斐波那契数列

每一对兔子过了出生第一个月之后，每个月生一对小兔子。现把一对初生小兔子放在屋内，问一年后屋内有多少对兔子？

先不在这里考虑兔子能否长大，或是某些月份没有生小兔子一类的问题，完全只由数学角度去考虑这问题，意大利数学家斐波那契(Fibonacci)解了这个题目，其内容大约是这样的：

在第一个月时，只有一对小兔子，过了一个月，那对兔子成熟了，在第三个月时便生下一对小兔子，这时有两对兔子。再过多一个月，成熟的兔子再生一对小兔子，而另一对小兔子长大，有三对小兔子。如此推算下去，我们便发现一个规律：

不难发现，每个月成熟兔子的数目是上个月的兔子总数，而初生兔子的数目是上个月成熟兔子的数目，也即是两个月前的兔子总数，因此每个月的兔子总数刚好是上个月和两个月前的的兔子总数之和。由此可得每个月的兔子总数是 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 23, 377...，由此可知一年后有 377 对兔子。

若把上述数列继续写下去，得到的数列便称为斐波那契数列，数列中每个数便是前两个数之和，而数列的最初两个数都是 1。若果设 F0=1, F1=1, F2=2, F3=3, F4=5, F5=8, F6=13... 则成立这个关系式：当 n 大于 1，Fn+2=Fn+1+ Fn，而 F0=F1=1。下面是一个古怪的式子： …(1)

Fn看似是无理数，但当 n 是非负整数时，Fn都是整数，而且组成斐波那契数列，因为F0=F1=1，并且Fn+2=Fn+1+ Fn，这可用数学归纳法来证明。

利用斐波那契数列解决兔子数目的问题似乎没有甚么用途，因为不能保证兔子真的每月只生一对小兔子一类的问题，但事实上这个数列的应用十分广泛。例如一个走梯级的问题，若某人走上一段梯级，他每一步可以走上一级，或是跳过一级而走到第二级，若他要走上六级，有多少个不同走法？我们可以考虑，若果设 Fn是走 n 级梯级的走法的数目，若他在第n级，他可以走到第 n-1 级，或是跳过第n-1级，走到第 n-2 级，他在第 n-1 级有 Fn-1个走法，而在第 n-2 级有 Fn-2个走法，因此在第n级时的走法是 Fn-2+Fn-1个走法，即 Fn=Fn-2+Fn-1，而他在第二级和第三级的走法分别有 1 个和 2 个，因此可知走法的数目与斐波那契数列有关。

我们还可以利用斐波那契数列来做出一个新的数列，方法是把数列中相邻的数字相除，以组成新的数列如下：

从(1)中可知当 n 无限增大时，数列的极限是

2 这个数值称为黄金分割，它正好是方程 x+x-1=0 的一个根。

第二篇：20xx年新课标高考数学题型全归纳：数列复习指导

数列复习提纲

1．数列的通项

求数列通项公式的常用方法：

（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、数

字、字母与项数在变化过程中的联系，初步归纳公式．

（2）公式法：等差数列与等比数列．

（3）利用Sn与an的关系求an：an???S1,(n?1) S?S,(n?2)n?1?n

（4）构造新数列法；（5）逐项作差求和法；（6）逐项作商求积法

2．等差数列{an}中：

（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性；

（2）an?a1?(n?1)d?am?(n?m)d；

（3）{kan}也成等差数列；

（4）两等差数列对应项和（差）组成的新数列仍成等差数列．

（5）a1?a2?

（6）Sn??am,am?1?am?1??a2m,a2m?1?a2m?1??a3m仍成等差数列． n(a1?an)n(n?1)dd，Sn?na1?d，Sn?n2?(a1?)n， 2222

an?AaS2n?1，n?f(n)?n?f(2n?1)． bn2n?1Bn

ap?aqp?q，则am? 22（7）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；若m?ap?q,aq?p(p?q)?ap?q?0，

Sp?q,Sq?p(p?q)?Sp?q??(p?q)；Sm?n?Sm?Sn?mnd．

（8）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；

（9）等差中项：若a,A,b成等差数列，则A?a?b叫做a,b的等差中项． 2

（10）判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法．

3．等比数列{an}中：

（1）等比数列的符号特征（全正或全负或一正一负），等比数列的首项、公比与等比数列的

单调性．

（2）an?a1qn?1?amqn?m；

（3）{|an|}、{kan}成等比数列；{an}、{bn}成等比数列?{anbn}成等比数列．

（4）两等比数列对应项积（商）组成的新数列仍成等比数列．

（5）a1?a2??am,ak?ak?1??ak?m?1,成等比数列．

?na1 (q?1)?na1 (q?1)????a1n（6）Sn??a1?anqa1(1?qn)． a1?q? (q?1)? (q?1)?1?q?1?q1?q1?q??

（7）p?q?m?n?bp?bq?bm?bn；

2m?p?q?bm2?bp?bqSm?n?Sm?qmSn?Sn?qnSm．

（8）“首大于1”的正值递减等比数列中，前项积的最大值是所有大于或等于1的项的积；“首小于1”的正值递增等比数列中，前项积的最小值是所有小于或等于1的项的积；

（9）并非任何两数总有等比中项． 仅当实数a,b同号时，实数a,b存在等比中项．对同号两实数a,b

的等比中项不仅存在，而且有一对G?中项（非同号时），如果有，必有一对（同号时）．

（10）判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法

4．等差数列与等比数列的联系：各项都不为零的常数列既是等差数列又是等比数列

5．数列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式 ③1?2?3??n?1n(n?1)，12?22?32?2

?(2n?1)?n2，1?3?5??n2?n(n?1)(2n?1)， 61?3?5??(2n?1)?(n?1)2．

（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和．

（3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列

前和公式的推导方法）．

（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！）（这也是等比数列前和公式的推导方法之一）．

（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和．常用裂项形式有： ①

②?? n(n?1)nn?1?(?)， n(n?k)knn?k

1111?[?] n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)③