实验29 密立根油滴实验——电子电荷的测量
日期：2010.04.21 桌号：1号
第一次实验时： 室温：24.2 ℃， 大气压：102.4KPa
第二次实验时： 室温：25.0 ℃， 大气压：102.3KPa
实验人：张宝夫（理工学院08光信息1班08323018）
参加人：张介楠（理工学院08光信息1班08323016）
【仪器设备】
密立根油滴仪，应包括水平放置的平行极板（油滴盒），调平装置，照明装置，显微镜，电源，计时器（数字毫秒计），实验油，喷雾器等。
【实验目的】
1．通过对带电油滴在重力场和静电场中运动的测量，验证电荷的不连续性，并测定电子的电荷值e
2．通过实验过程中；对仪器的调整、油滴的选择、耐心地跟踪和测量以及数据的处理等，培养学生严肃认真和一丝不苟的科学实验方法和态度
3．学习和理解密立根利用宏观量测量微观量的巧妙设想和构思
图
1 图1 密立根油滴仪
【实验原理】
用油滴法测量电子的电荷，可以用静态（平衡）测量法或动态（非平衡）测量法，也可以通过改变油滴的带电量，用静态法或动态法测量油滴带电量的改变量。测量方法分述如下。
1．静态（平衡）测量法
用喷雾器将油喷入两块相距为d 的水平放置的平行极板之间。油在喷射撕裂成油滴时，一般都是带电的。设油滴的质量为m ，所带的电量为q ，两极板间的电压为V ，则油滴在平行极板间将同时受到重力mg 和静电力qE 的作用，如图1 所示。如果调节两极板间的电压V ，可使两力达到平衡，这时
（1）
从上式可见，为了测出油滴所带的电量q ，除了需测定平衡电压V 和极板间距离d 外，还需要测量油滴的质量m 。因m 很小，需用如下特殊方法测定：平行极板不加电压时，油滴受重力作用而加速下降，由于空气阻力的作用，下降一段距离达到某一速度
后，阻力
与重力mg 平衡，（空气浮力忽略不计），油滴将匀速下降。根据斯托克斯定律，油滴匀速下降时：
（2）
其中η是空气的粘滞系数，a 是油滴的半径（由于表面张力的原因，油滴总是呈小球状）。设油滴密度为ρ ，油滴的质量m 可以用下式表示
（3）
由式（2）和式（3）可得油滴的半径
（4）
对于半径小到
m的小球，空气的粘滞系数η 应作如下修正
这时斯托克斯定律应改为：
其中b 为修正常数，b =6.17×m/cmHg，p为大气压强，单位为厘米汞高(cmHg)。得：
（5）
式（5）右边根号中还包含油滴的半径a ，但因它处于修正项中，可以不十分精确，因此可用式（4）计算。将式（5）代入式（3），得
（6）
至于油滴匀速下降的速度，可用下法测出：当两极板间的电压V 为零时，设油滴匀速下降的距离为l，时间为
，则
（7）
将（7）式代入（6）式，（6）式代入（1）式，得
（8）
上式是用平衡测量法测定油滴所带电量的理论公式。
2．动态（非平衡）测量法
平衡测量法是在静电力qE 和重力mg 达到平衡时导出式（8）进行实验测量的。非平衡测量法则是在平行极板上加以适当的电压V，但并不调节V 使静电力和重力达到平衡，而是使油滴受静电力作用加速上升。由于空气阻力的作用，上升一段距离达到某一速度
后，空气阻力、重力与静电力达到平衡（空气浮力忽略不计），油滴将匀速上升。这时：
（9）
当去掉平行极板上所加的电压V 后，油滴受重力作用而加速下降。
当空气阻力和重力平衡时，油滴将以匀速 下降，这时：
（10）
（11）
实验时取油滴匀速下降和匀速上升的距离相等，设都为l 。测出油滴匀速下降的时间为，匀速上升的时间为
，则
；
（12）
将式（6）油滴的质量m 和式（12)代入式（11）得
（13）
从实验所测得的结果，可以分析出q 只能为某一数值的整数倍，由此可以得出油滴所带电子的总数n ，从而得到一个电子的电荷值为
e=q n （14）
从上讨论可见：
