2、不等式恒成立常见处理方法有三种：

第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； （请同学们参看2010省统测2）

例1：设函数y?f(x)在区间D上的导数为f?(x)，f?(x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D上，g(x)?0恒成立，则称函数y?f(x)在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，

x4mx33x2

f(x)??? 1262

（1）若y?f(x)在区间?0,3?上为“凸函数”，求m的取值范围；

（2）若对满足m?2的任何一个实数m，函数f(x)在区间?a,b?上都为“凸函数”，求b?a的最大值.

例2：设函数f(x)??13x?2ax2?3a2x?b(0?a?1,b?R) 3

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；

（Ⅱ）若对任意的x?[a?1,a?2],不等式f?(x)?a恒成立，求a的取值范围.

（二次函数区间最值的例子）

第三种：构造函数求最值

题型特征：f(x)?g(x)恒成立?h(x)?f(x)?g(x)?0恒成立；从而转化为第一、二种题型

例3；已知函数f(x)?x3?ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为?3，

t?62x?(t?1)x?3(t?0) 2

（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）当x?[?1,4]时，求f(x)的值域；

（Ⅲ）当x?[1,4]时，不等式f(x)?g(x)恒成立，求实数t的取值范围。 g(x)?x3?

二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1：转化为f'(x)?0或f'(x)?0在给定区间上恒成立， 回归基础题型

解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；

做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集

例4：已知a?R，函数f(x)?13a?12x?x?(4a?1)x． 122

（Ⅰ）如果函数g(x)?f?(x)是偶函数，求f(x)的极大值和极小值；

（Ⅱ）如果函数f(x)是(??,??)上的单调函数，求a的取值范围．

例5、已知函数f(x)?131x?(2?a)x2?(1?a)x(a?0). 32

（I）求f(x)的单调区间；

（II）若f(x)在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想

三、题型二：根的个数问题

题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题 解题步骤

第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；

第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；

第三步：解不等式（组）即可；

例6、已知函数f(x)?13(k?1)21x?x，g(x)??kx，且f(x)在区间(2,??)上为增函数． 323

（1） 求实数k的取值范围；

（2） 若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围．

根的个数知道，部分根可求或已知。

例7、已知函数f(x)?ax?312x?2x?c 2

（1）若x??1是f(x)的极值点且f(x)的图像过原点，求f(x)的极值；

12bx?x?d，在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)的图像与函数f(x)的2

图像恒有含x??1的三个不同交点？若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由。 （2）若g(x)?题2：切线的条数问题====以切点x0为未知数的方程的根的个数

32例7、已知函数f(x)?ax?bx?cx在点x0处取得极小值－4，使其导数f'(x)?0的x的取值范围

为(1,3)，求：（1）f(x)的解析式；（2）若过点P(?1,m)可作曲线y?f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

题3：已知f(x)在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数 解法：根分布或判别式法

例8、

例9、已知函数f(x)?a3121x?x，(a?R,a?0)（1）求f(x)的单调区间；（2）令g(x)＝x4＋f324 （x）（x∈R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围．

其它例题：

（a?0）1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在R上的函数f(x)?ax3?2ax2?b在

区间??2,1?上的最大值是5，最小值是－11.

（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）若t?[?1,1]时，f?(x）?tx?0恒成立，求实数x的取值范围.

2、（根分布与线性规划例子）

（1）已知函数f(x)?x3?ax2?bx?c

(Ⅰ) 若函数f(x)在x?1时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线3x?y?0平行, 求23f(x)的解析式；

(Ⅱ) 当f(x)在x?(0,1)取得极大值且在x?(1,2)取得极小值时, 设点M(b?2,a?1)所在平面区域为S, 经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分, 求直线L的方程.

解： (Ⅰ). 由f?(x)?2x2?2ax?b, 函数f(x)在x?1时有极值 ,

∴ 2a?b?2?0

∵ f(0)?1 ∴ c?1

又∵ f(x)在(0,1)处的切线与直线3x?y?0平行,

∴ f?(0)?b??3 故 a?

∴ f(x)?1 22312x?x?3x?1 ……………………. 7分 32

2 (Ⅱ) 解法一: 由f?(x)?2x?2ax?b 及f(x)在x?(0,1)取得极大值且在x?(1,2)取得极小值,

?f?(0)?0?∴ ?f?(1)?0 即

?f?(2)?0??b?0??2a?b?2?0 令M(x,?4a?b?8?0??x?b?2y), 则 ? y?a?1?

?x?2?0?a?y?1?∴ ? ∴ ?2y?x?2?0 故点M所在平面区域S为如图△ABC, ?b?x?2?4y?x?6?0?

