电动简单题汇总（仅供参考）

1.电动力学的理论基础：麦氏方程组和洛伦兹力公式,正确地反映了电磁场的运动规律以及它和带电物质的相互作用规律,加上介质电磁性质构成电动力学的理论基础。

麦氏方程组的实验基础：库仑定律、毕奥萨伐尔定律。（此项不好准确说，请大家酌情吸收）

2.位移电流的物理意义：位移电流是电位移矢量随时间的变化率对曲面的积分。位移电流只表示电场的变化率，与传导电流不同，它不产生热效应、化学效应等。位移电流不是电荷作定向运动的电流，但它引起的变化电场，也相当于一种电流。

引入的原因：在非恒定的J下，一般有 ，安培环路定理与电荷守恒定律发生矛盾。

3.麦克斯韦方程组：注：微分形式的推导（自己看书上）。熟悉各种形式，包括真空中介质中。

（1）描述了电场的性质。在一般情况下，电场可以是库仑电场也可以是变化磁场激发的感应电场，而感应电场是涡旋场，它的电位移线是闭合的，对封闭曲面的通量无贡献。

（2）描述了磁场的性质。磁场可以由传导电流激发（安培环路定理），也可以由变化电场的位移电流所激发，它们的磁场都是涡旋场，磁感应线都是闭合线，对封闭曲面的通量无贡献。

（3）高斯定理，表明电荷是电场的源，具有有源性。

（4）磁通连续定理，磁场的无源性，无磁单极子的存在。

4.复电容率的物理意义：（P123）ε’=ε+iσ/ω，实数部分代表位移电流的贡献，它不引起电磁波功率的耗散，而虚数部分是传导电流的贡献，它引起能量的耗散。

5.规范变换下的规范不变性解释：由于表示电磁场客观属性的可测量的物理量为E和B，而不同规范又对应着同一E和B，因此，如果用势来描述电磁场，客观规律应该和势的特殊的规范选择有关，当势做规范变换时，所有物理量和物理规律都应该保持不变，这种不变性成为规范不变性。 规范条件有两个库仑规范和洛伦兹规范，具体见书。

6.说明一定动量的和能量的光子碰到静止的电子不能被吸收：见书中第六章25题。

7.洛伦兹力公式及物理内涵：给出了电荷系统在电磁场中受到的力密度，即f= E+J B,其第一项表示电荷系统受电场的力密度，第二项表示电荷系统受磁场的力密度，是描述电磁相互作用的理论。f即为电荷系统的动量密度变化率。

8.趋肤效应：对于高平电磁波，电磁场以及和它相互作用的高频电流仅集中于表面很薄一层内，这种现象成为趋肤效应。于是出现靠近导体表面处的电流密度大于导体内部电流密度的现象。随着电流频率的提高，趋肤效应使导体的电阻增大，电感减小。

穿透深度：波幅降至导体表面原值的1/e的传播距离成为穿透深度。

9.推迟势：推迟势的推导过程及其表达式见Page158~Page160；物理意义：反映了电磁作用具有一定的传播速度，空间某点x在某时刻t的场值不是依赖于同一时刻的电荷电流分布，而是决定于较早时刻t-r/c的电荷电流分布。也就是说，电荷产生的物理作用不能够立刻传至场点，而是在较晚的时刻才传到场点，所推迟的时间r/c正是电磁作用从源点x’传至场点x所需时间，c是电磁作用的传播速度。

10.反射与折射定律的理论基础：一般情况下的电磁场的边值关系。

11.电磁场的时空理论：所有事件的发生要在间隔小于ct的时空锥中才有可能。引入含有时间t的四维矢量构成电磁场张量，通过变换矩阵得到电磁场的相对性。（即电磁场是一个统一的整体）见P220。因果律和相互作用的最大传播速度、同时相对性、运动时钟的延缓、运动尺度的缩短。

12.理想导体的的边界条件：（见P128）

13.为什么说辐射问题本质上也是个边值问题？

答：严格来说，辐射电磁波的天线上的交变电流和它激发的 电磁场是相互作用的。天线电流激发电磁场，而电磁场又反过来作用到天线电流上，影响着天线电流的分布，所以为什么说辐射问题本质上也是个边值问题。

14.矢势的引入及其规范。答：见Page154~Page156。

第二篇：电动力学知识总结

第一章  电磁现象的普遍规律

§1.1  电荷与电场

1、库仑定律

（1）库仑定律

如图1-1-1所示，真空中静止电荷对另一个静止电荷的作用力为

      （1.1.1）

式中是真空介电常数。

（2）电场强度

静止的点电荷在真空中所产生的电场强度为

                                          （1.1.2）

（3）电场的叠加原理

个分立的点电荷在处产生的场强为

                                        （1.1.3）

体积内的体电荷分布所产生的场强为

                                       （1.1.4）

式中为源点的坐标，为场点的坐标。

2、高斯定理和电场的散度

高斯定理：电场强度穿出封闭曲面S的总电通量等于S内的电荷的代数和除以。用公式表示为

      （分离电荷情形）                    （1.1.5）

或

     （电荷连续分布情形）              （1.1.6）

其中为所包住的体积，为上的面元，其方向是外法线方向。

应用积分变换的高斯公式

                                            （1.1.7）

由（1.1.6）式可得静电场的散度为

       

3. 静电场的旋度

由库仑定律可推得静电场的环量为

                                             （1.1.8）

应用积分变换的斯托克斯公式

        

从（1.1.8）式得出静电场的旋度为

                                               （1.1.9）

§1.2  电流和磁场

1、电荷守恒定律

不与外界交换电荷的系统，其电荷的代数和不随时间变化。对于体积为，边界面为的有限区域内，有

                                      （1.2.1）

或

                                            （1.2.2）

这就是电荷守恒定律的数学表达式。

2、毕奥－萨伐尔定律

处的电流元在处产生的磁感强度为

                                 （1.2.3）

参见图1-1-2。由此得沿闭合曲线流动的电流所产生的磁感强度为

 (1.2.4)

如果电流是体分布，则电流元为，这时

                          （1.2.5）

                          （1.2.6）

3、磁场的环量和旋度

（1）安培环路定理

磁感强度沿闭合曲线L的环量等于通过L所围的曲面S的电流代数和的倍；即

                                 (1.2.7)

（2）磁场的旋度

由安培环路定理和斯托克斯公式

             

可得磁场的旋度为

                                             （1.2.8）

这是安培环路定理的微分形式。

4、磁场的散度

磁场的散度为                                      （1.2.9）

§1.3  麦克斯韦方程组

1、              麦克斯韦对电磁感应定律的推广

按照法拉第电磁感应定律，变化的磁场在一固定导体回路中产生的感应电动势为

                        （1.3.1）

依定义，感应电动势是电场强度沿导体回路的线积分，因此（1.3.1）式可写做

                        （1.3.2）

其中是变化的磁场在导体中产生的感应电场的电场强度。

麦克斯韦的推广：当导体回路不存在时，变化的磁场在空间仍然产生感应电场，并且满足（1.3.2）式。

应用斯托克斯公式，可将（1.3.2）式化为微分形式

                                （1.3.3）

在一般情况下，既有静电场，又有感应电场，则总电场便为

                                 （1.3.4）

又因为，故得

                                                   （1.3.5）

这就是麦克斯韦推广了的法拉第电磁感应定律。

2、麦克斯韦对安培环路定理的推广

稳恒电流的安培环路定理为，由此得出

                                     （1.3.6）

这与电荷守恒定律

                                （1.3.7）

相矛盾。

麦克斯韦的推广：在一般情况下，安培环路定理的普遍形式为

                                              （1.3.8）

其中

                                                      （1.3.9）

叫做位移电流密度。即

                                           （1.3.10）

或

                                     （1.3.11）

3、麦克斯韦方程组

我们把电磁学中最基本的实验定律概括、总结和提高到一组在一般情况下相互协调的方程组，这便是麦克斯韦推广了的安培环路定理。它与电荷守恒定律不矛盾。

                        （1.3.12）

这组方程称为麦克斯韦方程组。

4、洛伦兹力公式

带电荷q的粒子以速度在电磁场中运动时，它所受的力为

作用在单位体积的电荷上的力（力密度）为

              

