第一章 电磁现象的普遍规律
本章重点：从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。
主要内容：讨论几个定律，总结出静电场、静磁场方程；
找出问题，提出假设，总结真空中麦氏方程；
讨论介质电磁性质，得出介质中麦氏方程；
给出求解麦氏方程的边值关系；
引入电磁场能量，能流并讨论电磁能量的传输。
§1. 电荷和静电场
一、 库仑定律和电场强度
1. 库仑定律
一个静止点电荷
对另一静止点电荷
的作用力为:
⑴ 静电学的基本实验定律
（2）两种物理解释
超距作用： 一个点电荷不需中间媒介直接施力与另一点电荷。
场传递： 相互作用通过场来传递。
对静电情况两者等价。
2. 点电荷电场强度
每一电荷周围空间存在电场：即任何电荷都在自己周围空间激发电场。它的基本性质是：电荷对处在其中的其它电荷具有作用力。
对库仑定律重新解释:描述一个静止点电荷激发的电场对其他任何电荷的电场力。
描述电场的函数——电场强度定义：试探点电荷
，则
它与试探点电荷无关，给定
，它仅是空间点函数，因而是一个矢量场——静电场。
3．场的叠加原理（实验定律）
个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和，即：
。
4．电荷密度分布
体密度： 
面密度： 
线密度 ： 
5．连续分布电荷激发的电场强度
或
或 
对于场中的一个点电荷，受力
仍然成立。
若已知
，原则上可求出
，若积分不可,可近似求解或数值积分。但是在许多实际情况，不总是已知的，例如，空间存在导体线介质，导体上会出现感应电荷分布，介质中会出现束缚电荷分布，这些电荷分布一般是不知道或不可测的，它们产生一个附加场
，总场
，因此要确定空间电场在许多情况下，不能用上式，而需用其他方法。
二、 高斯定理与静电场的散度方程
1. 高斯定理 
⑴ 静电场对任一闭合曲面的通量等于面内电荷与真空介电常数比值。
⑵ 它适用求解某种具有对称性的场强。
⑶ 它反映了电荷分布与电场强度在某给定区域内的关系，不反应场点与点的关系。
⑷ 电场是有源场，源心为电荷。
证明
（
）
(a) 
在
内（
在内） 
,
(b) 不在内（在内） 
, 
(a) 与相交,设内电荷,,
2. 静电场的散度方程。
由于它对任意均成立，所以被积函数应相等，即有
。
⑴ 它又称为静电场高斯定理的微分形式。
⑵ 它说明空间某点的电场强度的散度只与该点电荷体密度有关，与其它点的
无关。（但要注意：
本身与其它点电荷仍有密切关系），
，但
。
⑶ 它刻划静电场在空间各点发散和会聚情况
电力线发源于正电荷， 
电力线终止于负电荷， 
无电荷处电力线连续通过， 
⑷ 它仅适用于连续分布的区域，在分界面上，一般不连续不能用。
⑸ 由于有三个分量，仅此方程不能确定，还要知道的旋度方程。
三、 静电场的环路定理与旋度方程
1. 环路定理 
⑴ 静电场对任意闭合回路的环量为零。
⑵ 说明在
回路内无涡旋存在，静电场是不闭合的。
证明（不要求） 
2. 旋度方程
∵ 
（由于任意）∴ 
⑴ 它又称为环路定理的微分形式。
⑵ 它说明静电场为无旋场，电力线永不闭合。
⑶ 在分界面上一般不连续，旋度方程不适用，且它仅适用于静电场，变化场
。
⑷ 有三个分量方程，但只有两个独立的方程，这是因为
四、 静电场的基本方程
微分形式
， 
积分形式
物理意义：反映了电荷激发电场及电场内部联系的规律性。
物理图像：电荷是电场的源，静电场是有源无旋场。
[例]：电荷均匀分布于半径为
的球体内，求各点场强的散度和旋度。
[解]：它的场强由高斯定理可求出，
（与点电荷在
处产生的场相同）
求散度： 
又因为在球内 
，所以
即。
求旋度： 
因为 
，所以。
。
§2.电流和静磁场
