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数 列

一、高考要求

1． 理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项.

2． 理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题.

3． 了解数学归纳法原理，掌握数学归纳法这一证题方法，掌握“归纳—猜想—证明”这一思想方法.

二、热点分析

1.数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.

2.有关数列题的命题趋势　　（1）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点　　（2）数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强了推理能力的考查。（3）加强了数列与极限的综合考查题　　

3.熟练掌握、灵活运用等差、等比数列的性质。等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用非常广泛，且十分灵活，主动发现题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁优美.如，可以利用等比数列的性质进行转化：从而有，即.

4.对客观题，应注意寻求简捷方法　　解答历年有关数列的客观题，就会发现，除了常规方法外，还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下：　　①借助特殊数列.　　②灵活运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加准确、快速地解题，这种思路在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有灵活、简捷的解法　　

5.在数列的学习中加强能力训练　数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出.一般来说，考题中选择、填空题解法灵活多变，而解答题更是考查能力的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的重视.因此，在平时要加强对能力的培养。

6．这几年的高考通过选择题，填空题来着重对三基进行考查，涉及到的知识主要有：等差（比）数列的性质. 通过解答题着重对观察、归纳、抽象等解决问题的基本方法进行考查，其中涉及到方程、不等式、函数思想方法的应用等，综合性比较强，但难度略有下降.

三、复习建议

1． 对基础知识要落实到位，主要是等差（比）数列的定义、通项、前n项和.

2． 注意等差（比）数列性质的灵活运用.

3． 掌握一些递推问题的解法和几类典型数列前n项和的求和方法.

4． 注意渗透三种数学思想：函数与方程的思想、化归转化思想及分类讨论思想.

5． 注意数列知识在实际问题中的应用，特别是在利率,分期付款等问题中的应用.

6． 数列是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点。而且往往还以解答题的形式出现，所以我们在复习时应给予重视。近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。

四、典型例题

【例1】  已知由正数组成的等比数列，若前项之和等于它前项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列的通项公式.

解：∵q=1时，

又显然，q≠1

∴

依题意；解之

又，

依题意，将代入得 

【例2】  等差数列{a_n }中，=30，=15，求使a_n≤0的最小自然数n。

解：设公差为d，则或或或 

解得：Þ a₃₃ = 30 与已知矛盾    或Þ a₃₃ = - 15 与已知矛盾

或Þa₃₃ = 15    或 Þ a₃₃ = - 30 与已知矛盾

∴a_n = 31+(n - 1) () Þ 31 0 Þ n≥63

∴满足条件的最小自然数为63。

【例3】  设等差数列{a}的前n项和为S，已知S₄=44,S₇=35

（1）求数列{a}的通项公式与前n项和公式；

（2）求数列的前n项和Tn。

解：（1）设数列的公差为d，由已知S₄=44,S₇=35可得a₁=17,d=-4

∴a=-4n+21 (n∈N),S=-2n+19 (n∈N).

（2）由a=-4n+21≥0 得n≤, 故当n≤5时，a≥0, 当n≥6时，

当n≤5时,T=S=-2n+19n 当n≥6时,T=2S₅-S=2n-19n+90.

【例4】  已知等差数列的第2项是8，前10项和是185，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，……，第项，依次排列一个新数列，求数列的通项公式及前n项和公式。

解：由 得

∴    ∴

【例5】  已知数列1，1，2……它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得到。求该数列的前n项和S_n；

解：(1)记数列1，1，2……为{A_n}，其中等比数列为{a_n}，公比为q；

等差数列为{b_n}，公差为d，则A_n =a_n +b_n (n∈N）

依题意，b₁ =0，∴A₁ =a₁ +b₁ =a₁ =1 ①    A=a+b=aq+b+d=1 ②

A=a+b=aq² +b+2d=2 ③

由①②③得d=-1, q=2,     ∴

∴

【例6】  已知数列满足a_n+S_n=n,(1)求a₁,a₂,a₃,由此猜想通项a_n,并加以证明。

解法1：由a_n+S_n=n,

当n=1时，a₁=S₁，\a₁+a₁=1，得a₁=

当n=2时，a₁+a₂=S₂，由a₂+S₂=2，得a₁+2a₂=2，\a₂=

当n=3时，a₁+a₂+a₃=S₃，由a₃+S₃=3，得a₁+a₂+2a₃=3\a₃=

    猜想，(1)下面用数学归纳法证明猜想成立。

当n=1时,a₁=1-,(1)式成立

假设,当n=k时,(1)式成立,即a_k=1-成立，

则当n=k+1时,a_k+1+S_k+1=k+1,S_k+1=S_k+a_k+1

\2a_k+1=k+1-S_k  又a_k=k+S_k

\2a_k+1=1+a_k \a_k+1=

即当n=k+1时,猜想（1）也成立。

所以对于任意自然数n,都成立。

    解法2：由a_n+S_n=n得，两式相减得：，

即，即，下略

                                                     

           

第二篇：高考数学题型全归纳：数列高考要求(含答案)

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数列 高考要求

1．数列的概念和简单表示法　　

⑴了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）．　　

⑵了解数列是自变量为正整数的一类函数．

　　    2．等差数列、等比数列　　

⑴理解等差数列、等比数列的概念．

⑵掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 项和公式．　　

⑶能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．　　

⑷了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．　　

考点1  由数列的前几项写出通项．　　

考点2  由递推关系式求通项．　　

考点3  由前 项和 求通项．

考点4  等差、等比数列的相关概念与性质．

考点5  等差、等比数列的性质及应用．

考点6  等差、等比数列的实际应用．

考点7  数列的综合应用．

考点8  数列求和．