§1.4  介质的电磁性质

1、介质的极化

（1）极化强度

在外电场的作用下，介质的分子产生电偶极矩或固有的电偶极矩趋向有规则的排列，这叫做介质的极化。

极化强度是描述介质极化状态的量，其定义是单位体积内的电偶极矩，即

                                       （1.4.1）

式中为包含有大量分子的物理小体积，为第个分子的电偶极矩。

如果每个分子的平均电偶极矩为，则

                                          （1.4.2）

式中为分子数密度。

（2）极化电荷与极化强度的关系

极化电荷体密度与极化强度的关系为

                               （1.4.3）

或

                                      （1.4.4）

极化电荷面密度与的关系为

                                 （1.4.5）

式中为交界面法线方向的单位矢量，从介质1指向介质2。如果介质2为真空，则

                                                     （1.4.6）

均匀介质内的极化电荷

                          （1.4.7）

即均匀介质内任意一点的极化电荷密度等于该点的自由电荷密度的倍。

因此，若该点处无自由电荷分布，则。

（3）有介质时的电场

在一般情况下，介质中的电场是自由电荷的电场，极化电荷的电场以及变化磁场产生的感应电场的和，即

                                (1.4.8)

在介质中，电场的旋度和散度分别为

                             （1.4.9）

和

             （1.4.10）

（4）电位移及其与电场强度的关系

电位移矢量的定义为

                                    （1.4.11）

在各向同性的线性介质中，与成线性关系

                                               （1.4.12）

叫做介质的电极化率。代入（1.4.11）式得

                                 （1.4.13）

定义相对介电常数和介电常数分别为

              ，                            （1.4.14）

这时

                                                      （1.4.15）

2、介质的磁化

（1）磁化强度

在外磁场的作用下，介质分子产生的磁矩或固有磁矩趋向有规则排列，这叫做介质的磁化。磁化强度是描述介质磁化状态的量，其定义是单位体积内的磁矩，即

                                     （1.4.16）

式中为含有大量分子的物理小体积，为第个分子的磁矩。

如果每个分子的平均磁矩为，则

                                        （1.4.17）

式中n为分子数密度。

（2）磁化电流与磁化强度的关系

磁化电流体密度与磁化强度的关系为

                             （1.4.18）

上式可写作

                     （1.4.19）

式中是积分环路所套住的磁化电流的代数和，如图1-1-3。

把斯托克斯公式用于（1.4.18）式，便得

                                    （1.4.20）

磁化电流面密度与磁化强度的关系：面电流是指在曲面上流动的电流，面电流密度的大小等于通过与垂直的单位长度横截线的电流。设介质1的磁化强度为，介质2的磁化强度为，在两介质的交界面上，磁化面电流密度为，交界面的单位法向矢量为，从介质1指向介质2，则

                                            （1.4.21）

若介质2为真空，则

                                            （1.4.21）

（3）有介质时的磁场

自由电流、磁化电流和位移电流都产生磁场，这些磁场的叠加就是介质中的磁场。因此，在一般情况下，磁场的旋度和散度分别为

     （1.4.23）

和

                                                     （1.4.24）

（4）磁场强度及其与磁感强度的关系

磁场定义为

                                                  （1.4.25）

对于各向同性的非铁磁物质，磁化强度和之间有简单的线性关系

                                                   （1.4.26）

叫做介质的磁化率。把（1.4.26）式代入（1.4.25）式可得

                                            （1.4.27）

定义相对磁导率和磁导率分别为

              ，                           （1.4.28）

这时

                                        （1.4.29）

对于所有物质来说，相对介电常数都大于1，但相对磁导率则可以大于1（顺磁质），也可以小于1（抗磁质）。

3、介质中的麦克斯韦方程组

电磁场遵守的普遍规律为

                                （1.4.29）

物质方程：在各向同性的线性介质中

，                               （1.4.29）

§1.5  电磁场边值关系

由麦克斯韦方程组的积分形式得出介质交接面两侧场量的关系为

式中是交接面法线上的单位矢量，从介质1指向介质2；和分别是交界面上的自由电荷和自由面电流密度。

在用交界面两侧的切向分量（下标），和法向分量（下标）表示时，边值关系可写做

§1.6  电磁场的能量和能流

1．电磁系统的能量守恒定律

考虑图1-1-4所示的空间区域，其边界面为Σ。设内有电荷分布和电流分布。

（1）电磁场作用在单位体积电荷上的力为，这力的功率为

                      （1.6.1）

式中代表介质单位体积消耗的焦耳热。

（2）电磁场对体积内的电荷系统做功的功率为

                                                （1.6.2）

（3）体积内电磁场能量的增加率为

                                    （1.6.3）

（4）单位时间内从边界面Σ流出体积的电磁能量为

                                        （1.6.4）

因为能量守恒，对于体积内的电磁场能量有

                          （1.6.5）

或

                                       （1.6.6）

这便是电磁场的能量守恒定律。

2．电磁场的能量密度

单位体积内的电磁场能量为

                                      （1.6.7）

3．电磁场的能量密度

单位时间流过垂直于能流方向的单位面积的电磁场能量为

                                              （1.6.7）

通常叫做坡印廷矢量。

第二章  静电场

§2.1  静电场的标势及其微分方程

1、静电场的标势

（1）静电场的基本方程

                                       （2.1.1）

或                                                 （2.1.2）

                                                     （2.1.3）

或                                                  （2.1.4）

其中电荷是封闭曲面包住的自由电荷的代数和，是自由电荷密度。

（2）静电场的电势

在静电场中，根据（2.1.3）式知道有势函数存在，使得

                                       （2.1.5）

如果在无穷远处的电场强度为零，一般便选为电势参考点，这时由上式得空间一点的电势为

                                   （2.1.6）

① 点电荷的电势

由库仑定律可得处（源点）的点电荷在处（场点）产生的电势为

                                （2.1.7）

② 电势叠加原理

分立的点电荷系所产生的电势为

                              （2.1.8）

连续分布的电荷所产生的电势为

                             （2.1.9）

2、静电势所满足的微分方程和边值关系

（1）电势的微分方程

电势满足方程

                                  （2.1.10）

在均匀介质内，（2.1.10）式可化为

                                     （2.1.11）

这个方程叫泊松方程。式中是自由电荷密度。如果则（2.1.11）式便化为拉普拉斯方程          

                                       （2.1.12）

（2）电势的边值关系

在介电常数不同的两种介质交界面上，电势满足下列边值关系

                                        （2.1.13）

                             （2.1.14）

其中是由介质1指向介质2的单位法向矢量，是交界面上的自由电荷面密度。

如果介质1是导体，则以上两式分别化为

=常量                                       （2.1.15）

和                                                （2.1.16）

3、静电场能量

电荷分布在区域内，密度为，所具有的静电能量为

                             （2.1.17）

这能量分布在电场中，因此

                      （2.1.17）

式中是上述电荷所产生的电场，积分遍及不为零的全部空间。

§2.2  唯一性定理

静电学的基本问题是求出在所有边界上满足边值关系或给定边界条件的泊松方程的解。唯一性问题是讨论在什么条件下，解是唯一的。这点很重要，因为求解的方法不同，求出的解可能有不同的表达形式，有时要证明它们是同一解颇非易事；但如果这些解都满足相同的边界条件，则它们必定相同。其次，对于有些问题，可以根据经验提出尝试解。如果所提出的尝试解满足唯一性定理所要求的条件，它就是该问题的唯一正确解。