一、电荷守恒定律
1. 电流强度和电流密度（矢量）
l 
： 单位时间通过空间任意曲面的电量（单位安培）；
若是一个小面元，则用
表示，
l 
：方向：沿导体内一点电荷流动方向
大小： 单位时间垂直通过单位面积的电量。
，
l 与
的关系 
，
此外对单一粒子构成的体系 
2. 电荷守恒的实验定律
a) 语言描述：封闭系统内的总电荷严格保持不变。对于开放系统，单位时间流出电荷总量等于内电量的减少率。
b) 积分形式：单位时间流出封闭曲面总电量为
（流出为正，流入为负），闭合曲面内电量的减少率为
，
又 ∵ 
∴
所以有： 
若为全空间，总电量不随时间变化，故
，总电荷守恒。
微分形式：∵ 
而是任意的， ∴ 
，或 
⑴ 反映空间某点与
之间的变化关系，电流线一般不闭合。
⑵ 若空间各点与
无关，则
为稳恒电流，
稳恒电流分布无源（流线闭合），，均与无关，它产生的场也与无关。
二、 磁场以及有关的两个定律
1. 磁场：由于发现通过导线间有相互作用力，因此与静电场类比。
假定导线周围存在着一种场，因它与永久磁铁性质类似，称为磁场。磁场也是物质存在的形式，用磁感应强度
来描述。
2. 毕——萨定律（电流决定磁场的实验定律）
闭合导线： 电流元 
闭合电流 
闭合导体: 体电流元 
］
闭合电流 
3. 安培作用力定律（通电物体在磁场中受力大小的实验定律）
线电流元 
体电流元 
闭合回路： 
或
4. 两电流元之间的相互作用力。
设两电流元为
，它们相距
在
处产生的 
受到的作用力为；
在
处产生的 
受到的作用力为：
在一般情况下，
因此两个电流元之间相互作用力不满足牛顿第三定律。
原因：实际上不存在两个独立的电流元，只存在闭合回路。
5. 两通电闭合导线回路之间的相互作用力（习题10）
证明： 
同理可得 
∵
∴
三、 安培环路定理和磁场的旋度方程
1. 环路定理 
（
为中所环连的电流强度
）。
证明：
（为
所在区域）
（
）
（
）
（斯托克斯公式）
（
）
（
）
说明： ⑴ 静磁场沿任一闭合回路的环量等于真空磁导率乘以从中穿过的电流强度。
⑵ 它反应了电流与磁感应强度在某区域内的关系，对于某些具有很高对称性的问题可求出
2. 旋度方程
由
因为s为任意回路所围面积，所以被积函数相等
说明：
1) 磁场为有旋场，但在无
分布区，旋度场为零，必须是连续函数，不连续区只要用环路定理；
2) 该方程可直接由毕萨定律推出（见教材p16－19）
3) 它有三个分量方程，但
,故只有两个独立，它只对稳恒电流成立。
四．磁场的通量和散度方程
1. 通量： 
证明：
这里注意其中：
，
2. 散度方程：
证明：
，因为V任意，所以，它可以从毕萨定律直接证明。说明：
1) 静磁场为无源场（指通量而言），磁力线闭合；
2) 它不仅适用于静磁场，它也适用于变化磁场。
五．静磁场的基本方程
微分形式：，
积分形式：
,
反映静磁场为无源有旋场，磁力线总是闭合的。它的激发源是流动的电荷（电流）。
注意：静电场可单独存在，稳恒电流磁场不能单独存在（永磁体存在可无宏观静电场）。例1．见教材p18例题 例2．习题5
证明：由
,得
由 
， 且
则有 
得
其中利用了
＝0, 此题也可用分量方法证明。
§3. 麦克斯韦方程组
麦氏方程在电动力学中的地位就像牛顿定律在经典力学中的地位一样。麦氏方程建立的实验基础是电磁感应定律，理论基础是静电场、磁场的场方程。
一、电磁感应定律
1． 电磁感应现象
1831年法拉第发现：当一个导体回路中电流变化时，在附近的另一个回路中将出现感应电流。由此他总结了这一现象服从的规律：
， （
）
其中S是闭合电路L所围的任一曲面，
与L满足右手关系。
实验发现：
变化率大于零，
与L反向；变化率小于零，与L同向。因此公式中加一个负号。
2． 磁通变化有三种公式：