（1）用平衡法测量，原理简单、直观，且油滴有平衡不动的时候，实验操作的节奏可以进行得较慢，但需仔细调整平衡电压；用非平衡法测量，在原理和数据处理方面较平衡法要麻烦一些，且油滴没有静止不动的时候，实验操作略一疏忽，油滴容易丢失，但它不需要调整平衡电压。
（2）比较式（8）和式（13），当调节电压V 使油滴受力达到平衡时，油滴匀速上升的时间 →∞，两式相一致。可见平衡测量法是非平衡测量法的一个特殊情况。
【实验内容】
1．调整仪器
将仪器放平稳，调节仪器底部左右两只调平螺丝，使水准泡指示水平，这时平行极板处于水平位置。预热10 分钟，利用预热时间从测量显微镜中观察，如果分划板位置不正，则转动目镜头，将分划板放正，目镜头要插到底。调节接目镜，使分划板刻线清晰。将油从油雾室旁的喷雾口喷入（喷一次即可），微调测量显微镜的调焦手轮，这时视场中即出现大量清晰的油滴，如夜空繁星。对MOD－5C 型与CCD 一体化的屏显油滴仪，则从监视器荧光屏上观察油滴的运动。如油滴斜向运动，则可转动显微镜上的圆形CCD，使油滴垂直方向运动。注意：调整仪器时，如果打开有机玻璃油雾室，应先将工作电压选择开关拨向“下落”位置。
2．练习测量
（1）练习控制油滴 如果用平衡法实验喷入油滴后，在平行极板上加工作（平衡）电压250 伏特左右，工作电压选择开关置“平衡”档，驱走不需要的油滴，直到剩下几颗缓慢运动的为止。注视其中的某一颗，仔细调节平衡电压，使这颗油滴静止不动。然后去掉平衡电压，让它自由下降，下降一段距离后再加上“提升”电压，使油滴上升。如此反复多次地进行练习，以掌握控制油滴的方法。
（2）练习测量油滴运动的时间 任意选择几颗运动速度快慢不同的油滴，用计时器测出它们下降一段距离所需要的时间。或者加上一定的电压，测出它们上升一段距离所需要的时间。如此反复多练几次，以掌握测量油滴运动时间的方法。
（3）练习选择油滴 要做好本实验，很重要的一点是选择合适的油滴。选的油滴体积不能太大，太大的油滴虽然比较亮，但一般带的电量比较多，下降速度也比较快，时间不容易测准确。若油滴太小则布朗运动明显。通常可以选择平衡电压在200伏特以上，在10s 左右时间内匀速下降2mm的油滴，其大小和带电量都比较合适。
（4）练习改变油滴的带电量 对MOD－5B、5BC、5BCC 型密立根油滴仪，可以改变油滴的带电量。按下汞灯按钮，低压汞灯亮，约5s，油滴的运动速度发生改变，这时油滴的带电量已经改变了。
3．正式测量
（1）静态（平衡）测量法 从式（8）可见，用平衡测量法时要测量的有两个量，一个是平衡电压V，另一个是油滴匀速下降一段距离所需要的时间。仔细调节“平衡电压”旋钮，使油滴置于分划板上某条横线附近，以便准确判断出这颗油滴是否平衡了。当油滴处于平衡位置，选定测量的一段距离（一般取l =0.200cm 比较合适），应该在平衡极板之间的中央部分，即视场中分划板的中央部分，然后把开关拨向“下降”，使油滴自由下落。测量油滴匀速下降经过选定测量距离所需要的时间，为了在按动计时器时有思想准备，应先让它下降一段距离后再测量时间。测量完一次后，应把开关拨向“平衡”，做好记录后，再拨向“提升”，加大电场使油
滴回到原来高度，为下次测量做好准备。对同一颗油滴应进行6～10 次测量，而且每次测量都要重新调整平衡电压。如果油滴逐渐变得模糊，要微调测量显微镜跟踪油滴，勿使丢失。
用同样方法分别对多颗油滴进行测量（对MOD－5B、5BC、5BCC 型油滴仪，也可用改变油滴带电量的办法，反复对同一颗油滴进行实验），求得电子电量 。
（2）动态（非平衡）测量法 从式（13）可见，用动态测量法实验时要测量的量有三个：上升电压、油滴匀速下降和上升一段距离所需的时间，。选定测量的一段距离（一般取l =0.200cm 比较合适），应该在平衡极板之间的中央部分，然后把开关拨向“下降”，使油滴自由下落。
测量油滴匀速下降经过选定测量距离所需要的时间，为了在按动计时器时有思想