1. 问题说明

假定空间V可以分为若干个小区域，每一小区域内都是充满均匀的，介电常数为的各向同性介质。设内的自由电荷分布已知，则在内，电势满足泊松方程

                                   （2.2.1）

在两区域和的交界面上，电势满足边值关系

                                         （2.2.1）

                              （2.2.1）

2. 唯一性定理

设区域内自由电荷的分布已知，在的边界上给定

（i）       电势，

或

（ii）电势的法向导数（即），

则V内的电场便唯一确定。

3. 有导体存在时的唯一性定理

设区域内有一些导体，给定导体之外的电荷分布，并给定

（i）每个导体上的电势，

或

（ii）每个导体上的总电荷，

以及V的边界S上的或值，则内的电场便唯一地确定。

§2.3  拉普拉斯方程 分离变量法

1、笛卡儿坐标系

拉普拉斯方程（简称拉氏方程）的形式为

                                            （2.3.1）

设电势可分离变数，即，则拉氏方程可分为以下三个方程

                                       （2.3.2）

                                        （2.3.3）

                                     （2.3.4）

由此得方程的通解为

       

                                           (2.3.5)

式中各常数，，，，，等由问题的具体条件决定。

2、柱坐标系

拉氏方程为

                        （2.3.6）

设电势可分离变数，即，代入上式求得的解为

                                      （2.3.7）

的解为

                           （2.3.8）

在内，符合物理实际的解必须是单值的，因此必须是整数。

的解为

                            （2.3.9）

式中

                                      （2.3.10）

和

                      （2.3.11）

其中级数是阶第一类贝塞耳函数，如果（整数），则在幂级数中的伽玛函数可以用  来代替。是阶第二类贝塞耳函数。

函数在附近的奇异性与相似。因此，只要已知处的电势是有限的，在解中就不包含，即系数为零。

3、球坐标系

球坐标系中拉氏方程为

     （2.3.12）

设电势可分离变数，即，且在和时为有限值，则拉氏方程（2.3.12）的通解为

                （2.3.13）

式中是连带勒让德多项式。

如果问题具有轴对称性（），通解为

                          （2.3.14）

式中是勒让德多项式。

通解中的系数，，，或、等由问题的具体条件确定。

§2.4  镜像法

1、平面边界

(1) 无限大导体平面外的点电荷

点电荷到电势为零的无限大导体平面的距离为，如图1-2-1，电像在导体平面的另一侧，与导体平面的距离为。则导体外的电势为

，（2.4.1）

导体面上的感应电荷面密度为

  （2.4.2）

导体面上的总感应电荷为

    （2.4.3）

导体上感应电荷吸引点电荷q的力为

                                         （2.4.4）

感应电荷与点电荷的相互作用能为

                                          （2.4.5）

（2）劈形导体平面间的点电荷

如图1-2-2，两无限大导体平板电势为零，夹角为。其间有一点电荷，点电荷的幅角为，与角的顶点的距离为。有多重电像，当(n为整数)时，电像的个数为（2n-1）个，

                                      （2.4.6）

所有电像均位于以为圆心，为半径的圆周上。诸电像的位置为

：    ，，……，，  共个。

：    ，，……，，       共个。

图1-2-2是时电像的分布图。共有七个电像。

（3）  介质平面外的点电荷

两无穷大的均匀介质的介电常数分别为和交界面为平面。在中有一自由点电荷，距交界面为，如图1-2-3所示。

求区域的解时，可在区域内距界面为处设置一电像电荷。则所求电势为：

                      （2.4.7）

求区域（）的解时，可在z>0区域内距界面为处设置电像电荷，则所求电势为

                       (2.4.8)

在z=0的交界面上任意一点处，电势应满足边值关系

                                                （2.4.9）

                                        （2.4.10）

设，则在原点处，应用上式可得

                                      （2.4.11）

                                            （2.4.12）

解得

                                          （2.4.13）

                                          （2.4.14）

因此

 

                                                        （2.4.15）

                  （2.4.16）

点电荷所受的库仑力为

                                      （2.4.17）

2、球面边界

（1）导体球外的点电荷

有一电势为零，半径为的导体球，球外距球心为处的点有一点电荷。

如图1-2-4，在球内点设置一电像，距球心为。由边界条件得

                                            （2.4.18）

                                          （2.4.19）

于是球外处的电势为

                        （2.4.20）

这里选取球心为原点，和分别为电荷和的位置矢量。

球上的电荷密度面为

         （2.4.21）

电荷与导体球的相互作用能为

                                （2.4.22）

电荷所受的库仑力为

                                （2.4.23）

（2）导体球形空腔内的点电荷

导体内有一球形空腔，腔内距球心为处有一点电荷，导体的电势为零。

由对称性可知，这时图1-2-4中，位于点的电荷便是的电像，并且

                                            （2.4.24）

                                               （2.4.25）

这时空腔内的电势为

                  （2.4.26）

§2.5  格林函数

点电荷的密度：位于处的单位点电荷的密度为 。

格林函数: 它是单位正点电荷在一定边界条件下的电势。它用表示，括号内左边的位矢对应场点，右边的代表点源的位矢。它满足方程

                          (2.5.1)

第一类边值问题的格林函数满足边界条件

                                    (2.5.2)

第二类边值问题的格林函数满足边界条件

                                         (2.5.3)

其中为边界面法线方向。

格林函数的对称性

                                （2.5.4）

对于一定边界条件下的格林函数，场点和源点交换时，格林函数的值不变。如球外空间的第一类格林函数是

   （2.5.5）

与互换（即互换），从上式看出函数值不变。

含格林林函数的格林公式

  (2.5.6)

第一类边值问题的解

           (2.5.7)

式中的位为第一类边值格林函数，边界条件由给定。

第二类边值问题的解

                （2.5.8）

式中的为第二类边值，边界条件由给定，中应包含无限远处的面。

§2.6  电多极矩

1、电势的多极展开

电荷分布在有限的区域内，体密度为，则它所产生的电势为

                               (2.6.1)

对于远场（即处的场），上式可展开为

 （2.6.2）

式中为电荷系的总电量，即

                                      （2.6.3）

为电荷系的电偶极矩，即

                                     （2.6.4）

为电荷系的电四极矩，即

                                        （2.6.5）

它的分量为

                                      （2.6.6）

点电荷系的电四极矩为

                                 （2.6.7）

其分量为

                                      (2.6.8)

电四极矩张量是对称张量，又因为    

                                              (2.6.9)

因而只有五个独立分量。

2、相互作用能

点电荷在外场中的能量为

式中是所在处外电场的电势。

电荷系在外场中的能量为

点电荷系的相互作用能为

式中是除外所有其余的点电荷在所在点产生的电势。

第三章  静磁场

§3.1  矢势及其微分方程

1、矢势

 （1）稳恒电流磁场的基本方程

                                                      （3.1.1）

或                                                  （3.1.2）

                                                     （3.1.3）

或                                                  (3.1.4)

式中是自由电流密度，是被闭合环路套住的自由电流的代数和。

（2）稳恒磁场的矢势

由知，存在空间矢量势函数，它满足

                                                 （3.1.5）

对于一个确定的磁场，由（3.1.5）式确定的矢势不是唯一的，可以有一个附加的任意空间函数的梯度。通常用条件

                                                  （3.1.6）

来对这个任意函数加以限制。

（3）矢势的物理意义

                                （3.1.7）

即矢势沿任一闭合环路的积分等于通过以为边界的曲面的磁通量。

2、矢势的微分方程和边值关系

在均匀介质内，矢势满足泊松方程

                                                （3.1.8）

矢势的边值关系

          