a) 回路相对磁场做机械运动（
与t无关，但
），
b) 回路静止不动，但磁场
，感生电动势，
c) 两种情况同时存在。
3． 物理机制
有电流，说明电荷受到了电的作用，动生可以认为是电荷受到磁场的洛伦兹力，感生情况回路不动，应该是受到电场力的作用（无外电动势，由于它不是由静止电荷产生的场，故称为感生电场
（对电荷有作用力是电场的本质，因此它与静电场在这一点上无本质差别）。
电磁感应现象的实质：变化磁场激发电场
二、总电场的旋度和散度方程
1．和的关系
一般情况： 
其中
为单位电荷受到的非电场力。
2．
的旋度方程
电磁感应定律形式可以写为 
这是可认为是电磁场中的 任一闭合回路。感生电动势是由于变化磁场产生了电场而出现的与导体是否存在无关。（与静电场由激发，与场中是否存在无关的道理类似）
由斯托克斯定理 
且 
得
（1）它反映感生电场为有旋场（又称漩涡场）,与静电场
本质不同。
（2）它反映变化磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。
3．感生电场的散度方程
由于不是由电荷直接激发，可以认为
，即
从这里可认为为无源有旋场。
4．总电场的旋度与散度方程
假定电荷分布
激发的场为
，它包括静电场，称为库仑场（指
，
）总电场为
因此空间中的电场是有源有旋场，他们与试验结果一致。
三、位移电流假设
1． 变化电场激发磁场假设：
与变化磁场产生感生电场类比，人们提出变化电场同样可激发磁场。因此，总磁场一般为传导电流产生的磁场与变化电场产生的磁场之和。
2． 位移电流假设
对于静磁场：，它与
相一致，
∵ 
对于一般情况
不适用，因为
在变化情况下电流一般不再闭合（交流电路，电容器被充、放电，但两极中间无电荷通过） 要导出一个旋度方程并与电荷守恒定律不矛盾。麦氏假定电路中存在位移电流
，
构成闭合电流，即
，这样可有
。若要与电荷守恒不矛盾：
， 设
又由
即 
麦克斯韦取 
，及变化电场产生位移电流。
并不表示电荷移动，它仅在产生磁场的作用上与相同。
四、 总磁场的旋度和散度方程
引入后 
（1） 
为总磁场感应强度。
（2） 若
，仍为有旋场。
（3） 可认为磁场的一部分直接由变化电场激发。
（4） 关于的散度：稳恒时
，同样，变化电场产生的磁场也应该是无源场。所以可认为
实际上它可由
导出：
即
与无关。
当
时，
处无磁场或仅有静磁场则
，
那么以后
。
五、真空中的电磁场基本方程——麦克斯韦方程
微分形式 
积分形式 
说明：
（1）真空中电磁场的基本方程
揭示了电磁场内部的矛盾和运动，电荷激发电场，时变电磁场相互激发。微分形式反映点与点之间场的联系，积分方程反映场的局域特性。
（2）线性偏微分方程，
满足叠加原理
它们有6个未知变量（
）8个方程，因此有两个不独立。一般认为前后两个方程为附加条件，它可由前两个方程导出。
(a) 
(b) 
即 
具体求解方程还要考虑空间中的介质，导体以及各种边界上的条件。
（3）预测空间电磁场以电磁波的形式传播
在
的自由空间，方程具有高度对称性。
利用
可得到波动方程
， 
令 
它的每个分量方程都为波动方程。
（4）方程通过电磁感应定律加位移电流假设导出，它们的正确性是由方程与实际情况相比较验证的。
§4、介质的电磁性质
一、 介质的极化和磁化
1、 介质：电介质由分子组成，分子内部有正电的原子核及核外电子，内部存在不规则而迅变的微观电磁场。
2、 宏观物理量：因我们仅讨论宏观电磁场，用介质中大量分子的小体元内的平均值表示的物理量称为宏观物理量（小体元在宏观上无限小，在微观上无限大）。在没有外场时，介质内不存在宏观电荷、电流分布，因此宏观场为零。
3、 分子分类：
l 有极分子：无外场时，正负电中心不重合，有分子电偶极矩。但取向无规，不表现宏观电矩。