易得A(?2,30), B(?2,?1), C(2,?2), D(0,?1), E(0,?), S?ABC?2 2

同时DE为△ABC的中位线, S?DEC?1S 3四边形ABED

∴ 所求一条直线L的方程为: x?0

另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分, 设直线L方程为y?kx,它与AC,BC分别交于F、G, 则 k?0, S四边形DEGF?1

由 ??y?kx2 得点F的横坐标为: xF?? 2k?1?2y?x?2?0

?y?kx6 得点G的横坐标为: xG?? 4k?14y?x?6?0?由 ?

∴S四边形DEGF解得: k??S?OGE?S?OFD ???13612??1??1即 16k2?2k?5?0 224k?122k?1151 或 k?? (舍去) 故这时直线方程为: y?x 282

1综上,所求直线方程为: x?0或y?x .…………….………….12分 2

(Ⅱ) 解法二: 由f?(x)?2x2?2ax?b 及f(x)在x?(0,1)取得极大值且在x?(1,2)取得极小值,

?f?(0)?0?∴ ?f?(1)?0 即

?f?(2)?0??b?0??2a?b?2?0 令M(x,?4a?b?8?0??x?b?2y), 则 ? ?y?a?1

?a?y?1∴ ? ∴ b?x?2?

易得A(?2,?x?2?0??2y?x?2?0 故点M所在平面区域S为如图△ABC, ?4y?x?6?0?30), B(?2,?1), C(2,?2), D(0,?1), E(0,?), S?ABC?2 2

同时DE为△ABC的中位线, S?DEC?1S ∴所求一条直线L的方程为: x?0 3四边形ABED

1x, 设直线BO与AC交于H , 2另一种情况由于直线BO方程为: y?

1?1?y?x由 ? 得直线L与AC交点为: H(?1,?) 22?2y?x?2?0?

∵ S?ABC?2, S?DEC1111111S?S?S??2?1??2??

???2?, ?ABH?ABO?AOH2222222

∴ 所求直线方程为: x?0 或y?1x 2

3、（根的个数问题）已知函数f(x)?ax3?bx2?(c?3a?2b)x?d (a?0)的图象如图所示。

（Ⅰ）求c、d的值；

（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3x?y?11?0，

求函数f ( x )的解析式；

（Ⅲ）若x0?5,方程f(x)?8a有三个不同的根，求实数a的取值范围。

解：由题知：f?(x)?3ax2?2bx+c-3a-2b

（Ⅰ）由图可知 函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且f??1?= 0

?d?3?d?3得? ??c?03a?2b?c?3a?2b?0??

f??2?= – 3 且f ( 2 ) = 5 （Ⅱ）依题意

?12a?4b?3a?2b??3 解得a = 1 , b = – 6 ?8a?4b?6a?4b?3?5?

所以f ( x ) = x3 – 6x2 + 9x + 3

（Ⅲ）依题意 f ( x ) = ax3 + bx2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a＞0 )

f??x?= 3ax2 + 2bx – 3a – 2b 由f??5?= 0?b = – 9a ① 若方程f ( x ) = 8a有三个不同的根，当且仅当 满足f ( 5 )＜8a＜f ( 1 ) ② 由① ② 得 – 25a + 3＜8a＜7a + 3?所以 当1＜a＜3 111＜a＜3时，方程f ( x ) = 8a有三个不同的根。???? 12分 11

14、（根的个数问题）已知函数f(x)?x3?ax2?x?1(a?R) 3

（1）若函数f(x)在x?x1,x?x2处取得极值，且x1?x2?2，求a的值及f(x)的单调区间；

（2）若a?1125，讨论曲线f(x)与g(x)?x?(2a?1)x?(?2?x?1)的交点个数． 226

2 解：（1）f'(x)?x?2ax?1

?x1?x2?2a,x1?x2??

1

?x1?x2???2

?a?0???????????????????????????2分

f?(x)?x2?2ax?1?x2?

1

令f?(x)?0得x??1,或x?1 令f?(x)?0得?1?x?1

∴f(x)的单调递增区间为(??,?1)，(1,??)，单调递减区间为(?1,1)????5分 （2）由题f(x)?g(x)得

1315x?ax2?x?1?x2?(2a?1)x? 326

13121

即x?(a?)x?2ax??0 326

13121

令?(x)?x?(a?)x?2ax?(?2?x?1)????????6分

326

???(x)?x2?(2a?1)x?2a?(x?2a)(x?1)

令??(x)?0得x?2a或x?1?????????????????7分

1 2

当2a??

2a??1?a?