在均匀介质内，该方程的特解是

                                              （3.1.9）

式中的积分遍及电流所分布的空间。

3、矢势的近似

电流分布在区域（线度为）内，电流密度为。

这电流在远处（即）产生的磁场其矢势可近似为

                                                 （3.1.10）

式中

                                 （3.1.11）

叫做这电流的磁矩。对于一个载流为的小线圈，其磁矩为

                                                (3.1.12)

4、稳恒电流磁场的能量

（1）自具能

电流分布在区域内，密度为，所具有的能量为

                                           （3.1.13）

这能量分布在磁场中，因此

                                   （3.1.14）

式中是上述电流所产生的磁场，积分遍及不为零的全部空间。

（2）相互作用能

电流在外磁场中的能量为

                                            （3.1.15）

载电流的小线圈在外磁场中的能量为

                                                （3.1.16）

式中为小线圈的磁矩。

§3.2  磁标势

1、磁标势

如果在某一闭合区域内没有自由电荷（即），这时稳恒磁场的基本方程为

                                   （3.2.1）

                                    （3.2.2）

由知，在该区域内存在势函数，它满足

                                                     （3.2.3）

这时，在形式上与静电场的相对应，而则与静电场的电势相对应。

2、磁标势的拉氏方程和边值关系

拉氏方程为

                                                       （3.2.4）

在没有传导电流的两介质交界面上，由

                                                     （3.2.5）

                                                     （3.2.6）

得出磁标势的边值关系为

                                   （3.2.7）

                            （3.2.8）

式中是交界面上由介质1指向介质2的单位法向矢量。

3、“磁荷”

磁荷密度：   

第四章  电磁波的传播

§4.1  平面电磁波

1、电磁场的波动方程

（1）真空中

在，的自由空间中，电磁强度和磁场强度满足波动方程

                                （4.1.1）

                                （4.1.2）

式中

              米/秒                   （4.1.3）

是光在真空中的速度。

（2）介质中

当电磁波在介质内传播时，介质的介电常数和磁导率一般地都随电磁波的频率变化，这种现象叫色散。这时没有和的一般波动方程，仅在单色波（频率为）的情况下才有

                                （4.1.4）

                               （4.1.5）

式中

                                （4.1.6）

是频率的函数。

2、亥姆霍兹方程

在各向同性的均匀介质内，假设，，则对于单色波有

                                 （4.1.7）

                                （4.1.8）

这时麦克斯韦方程组可化为

                       （4.1.9）

                                       （4.1.10）

                                 （4.1.11）

（4.1.9）式称为亥姆霍兹方程。由于导出该方程时用到了的条件，因此，亥姆霍兹方程的解只有满足时，才是麦克斯韦方程的解。

3、单色平面波

亥姆霍兹方程的最简单解是单色平面波

                               （4.1.12）

                              （4.1.13）

式中为波矢量，其值为

                                               （4.1.14）

平面波在介质中的相速度为

                                            （4.1.15）

式中和一般是频率的函数。

算符和作用于单色平面波的场（4.1.12）式或（4.1.13）式时，可简化为

                                         （4.1.16）

即，，而。

电场和磁场的关系为

                                             （4.1.17）

式中，为波传播方向上的单位矢量。

4、电磁波的能量和能流

电磁波的能量密度为

                                        （4.1.18）

对于单色平面波有，故

                                            （4.1.19）

单色平面波的能流密度为

                    （4.1.20）

对时间平均的能流密度为

                      （4.1.21）

§4.2  电磁波在介质交界面上的反射和折射

如图1-3-1所示，取两介质的交界面为xy平面，z轴从介质1指向介质2。设平面电磁波从介质1入射到交界面上，入射波、反射波和折射波的电场强度分别为

入射波：                                     （4.2.1）

反射波：                                     （4.2.2）

折射波：                                     （4.2.3）

1、反射定律和折射定律

电磁波在交界面上反射和折射时，分别遵守反射定律和折射定律

                                          （4.2.4）

                           （4.2.5）

式中为介质2相对于介质1的折射率。除铁磁质外，一般介质，故可得

                                       （4.2.6）

2、反射波和折射波的振幅

（1）菲涅耳公式

按入射波电矢量的振幅分下列三种情形：

（i）垂直于入射面

                                  （4.2.7）

                                  （4.2.8）

（ii）平行于入射面

                                    （4.2.9）

                         （4.2.10）

  （iii）与入射面斜交

把三个波的电矢量的振幅都分解为垂直于入射面的分量和平行于入射面的分量，如图1-3-2所示，即

    （4.2.11）

    （4.2.12）

   （4.2.13）

结果得出，和都只与有关；而和则都只与有关。具体关系如下：      

                             （4.2.14）

                             （4.2.15）

                                   （4.2.16）

                         （4.2.17）

可见（i）和(ii)是（iii）的两种特殊情况。

 （2）反射和折射产生的偏振

由（4.2.16）式可知，在的情况下，平行于入射面的分量没有反射波，因而反射波便是垂直于入射面的完全偏振波。这就是光学中的布儒斯特定律，这时的入射角称为布儒斯特角，其值为

                                     （4.2.18）

3、全反射

由折射定律知，当电磁波从较大的介质入射到较小的介质的交界面上时，折射角大于入射角，当时，变为，这时的入射角称为临界角，其值为。

若入射角再增大，当时，。这时就是复数，因而不再具有折射角这种直观的几何意义了。但折射定律

仍然成立。这时折射波为

                 （4.2.19）

是沿交界面x方向传播的电磁波。它的振幅沿z轴方向指数衰减。当振幅衰减到交界面上的振幅的时，沿z方向的距离为

                （4.2.20）

在一般情况下，和波长同数量级。因此在发生全反射时，折射波的能量主要集中在交界面附近厚度为的薄层内。当时，反射波的平均能流密度等于入射波的平均能流密度。因此，对时间平均来说，入射波的能量全部被反射，所以叫做全反射。

§4.3  有导体存在时电磁波的传播

1、导体的弛豫时间

在静电时，自由电荷只能分布在导体表面上。当导体里某处有电荷密度出现时，就会引起电流流动。与时间的关系为

                                       （4.3.1）

式中是导体的电导率。，叫做导体的弛豫时间，它等于值减小到的时间。

在交变场中，只要电磁波的频率满足

                                         （4.3.2）

就可以认为导体里没有自由电荷分布，因此（4.3.2）式可当做良导体的条件。

2、导体内的电磁波

对于一定频率的单色波来说，麦克斯韦方程组可以化为

                                    （4.3.3）

                                  （4.3.4）

                                                  （4.3.5）

                                                  （4.3.6）

式中

                                                    （4.3.7）

叫做导体的复介电常数。

由（4.3.3）—（4.3.6）可得导体内的亥姆霍兹方程为

                                   （4.3.8）

                                                （4.3.9）

这时是一个复矢量，设

                                                   （4.3.10）

则方程（3.3.8）的单色波解为

                                        （4.3.11）

其中的实部称为周相常数，虚部称为衰减常数。

如图1-3-3，设电磁波从介质入射到导体平面（z=0）上，平面为入射面。则由边值关系

         ，     

可得

          ，                   （4.3.12）

其中

      （4.3.13）

     （4.3.14）

3、穿透深度

当电磁波垂直入射到导体表面上时，由（4.3.12）式和（4.3.13）式可得

                                           （4.3.15）

这时，透射波的振幅随z作指数衰减，当振幅减小到导体表面处振幅的时，沿z方向经过的距离定义为穿透深度

                                 （4.3.16）

§4.4  谐振腔

谐振腔是各面都由金属壁构成的一个空腔，在腔内能够激发各种特定频率的驻波。

1. 矩形谐振腔中的电磁波

矩形谐振腔如图1-3-5所示。解亥姆霍兹方程，并把金属壁当作理想导体，

利用边界条件得出：矩形腔内电磁场的振幅为

                      (4.4.1)

