 

EG：求所给函数的导数：

。

变式：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是                 

A．(－3,0)∪(3,+∞)                     B．(－3,0)∪(0, 3)

C．(－∞,－ 3)∪(3,+∞)                 D．(－∞,－ 3)∪(0, 3)

EG：已知函数.(1)求这个函数的导数；（2）求这个函数在点处的切线的方程.

变式1：已知函数.

（1）求这个函数在点处的切线的方程；

（2）过原点作曲线y＝ex的切线，求切线的方程.

变式2：函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝(     )

A.     B.      C.       D. 1

EG：判断下列函数的单调性，并求出单调区间：

变式1：函数的一个单调递增区间是

A.    B.    C.     D.

变式2：已知函数

(1)若函数的单调递减区间是（-3，1），则的是                                    .

(2)若函数在上是单调增函数，则的取值范围是                              .

变式3： 设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.

（Ⅰ）用表示a，b，c；

（Ⅱ）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围.

EG：求函数的极值.

求函数在上的最大值与最小值..

变式1： 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　 ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

变式2：已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：

（Ⅰ）的值；（Ⅱ）的值.

变式3：若函数，当时，函数极值，

（1）求函数的解析式；

（2）若函数有3个解，求实数的取值范围．

变式4：已知函数，对xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范围。

EG：利用函数的单调性，证明：

变式1：证明：，

变式2：（理科）设函数f(x)=(1+x)2－ln(1+x)2.若关于x的方程f(x)=x2+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.

EG： 函数若恒成立,求实数的取值范围

变式1:设函数若恒成立，求实数的取值范围.

变式2:如图,曲线段OMB是函数的图象,轴于点A,曲线段OMB上一点M处的切线PQ交x轴于点P,交线段AB于点Q，

(1)若t已知,求切线PQ的方程   (2)求的面积的最大值

变式3:用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折900角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大的容积是多少？

变式4:某厂生产某种产品件的总成本（万元），已知产品单价的平方与产品件数成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大？

EG：计算下列定积分：（理科定积分、微积分）

变式1：计算：；

（1）；（2）

变式2： 求将抛物线和直线围成的图形绕轴旋转一周得到的几何体的体积.

变式3：在曲线上某一点A处作一切线使之与曲线以及轴所围的面积为，试求：（1）切点A的坐标；（2）在切点A的切线方程.

　

实战训练

1. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数y=f ¢(x)的图象可能为(　)

2. 已知曲线S:y=3x－x3及点,则过点P可向S引切线的条数为(   )

(A)0                        (B)1                        (C)2                        (D)3

3. C设S上的切点求导数得斜率，过点P可求得:.

4. 函数在下面哪个区间内是增函数（  ）.

                    

5. y=2x3－3x2+a的极大值为6，那么a等于(    )

(A)6           (B)0          (C)5                   (D)1

6. 函数f(x)＝x3－3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是(   )

(A)1，－1           　(B)3，-17                 (C)1，－17       (D)9，－19

7.设l1为曲线y1=sinx在点(0，0)处的切线，l2为曲线y2=cosx在点(,0)处的切线，则l1与l2的夹角为___________.

8. 设函数f (x)=x3+ax2+bx－1，若当x=1时，有极值为1，则函数g(x)=x3+ax2+bx的单调递减区间为          . 

9．（07湖北）已知函数的图象在点处的切线方程是，则              

10．（07湖南）函数在区间上的最小值是            

11．（07浙江）曲线在点处的切线方程是     9．. 已知函数

（Ⅰ）若函数图像上任意一点处的切线的斜率小于1，求证：；

（Ⅱ）若，函数图像上任意一点处的切线的斜率为，试讨论的充要条件。

12．(07安徽)设函数f（x）=-cos2x-4tsincos+4t2+t2-3t+4,x∈R,其中≤1，将f(x)的最小值记为g(t).

(Ⅰ)求g(t)的表达式；(Ⅱ)诗论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.

实战训练B

1．（07福建）已知对任意实数，有，且时，，则时（    ）

A．                 B．

C．                 D．

2．（07海南）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（    ）

Ａ．              Ｂ．        Ｃ．        Ｄ．

3．（07海南）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（   ）

Ａ．              Ｂ．        Ｃ．          Ｄ．

4．（07江苏）已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为（     ）

A．                 B．               C．           D．

5．（07江西）5．若，则下列命题中正确的是（　　）

A．    B．    C． D．

6．（07江西）若，则下列命题正确的是（   ）

A．           B．           C．           D．

7．（07辽宁）已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（    ）

A．0是的极大值，也是的极大值

B．0是的极小值，也是的极小值

C．0是的极大值，但不是的极值

D．0是的极小值，但不是的极值

8．（07全国一）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（   ）

A．           B．           C．            D．

9．（07全国二）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（    ）

A．1                    B．2                     C．3                     D．4

10．（07浙江）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（    ）

11． (07北京)是的导函数，则的值是      

12．（07广东）函数的单调递增区间是        

13．（07江苏）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则             

14．（07福建）设函数．

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围．

15．(07广东)已知是实数，函数．如果函数在区间上有零点，求的取值范围．