9

?0，a?0，有一个交点；??????????9分 2

1

当2a??2即?1?a?时，

此时，?8a?

?a2(3?2a)??0, 36

99

∴当?8a??0即?1?a??时,有一个交点；

21699

?a?0时，有两个交点； 当?8a??0，且a?0即?

21619

当0?a?时，?8a??0，有一个交点．?????????13分

2291

综上可知，当a??或0?a?时，有一个交点；

162

9?a?0时，有两个交点．?????????????14分 16

x325、（简单切线问题）已知函数f(x)?2图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数5a

3bxg(x)?f(x)?2?3． a

（Ⅰ） 若函数g(x)在x?1处有极值，求g(x)的解析式； 当?

（Ⅱ） 若函数g(x)在区间[?1,1]上为增函数，且b2?mb?4?g(x)在区间[?1,1]上都成立，求实数m的取值范围．

第二篇：高考数学题型全归纳：等比数列与等差数列概念及性质对比典型例题(含答案)

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等比数列与等差数列概念及性质对比

1．数列的定义

顾名思义，数列就是数的序列，严格地说，按一定次序排列的一列数叫做数列．

数列的基本特征是：构成数列的这些数是有序的．

数列和数集虽然是两个不同的概念，但它们既有区别，又有联系．数列又是一类特殊的函数．

2．等差数列的定义

顾名思义，等差数列就是“差相等”的数列．严格地说，从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，叫做等差数列．

这个定义的要点有两个：一是“从第2项起”，二是“每一项与它的前一项的差等于同一个常数”．这两个要点，刻画了等差数列的本质．

3．等差数列的通项公式

等差数列的通项公式是：a_n= a₁＋（n－1）d ．             ①

这个通项公式既可看成是含有某些未知数的方程，又可将a_n看作关于变量n的函数，这为我们利用函数和方程的思想求解问题提供了工具．

从发展的角度看，将通项公式①进行推广，可获得更加广义的通项公式及等差数列的一个简单性质，并由此揭示等差数列公差的几何意义，同时也可揭示在等差数列中，当某两项的项数和等于另两项的项数和时，这四项之间的关系．  

4．等差中项

A称作a与b的等差中项是指三数a，A，b成等差数列．其数学表示是：

，或2 A=a＋b．

显然A是a和b的算术平均值． 2 A=a＋b（或）是判断三数a，A，b成等差数列的一个依据，并且，2 A=a＋b（或）是a，A，b成等差数列的充要条件．由此得，等差数列中从第2项起，每一项（有穷等差数列末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项．

值得指出的是，虽然用2A=a＋b（或）可同时判定A是a与b的等差中项及A是b与a的等差中项，但两者的意义是不一样的，因为等差数列a，A，b与等差数列b，A，a不是同一个数列．

5．等差数列前n项的和

等差数列前n项和的公式是：，             ①

或                                   ②

公式①和②均可看作方程．事实上，公式①和②中均含有四个量，若知其中任意三个量的值，便可通过解方程的办法求一个量的值．若将前n项和的公式与通项公式结合起来看，共有五个量，通常知道其中的任意三个量的值，通过解方程组就可求出其余的两个量的值．

公式①的结构形式与梯形的面积公式是一致的，这可由教材中码放钢管的示意图得到印证．

公式②中的也可看作关于变量n的二次式（d≠0时），其图像是在二次函数：的图像上当x取1，2，3，…时所对应的那群孤立点．这为我们利用函数的观点求解等差数列前n项和的最大值或最小值问题提供了直观的背景．

6．等比数列的定义

顾名思义，等比数列就是“比值相等”的数列．严格地说，从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列，叫做等比数列．

和等差数列类似，这个定义也有两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项的比等于同一个常数”．它们刻画了等比数列的本质．

7．等比数列的通项公式

等比数列的通项公式是：a_n= a₁q^n－1．                   ①

这里，一方面，可将a_n看作是n的函数，另一方面公式本身也可视为一个方程．从发展的角度看，将公式①进行适当推广，便可得更加广义的通项公式及等比数列的一个简单性质．

8．等比中项

G称作a与b的等比中项是指三数a，G，b，成等比数列．其数学表示是

，或 G²=ab．

显然，只有同两数才有等比中项；若两数有等比中项，若两数有等比中项，则必有两个，它们是一对互为相反数；一个等比数列从第2项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项．

9．等比数列前n项的和

等比数列前n项和的公式是：

公式可视为一个方程，它含有四个量．若已知其中任意三个量的值，便可通过解方程求出另一个量的值．

公式

即．

从函数的观点看，S_n是关于qⁿ的一次式，

因此点（qⁿ，S_n）在直线上．