式中

                                       （4.4.2）

、、为任意正整数或零。，和为任意常数；但因，故，和之间有如下关系： 

                              （4.4.3）

所以，，和之中仅有两个是独立的。

2. 本征频率

对于每一组值，谐振腔的本振频率为

                             （4.4.4）

3. 偏振波型

对于每一组值，有两种独立的偏振波型，它们的电场互相垂直。

矩形谐振腔可看做是由轴向长度为的一根矩形波导管，在两端加上与波导轴线垂直的金属端面构成。由于端面的存在，波导内的场现在有两部分迭加而成：一部分是沿方向传播的波，另一部分是沿负方向传播的波。这样对波来说，其纵向分量便为

      

又因为在端面上有  

                                      （4.4.5）

故。于是得 

最后得到，能在矩形谐振腔内存在的电磁场是一种驻波，其表达式如下：

                 （4.4.6）

      （4.4.7）

      （4.4.8）

         （4.4.9）

      （4.4.10）

                                                 (4.4.11)

这驻波是谐振腔中一种独立的偏振波型，它与波导中的波相对应。对于同一组值来说，与波导管中的波相对应的另一种独立的偏振波型，可以用类似的方法求出。

§4.5  波导管

1. 波导管中的电磁波

传播电磁波的长直金属管叫做波导管。波导管中传播的电磁波与自由空间的电磁波相比，由于边界条件不同，在性质上也有些不同。设以波导管的轴线为轴，则波导管内沿轴传播的频率为的电磁波可表示为

                                   （4.5.1）

                                       （4.5.2）

因满足下列方程   

                                 （4.5.3）

故得   

                         （4.5.4）

式中，为沿方向的分量。

2. 波和波

把（4.5.1）式和（4.5.2）式代入麦克斯韦方程组，得

                                           （4.5.5）

由此可得，场的横向分量可用纵向（轴向）分量表示如下

                                （4.5.6）

                               （4.5.7）

                               （4.5.8）

                                 （4.5.9）

可见，只要知道场的纵向分量，波导管内的电磁场就可完全确定。

由（4.5.6）至（4.5.9）诸式可以看出：波导管内不能传播波（即的横电磁波）。波导管内可以传播波（即的横电磁波）和波（即的横电磁波）。

3. 矩形波导管

横截面为矩形的波导管叫做矩形波导管。设管内横截面积为，取坐标如图1-3-4所示，电磁波沿轴方向传播。

（1）波

由（4.5.6）至（4.5.9）诸式可知，波由电磁场的纵向分量决定。由方程（4.5.4）得   

                     （4.5.10）

边界条件为  

                        （4.5.11）

由分离变量法可知，（4.5.10）式满足上述边界条件的解为

                                        （4.5.12）

式中是常量，（为正整数或零）。把（3.4.12）式分别代入（4.5.6）至（4.5.9）诸式，得波为

                   （4.5.13）

                   （4.5.14）

                                         （4.5.15）

                  （4.5.16）

                  （4.5.17）

                              （4.5.18）

（2）波

波由电场的纵向分量决定。满足方程

                               （4.5.19）

边界条件为  

，                          （4.5.20）

（4.5.19）式满足上述边界条件的解为

                       （4.5.21）

把（4.5.21）式代入（4.5.6）至（4.5.9）诸式得波为

                    （4.5.22）

                    （4.5.23）

                               （4.5.24）

    （4.5.25）

     （4.5.26）

                                            （4.5.27）

4. 波导管中电磁波的特点

（1）波型

在波导管内不可能存在波，只能存在波或波。在波导管的横截面上，场的分布情况取决于这两个常数，每一组的值对应两种独立的波型，分别记为波。

（2）截止频率

模式为的电磁波的截止频率为

                                  （4.5.28）

当电磁波的频率时，

                         （4.5.29）

是虚数，这时传播因子就变为衰减因子，因而不能在波导管中传播。

（3）波长

电磁波在波导管中的波长比在自由空间中的波长长，即

                                          （4.5.30）

（4）相速度和群速度

由相因子可得电磁波沿方向的相速度为

                                        （4.5.31）

可见，在波导管中电磁波的相速度大于真空中的光速。但这并不违反相对论，因为电磁波能量传播的速度是群速度，即 

                                 （4.5.32）

由以上两式有  

                                          （4.5.33）

5. 波

波导中最简单也最常用的波型是波。令，，由（4.5.13）至（4.5.18）诸式的波为

                                                   （4.5.34）

                      （4.5.35）

                                                       （4.5.36）

                       （4.5.37）

                                                   （4.5.38）

                               （4.5.39）

波的截止频率为  

                                       （4.5.40）

相应波长为 

                                          （4.5.41）

这是能够在矩形波导管内传播的电磁波的最长波长。

第五章  电磁波的辐射

§5.1  电磁场的矢势和标势

1. 矢势和标势

（1）矢势

因为，故存在矢势，使得

                                   （5.1.1）

矢势沿任一闭合环路的线积分等于通过以为边界的任意曲面的磁通量，即

                             (5.1.2)

(2) 标势

由麦克斯韦方程组的 和（5.1.1）式得 

可见是无旋场，因此存在标势，使得 

所以 

                               （5.1.3）

（3）用矢势和标势描述电磁场

在宏观领域里，通常用描述电磁场，有时为方便起见，也用矢势和标势描述电磁场。在微观领域里（如在量子力学和量子场论中），通常都用和描述电磁场。

2. 规范变换

（1）规范变换

对于一个给定的电磁场，它的都是确定的，但它的和却并不是确定的，而是有一定程度的任意性。设为有连续二级偏微商的任意函数，则当

                                 （5.1.4）

                                               （5.1.5）

时， 所描述的是同一个电磁场。（5.1.4）式和（5.1.5）式通常叫做规范变换。

（2）两种规范

为了对矢势和标势的任意性加以限制，可根据方便，选择为某个值。这叫做选择规范。

（a）  库仑规范

                                                  （5.1.6）

（b）  洛伦兹规范

                                             (5.1.7)

3. 势的微分方程

在真空中，由麦克斯韦方程和势的定义可推得

          （5.1.8）

                          （5.1.9）

（1）选择库仑规范时，方程（5.1.8）和（5.1.9）式分别化为

                               （5.1.10）

                                                   （5.1.11）

这时，标势与静电势相同，就是库仑势。

（2）选择洛伦兹规范时，方程（5.1.8）式和（5.1.9）式分别化为

                                      （5.1.12）

                                       （5.1.13）

这时满足相同的方程——达朗伯方程，具有波动方程的形式，电流的波源，电荷的波源。在源区以外，矢势和标势都以波动形式在空间中传播。

§5.2  推迟势

设电荷和电流分布在体积内，它们在处产生的势为

               （5.2.1）

                          （5.2.2）

式中和分别表示 时刻的电荷密度和电流密度，参看图1-4-1。（5.2.1）和（5.2.2）两式表明，电荷和电流在距离为处产生势需要经过一段时间，所以叫做推迟势。

1. 振荡电流的推迟势和电磁场

（1）振荡电流的推迟势

若电流是频率为的振荡电流，即 

                               （5.2.3）

则由前面的（5.2.2）式得出它所产生的推迟矢势为

                   （5.2.4）

式中。令，则

                      （5.2.5）

（2）振荡电流外面的电磁场

在振荡电流区域外面，。这时，有了，就可求出磁场

                                       （5.2.6）

再根据下式，便可求出电场 

                                    （5.2.7）

因此，这时只要知道矢势，便可求出电磁场来。

2. 远区推迟势的多极展开

设电流分布在区域内，的线度为。如图1-4-2，在内任取一点为坐标原点，这时，。通常（波长）的地方叫做中区，把的地方叫做远区。在中区和远区，（5.2.5）式可展开为