准备，应先让它下降一段距离后再测量时间。测完tg 把开关拨向“平衡”，做好记录后，再拨向“提升”，使油滴匀速上升经过原选定的测量距离，测出所需时间。同样也应先让它上升一段距离后再测量时间。测完 做好记录，并为下次测量做好准备。
（3）测量油滴带电量的改变量 利用低压汞灯使油滴的带电量改变，配合动态测量法,可测量出改变前后的油滴带电量之差。利用“平衡电压”调节旋钮使油滴处于平衡位置。当油滴处于平衡位置，选定测量的一段距离（一般取l =0.200cm 比较合适），然后把开关拨向“提升”，使油滴匀速上升。测量油滴匀速上升经过选定测量距离所需要的时间 。测完把开关拨向“平衡”，做好记录后，再拨向“下降”，使油滴自由下落经过原选定的测量距离，测出所需时间。同样也应先让它下降一段距离后再测量时间。测完把开关拨向“平衡”，做好记录，按下汞灯按钮，低压汞灯灯亮，约5s，这时油滴的带电量已经变化，油滴的下降速度并未改变，但上升速度已改变。重新测量油滴上升经过原选定的测量距离的时间
。
4．数据处理
（1） 静态（平衡）测量法 根据式（8）
为了证明电荷的不连续性和所有电量都是基本电荷e 的整数倍，并得到基本电荷e
值，我们应对实验测得的各个电量q 求最大公约数。这个最大公约数就是基本电荷e 值，也就是电子的电荷值。但由于学生实验技术不熟练，测量误差可能要大些，要求出q 的最大公约数比较困难，通常我们用“倒过来验证”的办法进行数据处理。即用公认的电子电荷值e = 1.60×10?19 C 去除实验测得的电量q。得到一个接近于某一个整数的数值，这个整数就是油滴所带的基本电荷的数目n。再用这个n去除实验测得的电量，即得电子的电荷值e 。用这种方法处理数据，只能是作为一种实验验证。而且仅在油滴带电量比较少（少数几个电子）时，才可以采用。当n值较大时平衡电压V 很低，在100V 以下，匀速下降2mm 的时间也很短（10s 以下），则0.5个电子的电荷在分配给n个电子时，误差必然很小，其结果e值总是十分接近于
。这也是实验中不宜选用带电量比较多的油滴的原因。
油滴实验也可用作图法处理数据，即以纵坐标表示电量q ，横坐标表示所选用的油滴的所带电子数，作图后所得结果如图5 所示。这种方法必须对大量油滴测出大量数据，作为学生实验，这是比较困难的。
（2）动态（非平衡）测量法 根据式（13），求出油滴带电量q, 同样用“倒过来验证”的办法进行数据处理。
【实验数据记录及其分析】
实验预备内容：拟合油滴密度曲线
表1 
、T关系表
对、T进行线性拟合。如左边的图2所示：
利用公式Y = A + B * X，可以得到其、T关系为：
从而，只要得知当时温度，就可以计算得到实验时的油滴密度。
实验内容一：静态（平衡）测量方法
已知当时的温度为
℃，则当时实验中的油滴密度为：
＝977.5 
·m-3
其中本实验的实验参数为：
温度为℃，则当时实验中的油滴密度为：＝977.5 ·m-3
压强
=759.437 mmHg
g 为重力加速度g=9.78858m·s-1
η 空气粘滞系数 η = 1.83×10?5 kg·m-1·s-1
l 为油滴匀速下降的距离 l = 2.00×10?3 m
b 为修正常数 b = 6.17 ×10?6 m/cm(Hg)
d 为平行极板间距离 d = 5.00×10?3 m
静态（平衡）测量方法的表格中有以下计算公式：
， 
， 
现以第1滴油滴为例，给出数据处理及分析过程。
方法一： “倒过来验证法”求电子电荷量。
(1)对第一次测量，平衡电压V=220V，下落时间
，
故由上述公式可知：
油滴带电量 
=
=
同理对第2，3次测量，可得
=
，
=
故油滴所带电荷量平均值为: =
故由“倒过来验证法”，可知，油滴所带电子数位：
求得的电子电荷量为：
与标准值
比较，相对误差为
在误差允许范围内（E<5%）,证明该测量值较为准确。
而上述表2右边的内容均由此方法计算得到，最后可以得到所有测量计算值的平均值为：