                        （5.2.8）

式中是方向上的单位矢量。

这个展开式可用多极矩表示如下：第一项为

                            （5.2.9）

式中是系统的电偶极矩的振幅，即 

                               （5.2.10）

第二项为 

             （5.2.11）

式中是系统的磁矩的振幅，是系统的电四极矩的振幅，它们分别为  

                           （5.2.12）

和  

                      （5.2.13）

§5.3  电偶极辐射

1. 中远区的电偶极场

由（5.2.9）式可求出振荡电偶极矩产生的电磁场为

        (5.3.1)

                                   (5.3.2)

式中，如图1-4-3所示。

                        

                 

                              

                       

                    图1-4-3

若以为极轴，取球极坐标系，则由上面两式得

                            （5.3.3）

                                                             （5.3.4）

2. 电偶极辐射场

对于远区的辐射场，可略去项。这时，以方向为极轴取球极坐标，电偶极辐射场便为

                                   （5.3.5）

                                   （5.3.6）

平均辐射能流密度为

                     （5.3.7）

平均辐射功率为 

                                            （5.3.8）

§5.4  磁偶极辐射和电四极辐射

1．磁偶极辐射

（5.2.11）式中的磁偶极辐射项为

                 （5.4.1）

由此得磁偶极辐射场为

                                       （5.4.2）

                                       （5.4.3）

磁偶极辐射的平均能流密度为

                                  （5.4.4）

辐射功率为  

                                            （5.4.5）

2. 电四极辐射

(5.2.11)式中的电四极辐射项为      

                                  (5.4.6)

定义矢量为  

                                              (5.4.7)

则得电四极辐射场为  

                                       (5.4.8)

                             (5.4.9)

平均流密度为  

               (5.4.10)

§5.5  天线辐射

1. 半波天线

长度为的天线叫做半波天线.以半波天线的中点为原点，天线为极轴,取球坐标系。设天线上载有振荡电流

                                            （5.5.1）

则拥有振荡电流产生矢势的规律可以求出，在的处，时刻，天线上的电流所产生的矢势为

          （5.5.2）

由这个矢势求得半波天线的远场为

                (5.5.3)

            (5.5.4)

半波天线的平均辐射能流密度为

                   (5.5.5)

平均辐射功率为

  (5.5.6)

半波天线的辐射电阻为

                                       (5.5.7)

2. 整数倍半波天线

设天线长度为半波长的整数倍，即

                 (5.5.8)

以天线中点为原点，天线为极轴，取球坐标系。则当天线上载有振幅为的振荡电流时，它的远场和平均辐射能流密度如下：

（1）为奇数(

                       （5.5.9）

                         (5.5.10)

               (5.5.11)

(2) 为偶数(

                       (5.5.12)

                         (5.5.13)

                   (5.5.14)

由于与方位角无关，故对于天线来说辐射是轴对称的。对于来说，辐射角分布的图形有瓣。

§5.6  电磁场的动量

1. 麦克斯韦应力张量和电磁场的动量密度

洛伦兹力公式为  

                                  （5.7.1）

表示单位体积的电何和电流所受到的电磁场作用力。称为力密度。

应用麦克斯韦方程组消去（5.7.1）式中的和,可得

                (5.7.2)

(1) 麦克斯韦应力张量

      (5.7.3)

(2)电磁场的动量密度

电磁场单位体积的动量为 

                                      (5.7.4)

因此,(5.7.2)式可表示为   

                                       (5.7.5)

2. 电磁系统的动量守恒定律

考虑一个封闭曲面包住的体积，在内分布有电荷和电流。把（5.7.5）式对积分得    

                           （5.7.6）

即

  (5.7.7)

根据动量守恒定律,上式左边应代表单位时间通过流入内的动量。所以

             （5.7.8）

因为的方向是封闭曲面的外法线方向，所以电磁场的动量流密度张量便为

                                            (5.7.9)

与麦克斯韦应力张量差一个负号。

第六章  狭义相对论

§6.1  狭义相对论的基本原理

1905年，爱因斯坦根据下列两个基本原理建立了狭义相对论。

1．相对性原理

在每个惯性系里，自然现象所遵循的物理规律都相同。

2．光速不变性原理

在每个惯性系里，光在真空中的速率都相同（即都是）。

§6.2  洛伦兹变换

由两个基本原理，可以得出彼此相对运动的两个惯性坐标系之间的变换关系，这种变换关系通常叫做洛伦兹变换。

1．特殊洛伦兹变换

设两个笛卡儿坐标系和的坐标轴互相平行，其中轴相重合。系沿正轴方向以匀速相对于系运动。在时刻，两个坐标系的原点重合。则洛伦兹变换为

式中是真空中的光速，

                （6.2.5）

逆变换只需将速度改变符号即可。

2．一般洛伦兹变换

如图1-5-1所示，两个笛卡儿坐标系和的坐标轴保持平行，系的原点以匀速相对于系做匀速直线运动。这时洛伦兹变换为

         （6.2.6）

        （6.2.7）

          （6.2.8）

                             （6.2.9）

§6.3  相对论的时空理论

1．同时性概念的相对性

根据洛伦兹变换，再同一个惯性系里的各个地方，有共同的同时性；而在两个做相对运动的惯性系里，则没有共同的同时性。例如，惯性系以匀速沿轴相对与惯性系运动。在系里各处是同一时刻发生的事件，只要它们发生地点的坐标不相同，则在系观察，这些时间便不是同一时刻发生的。同样，在系同一时刻发生的事，只要它们发生地点的坐标不相同，则在系观察，这些事件也不是同一时刻发生的。

2．运动时钟的延缓（时间膨胀）

设在惯性系的同一地点，时刻发生一事件，时刻发生另一事件，这两事件相隔的时间为

                                      （6.3.1）

在系观测，发生于时刻，发生于时刻，这两事件相隔的时间为

                                       （6.3.2）

由洛伦兹变换（6.2.1）（6.2.4）两式得出

                                              （6.3.3）

是同一地点发生的两事件之间的时间间隔，也就是静止的钟所测出的时间，叫做原时。上式表明，运动系（系）所经历的时间要比静止系（系）所经历的时间短些。换句话说，运动系的时间要比静止系的慢些。这种现象叫做时间膨胀。

3．长度收缩（运动尺度的缩短）

设一物体以速度沿轴相对与惯性系作为匀速运动，而它相对与惯性系则是静止的。在系的同一时刻，测出它的前端的坐标为，后端的坐标为，则它在系的长度为

                                                     （6.3.4）

在系测出的坐标为，的坐标为，它在系的长度为

                                                    （6.3.5）

由洛伦兹变换（6.2.1）和（6.2.4）两式得出

                                               （6.3.6）

是物体静止时测出的长度，叫做静长。上式表明，物体运动时，沿运动方向上的长度要比静止时的长度短。这种现象叫做长度收缩，也有人叫做洛伦兹收缩。

4．速度变换公式

设一质点以速度相对于系运动。系相对于系沿轴正方向以速度运动。由洛伦兹变换可推出该质点在系中的速度的分量为

                  （6.3.7）

逆变换为

          （6.3.8）

§6.4  相对论理论的四维形式

1、 闵可夫斯基空间与爱因斯坦惯例

（1） 闵可夫斯基空间是四维空间，它的坐标为

                       （6.4.1）

（2） 爱因斯坦惯例

（i）三维空间的矢量其分量右下标用拉丁字母（如，，，…等）表示；四维空间的矢量其分量右下标用希腊字母（如，，，…等）表示。

(ii) 惯例   凡在求和中如要对重复指标求和是则略去求和符号，就意味着对重复指标求和，这就是爱因斯坦惯例。该指标称为傀儡（哑）指标。如写作。

2、洛伦兹变换的四维形式

                                          （6.4.2）

   对于特殊的洛伦兹变换（6.2.1）至（6.2.4）诸式，在闵可夫斯基空间中改用下列变换矩阵 

                              (6.4.3)

式中  

                                              （6.4.4）

逆变换矩阵为

             (6.4.5)

变换矩阵满足正交变换条件

                                                        （6.4.6）

式中I为单位矩阵。

3．物理量的变换

（1）洛伦兹不变量

是在洛伦兹变换下数值不变的标量。例如光速，原时，间隔，相位，电荷等。

（2）协变矢量

是具有四个分量的物理量，它在洛伦兹变换下，每个分量象四维空间的坐标那样变换，即

                                           （6.4.7）

（3）二阶协变张量

在洛伦兹变换下按下式

                                       （6.4.8）

变换的物理量叫做四维二阶协变张量。

4.一些四维协变矢量

（1）四维速度

                                    （6.4.9）

式中是通常意义下的速度。

（2）四维波矢量

                                      （6.4.10）

式中和分别是单色平面波的波矢量和圆频率。

（3）电流密度四维矢量

                                                 （6.4.11）

式中和分别是电流密度和电荷密度。

（4）电磁场的四维势矢量

                                                 （6.4.12）

式中和分别是矢量和标势。

（5）离子的动量—能量四维矢量

                                                 （6.4.13）

式中和分别是粒子的动量和能量。

（6）四维力矢量

                                               （6.4.14）

式中

                                          （6.4.15）

                                        （6.4.16）

四维力密度矢量

                                              （6.4.17）

式中是力密度，是该力的功率密度。

（7）四维梯度算符

                                  （6.4.18）

§6.5  电动力学的相对论不变性

1．四维形式的电荷守恒定律

                                         （6.5.1）

2．四维形式的势的波动方程和洛伦兹条件

势的波动方程的四维形式为

                                （6.5.2）

洛伦滋条件的四维形式为

                                        （6.5.3）

3．电磁场张量

               （6.5.4）

是一个四维二阶反对称张量，只有六个独立分量。

还可以用四维势矢量表示为

                                      （6.5.5）

由（6.5.4）可见，电磁场和是同一个张量的不同分量。与的关系为

                       （6.5.6）

4．四维形式的麦克斯韦方程

应用（6.5.6）式，可以把麦克斯韦方程组中的两个方程， 合起来写作

                                      （6.5.7）

把另外两个方程，合起来写作

                                        （6.5.8）

5、电磁场变换式

若系相对于系沿轴正方向以匀速运动，则电磁场的变换关系为

                                            （6.5.9）

                                    （6.5.10）

                                    （6.5.11）

                                            （6.5.12）

                                  （6.5.13）

                                  （6.5.14）

§6.6  相对论力学

1、四维动量标积的不变式

设粒子在系的四维动量为，在系的四维动量为，则由四维矢量标积是不变量得

即 

                           （6.6.1）

若粒子在系静止，则是粒子的静能。这时由上式便得

                                （6.6.2）

或

                               （6.6.3）

2、爱因斯坦质能关系式

                                        （6.6.4）

式中的是物体的能量，是物体的质量，是真空中的光速。

3、四维形式的牛顿定律

                                       （6.6.5）

4、四维形式的洛伦兹力公式

                                       （6.6.6）

第七章  带电粒子和电磁场的相互作用

§7.1  运动带电粒子的势和辐射电磁场

1. 运动带电粒子的势

设带电荷的粒子在时刻位于处，以速度运动，如图1-6-1所示。

图1-6-1  时刻粒子的位置为，速度为

它在处（）点于时刻产生的标势和矢势分别为

                                               （7.1.1）

                                                （7.1.2）

式中

                                           （7.2.3）

加上方括号表示是时刻的值，即其中粒子的坐标、速度都是时刻的值，它表明，带电粒子在距离为处产生势，需要经过一段时间。所以这标势和矢势都是推迟势，通常叫做李纳一维谢尔势。

2. 运动带电粒子的场

设带电荷的粒子在时刻位于处，以速度和加速度运动。则它在处于时刻产生的电磁场，可以把李纳一维谢尔势代入以下两式

                                   （7.1.4）

和 

                                    （7.1.5）

算出。注意：以上两式右边的，和都是时刻的值。算出的结果为

  

                                                             （7.1.6）

 （7.1.7）

以上两式中的方括号表示其中的、和都是时刻的值。

3. 自有场和辐射场

由（7.1.6）、（7.1.7）两式可见，运动带电粒子的电磁场由两部分叠加而成。一部分与加速度无关，叫做自有场；另一部分与加速度有关，叫做辐射场。

（1）自有场

                   （7.1.8）

                        （7.1.9）

这部分场的特点是：和都是与距离的平方成反比。因此，场的能量主要集中在粒子附近，并随粒子一起运动，所以叫做自有场。自有场可由库仑场通过洛伦兹变换求出。

（2）辐射场

                       （7.1.10）

                   （7.1.11）

这部分场的特点是：和都是与距离的一次方成反比。因此，场的能量分布在较大的范围内，并由粒子所在处向外辐射，所以叫做辐射场。

§7.2  带电粒子加速运动时发出的辐射

1、辐射场和能流密度

带电荷的粒子做加速运动时，它的辐射场（7.1.10）和（7.1.11）可化为

                   （7.2.1）

                                  （7.2.2）

式中

                                                   （7.2.3）

代表方向上的单位矢量。

辐射场的能流密度为

           （7.2.4）

辐射场的能量密度为

                              （7.2.5）

2、辐射功率

时刻，粒子在单位时间内辐射出的能量（辐射功率）为

                            （7.2.6）

3、三种特殊情况下的辐射

（1）低速运动时的辐射

当粒子运动的速度比光速小得多，即时，（7.2.1）式中含有的项均可略去。这时辐射场可近似写成

                               （7.2.7）

                                        （7.2.8）

这时以为原点，以为极轴取球极坐标，如图1-6-2

图 1-6-2

则有

                                   （7.2.9）

代入（7.2.7）式，然后与第四章§4.3的电偶极辐射场比较，可以看出，低速（）运动的带电粒子所发出的辐射，相当于电偶极矩为

                                          （7.2.10）

的振荡电偶极子发出的辐射。

辐射的能流密度为

                             （7.2.11）

辐射功率为

                                        （7.2.12）

这个公式通常叫做拉莫尔（Larmor）公式。

（2）的情况

这时以为原点，为极轴，取球极坐标（参看图（1-6-2））则因

                            （7.2.13）

故辐射场可写成

                           （7.2.14）

                                             （7.2.15）

辐射的能流密度为

                        （7.2.16）

辐射功率为

                                   （7.2.17）

单位立体角内的辐射功率为

                          （7.2.18）

带电粒子运动时，因撞击而减速时所发出的辐射，通常叫做轫致辐射。

（3）的情况

这时带电粒子在和构成的平面内运动。以为原点，为极轴取球极坐标系如图1-6-3，并以粒子所在平面为 平面，则因

图 1-6-3  的情况

                                 （7.2.19）

                                     （7.2.20）

故 

   (7.2.21)