其与标准值
的相对误差为：
在误差允许范围内（E<5%）,证明整个实验的平均测量值较为准确。
方法二： 对作出的q－n曲线（斜率为元电荷量e）进行线性拟合。
图3 静态法测得的q－n曲线
拟合结果：
斜率
其与标准值的相对误差为：
误差分析：
1. 油滴的平衡电压没有找准，所测油滴平衡电压并不完全准确，存在一定偏差。
2. 在时间测量上判断油滴是否达到测量距离的开始点和结束点时主观性较大，时间带有人为误差。
3. 油滴在下降过程不稳定，特别在时间较长的时候出现颤抖，或向一侧偏移的现象。这意味着油滴的质量过小，有产生少许的布朗运动，影响实验测量；
4. 油滴在下落过程中有可能因温度、气流等原因而造成质量变化。
5. 油滴上升和下降的可观测的距离较短，难以调节使油滴在测量距离内匀速上升或下降
实验内容二：动态测量方法
表3 动态法测油滴带电量
其中本实验的实验参数为：
温度为℃，则当时实验中的油滴密度为：＝977.75 ·m-3
压强
=759.06 mmHg
g 为重力加速度g=9.78858m·s-1
η 空气粘滞系数 η = 1.83×10?5 kg·m-1·s-1
l 为油滴匀速下降的距离 l = 2.00×10?3 m
b 为修正常数 b = 6.17 ×10?6 m/cm(Hg)
d 为平行极板间距离 d = 5.00×10?3 m
动态测量方法的表格中有以下计算公式：
现以第5滴油滴为例，给出数据处理及分析过程。
方法一： “倒过来验证法”求电子电荷量。
(1)对第一次测量，平衡电压V=441V，下落时间
，匀速上升时间
故由上述公式可知：
油滴带电量 =
=
同理对第2，3次测量，可得=
，=
故油滴所带电荷量平均值为: =
故由“倒过来验证法”，可知，油滴所带电子数位：
求得的电子电荷量为：
与标准值 比较，相对误差为
在误差允许范围内（E<5%）,证明该测量值较为准确。
而上述表3中的其他油滴也可以该方法计算得到，最后可以得到所有测量计算值的平均值为：
其与标准值的相对误差为：
在误差允许范围之内
方法二： 对作出的q－n曲线（斜率为元电荷量e）进行线性拟合。
图4 动态法测得的q－n曲线
斜率
其与标准值的相对误差为：
误差在允许范围内，所测电子带电量较为精确。
误差分析：误差原因与第一周的实验类同，不同处在于向上匀速运动时间的测量，要确保向上运动也达到匀速的状态并不容易，这会造成一定的误差。
小结：第二周的实验测量结果比第一周要更为精确，很大的原因是平衡电压的选取和控制。第一周的实验的平衡电压测量并不准确，而且量值也并不在适当的范围内（接近270V），造成比较大的误差。
【思考题】
1． 本实验的巧妙构思在哪里？
答：实验利用电压、运动时间等这些可以直接测量和控制的宏观物理量来实现对微观物理量电子电量的测量。把宏观的电量通过油滴这个在宏观微小但在微观又较大的媒介与微观的电子电量联系起来，利用油滴所带电量的可对比性，求出其公约数，从而便可得到电子电量的值，同时也证明了电子电荷量的不连续性。且电压、运动时间测量相对简单，误差也较小。
2． 实验中如何保证油滴做匀速运动？
答：一般情况下，忽略空气浮力，油滴在三个力的作用下，在两个极板间的运动状态可表示为： 
解得 
可令
，C为待定常数。由于V＝0，所以
设t＝0时，v＝0。有C＝-g/k，所以（26）式即
为使油滴保持近似匀速的状态，可令
，又因为tg ＝l/vg ＝lk/g，即k＝tgl/g，代入上式，
可解得 
代入一组实验数据：g ＝9.78858 m·s -2 l ＝2.00 ×10 -3 m tg＝9.14s，可得t=2.06×10 -4s，可见达到匀速所需时间极短，只要使其在运动一段距离，速度达到一定的大小时，空气阻力增大到使其受力平衡，从而使其做匀速运动，因此只要在测量时间之前，先让油滴下降或上升一段距离便可。