所以这时的辐射场由（7.2.1）式变为

      （7.2.22）

                                   （7.2.23）

辐射功率为

                             （7.2.24）

单位立体角内的辐射功率为

    （7.2.25）

§7.3  带电粒子的电磁场对粒子本身的反作用

1、电磁质量

带电粒子的自有场与粒子形成一个不可分割的整体。自有场是库仑场，它的能量主要集中在粒子附近。根据狭义相对论，这部分能量具有相应的质量

                                                  （7.3.1）

这个质量通常叫做该粒子的电磁质量。

因的值与电荷分布有关，所以也就与粒子所带电荷的分布有关。假定均匀分布在半径为的球面上，则

                                       （7.3.2）

假定均匀分布在半径为的球体内，则

                         （7.3.3）

2、经典电子半径

假定我们所观测到的电子质量（千克）全部是电磁质量，则由（7.3.2）或（7.3.3）式就可以算出电子半径 来。由于目前并不知道电子内部电荷是如何分布的，所以就略去（7.3.2）或（7.3.3）式右边的系数，把

              米                   （7.3.4）

这个值只是我们用经典理论对电子的大小所作的一种估算，并不表示电子就真的是这样大。因为对于处理象电子这样的微观客体来说，需要用量子理论，经典理论已不适用。即使在今天的量子理论里，关于电子本身的结构和它的电磁质量等问题也还没有解决。

1980年7月，丁肇中教授宣布，他由实验测量得出，电子的半径小于米。

3、辐射反作用

当电荷的粒子以加速度运动时，它要发出辐射，辐射带走了能量，粒子能量因而减少。这相当于辐射有一种力作用在粒子上产生的结果。通常把这种力（）叫做辐射反作用力或辐射阻尼力。根据能量守恒定律，对粒子作功的功率，应等于粒子辐射功率的负值，即

                                                 （7.3.5）

在非相对论的情况下（<<），。由此得出，若粒子作周期性运动，则

                                             （7.3.6）

实际上，这个所代表的是一个周期内辐射对粒子作用的一种平均效应，而不是瞬时力。

在通常情况下，比作用在粒子上的其他力小得多，可以略去不计。

4、谱线的自然宽度

    当带电粒子作简谐振动时，由于受到辐射阻尼力的作用，它将衰减振动。这种振动发出的辐射便不是单色波，而是具有一定频率分布的电磁波。作为一种近似，我们用电子在原子中作衰减振动的模型，来估算原子发光时谱线的自然宽度。

设作用在电子上的弹力为，辐射阻尼力为，则

                          （7.3.7）

把作为微扰，求得近似解为

                                                  （7.3.8）

式中

                                                     （7.3.9）

                                                （7.3.10）

电子振动能量衰减到原值的时，所经历的时间叫做振子的寿命（即原子处在激发态的寿命）。对于可见光来说，（7.3.10）式给出

          秒                                  （7.3.11）

这个结果与实验大致符合。

辐射场的电场强度与电子的位移成正比例，故得

                                           （7.3.12）

由此求得，单位频率间隔辐射出的能量为

                       （7.3.13）

通常把降到最大值（在处）的一半的宽度（参看图1-6-4）叫做谱线的自然宽度。

图1-6-4 谱线的自然宽度

由（7.3.13）式得出，谱线的自然宽度为，即（7.3.10）式。如果用波长表示，则相应的宽度为

       米Å   （7.3.14）

对于实际光源来说，由于各种因素的影响，谱线的实际宽度通常都比（7.3.14）式给出的值大。

§7.4  电磁波的散射和吸收   介质的色散

1、自由电子对电磁波的散射

设波长为的单色波射到自由电子上，电子便因受力而产生振动。在一般情况下，电子振动的速度<<，振幅<<。这时电子的运动方程可写作

                                  （7.6.1）

式中

                                      （7.6.2）

是入射波的电场。（7.6.1）式的稳态解为

                                           （7.6.3）

式中

                                                  （7.6.4）

在时，，辐射阻尼力可以略去。这时

                                             （7.6.5）

即电子的运动可看作一个振动的偶极子。由振动偶极子的辐射场公式（5.3.5）得出，这时电子的辐射场（也就是散射波的电磁场）为

                                    （7.6.6）

                         （7.6.7）

式中是散射方向与入射波的之间的夹角，叫做散射角。

散射波的平均能流密度为

                      （7.6.8）

式中是经典电子半径。

波的强度定义为平均能流密度的值，即

                      （7.6.9）

式中是入射波的强度。

散射波的平均功率为

                                      （7.6.10）

这个公式通常叫做汤姆孙散射公式。

因是每秒到单位面积上的能量，故定义散射截面为

                             （7.6.11）

由以上两式得，自由电子的散射截面为

                                     （7.6.12）

比经典电子半径所决定的圆面积大一些。

图 1-6-5  散射方向与入射波的关系

当入射波不是偏振波，即不是固定的，而是可以在垂直于入射波的平面内取任何方向时，即如图1-6-5所示

可以取到0到的任何值时（入射波是自然光便属于这种情况），散射波的强度应为对各种各能的求平均，即

                   （7.6.13）

微分散射截面的定义为：单位立体角的散射功率与入射波的强度之比，即

                                   (7.6.14)

由此得自由电子的微分散射截面为

                                       （7.6.15）

这个式子叫做汤姆孙散射截面公式。

对于可见光，汤姆孙公式与实验符合；这时由量子电动力学得出的公式也与汤姆逊公式一致。

2、束缚电子的散射

在入射波电磁场的作用下，按经典模型，束缚在原子中的电子将作强迫振动，其运动方程为

                          （7.6.16）

式中的是电子振动的固有频率。这个方程的稳态解为

                       （7.6.17）

式中

                               （7.6.18）

散射波的电磁场的振幅为

                                           （7.6.19）

                               （7.6.20）

式中

                       （7.6.21）

散射波的平均能流密度为

                      （7.6.22）

散射波的平均功率为

                     （7.6.23）

散射截面为

                            （7.6.24）

当入射波的频率较底（即）时，

                                              （7.6.25）

它表示束缚电子对低频电磁波的散射与电磁波的频率的四次方成正比。这种散射通常叫做瑞利散射。

当时，

                                     （7.6.26）

这便是前面所讲的自由电子散射截面（汤姆孙散射截面）。

当时，

                                          （7.6.27）

这时的散射叫做共振散射。对于可见光来说，，故共振散射截面远远大于汤姆孙散射截面。散射截面很大，表示把入射波的很多能量散射到各方向去。

3、电磁波的吸收

根据能量守恒定律，束缚电子散射出去的能量应等于它从入射电磁波吸收的能量。因此，由（7.6.23）式得出，束缚电子的总吸收功率为

                      （7.6.28）

式中是频率为的入射波的强度。

4、介质的色散

介质中的电子都是束缚电子，在入射波的电场的作用下，设单位体积内有个束缚电子作受迫振动，则介质的极化强度依定义和（7.6.17）式为

                    （7.6.29）

故得介电常数为

                                    （7.6.30）

在介质中有各种固有频率的束缚电子时，设单位体积内固有频率为的束缚电子数目为，则相对介电常数为

                    (7.6.31)

式中

                                                 （7.6.32）

这时介质复折射率定义为

                                                  （7.6.33）

式中n是介质的折射率，是介质的吸收系数。由（7.6.31）和（7.6.33）两式得

            （7.6.34）

                  （7.6.35）

由此得出，介质的折射率n与入射波的频率有关，这种现象叫做介质的色散。