l 无极分子：无外场时，正负电中心重合，无分子电偶极矩，也无宏观电矩。
l 分子电流：介质分子内部电子运动可以认为构成微观电流。无外场时，分子电流取向无规，不实现宏观电流分布。
4、 极化和磁化：
⑴ 在外场作用下，（指宏观电磁场），无极
分子正负电中心分离，成为有极分子。分子的
电偶析矩沿外场方向规则取向产生宏观电荷分
布，产生宏观电矩。这称为介质的极化。
⑵ 在外场作用下，分子电流出现规则取向，产生宏观电流分布，出现宏观磁偶极矩，称为介质的磁化。极化使介质内部或表面上出现的电荷称为束缚电荷。磁化和极化使内部出现的电流统称为诱导电流。
这些电荷，电流分布反过来也要激发宏观电磁场，它们与外场迭加构成总电磁场。
二、介质存在时电场的散度和旋度方程
1、极化强度：
单位体积内总电偶极矩，描述宏观极矩分布。
2、束缚电荷密度 
可以证明：
（体积V内的总束缚电荷）
面密度：当介质为均匀介质时，束电荷只分布在介质表面与自由电荷附近表层上。将积分形式用在介质表面（或两介质分界在上）薄层内，取小面元
，电荷为
=
其中
为界面法线方向单位矢量，由1—2。
3、电位移矢量的引入
不敷出在存在束缚电荷的情况下总电场包含了束缚电荷产生的场, 
一般情况
是可知的,但
难以得到(即任意实验到
,的散度也不易求得)为计算方便，想办法消掉。
+=
引入
(电位移矢量)
它仅起辅导作用并不代表场量，与
关系可由实验上确定。
4、散度、旋度方程
引入，可使方程不含
，但值与有关，场方程仍与有关，只是含在中。
三、介质存在时磁场的散度和旋度方程.
1、磁化强度:
,单位2体积内的磁偶极距,描述宏观磁偶极距分布。
2、磁化电流密度： 
=
可以证明：
3、极化电流密度：随变化产生的电流。
设每个带电粒子位置为
,电荷为
，
。
4、诱导电流：
5、磁场强度：介质磁场由
即变化电场共同决定：
引入 
（磁场强度）
它仅是一个辅助量并不代表磁场的强度，
才描述磁场的强度。
与的关系可由实验给出。
6、散度、旋度方程
引入可使方程不显含
，但场量仍与有关。
四、介质中的麦克斯韦方程
微分形式 积分形式
说明：1、介质中普适的电磁场基本方程，使用于任意介质
，回到真空情况。
2、有12个未知量，6个独立方程，求解必须给出与，与的关系。
五、介质中的电磁性质方程
若为非铁磁介质
1、电磁场较弱时：
均呈线性关系。
⑴各向同性均匀介质
—介质极化率（有实验得到）
（
）
相对介电常数 
介电常数
—介质磁化率
为相对磁导率和磁导率
以上结果对介质正均匀同样适用
⑵各向异性介质（如晶体）
为场量（介电常数张量）
（共九项）
它的分量形式：
写成矩阵形式：
为磁导率张量
2、电磁场较强时：
与
呈准线性关系
对于铁磁物质：与
不仅呈非线性，且为非单值，在此不讨论。
在电磁场频率很高时，介质还会出现色散，
为频率的函数。
3、导体中的欧姆定律
—电导率 它使用于变化电磁场
在有电源时，电源内部
，
为准静电力的等效场。
六、洛伦兹力公式
麦氏方程反映了电荷（及电流）激发电磁场以及电场，磁场相互激发的一般规律。但它没有给出由磁场对带电体系的反作用。而实际上二者互相联系，互相制约。
库仑定律、安培定律反映了静电场，静磁场对带电体系的作用。
洛伦兹力公式
洛伦兹认为变化电磁场上述公式仍然成立，近代物理实验证实了该式的正确。
说明：
①
②
§5.电磁场的边值关系
当电磁场中存在介质时，两介质分界面上，可能有电荷，电流分布，这时
，
，等对于两种介质的取值不同，由此会造成物理量在界面突变。
在界面处微分方程不能适用，但可用积分方程，从积分方程出发，我们可以得到在界面上场量间关系，这称为边值关系，它是表示方程积分形式在界面上的具体化，只有知道边值关系，才能求解多介质情况下场方程的解。
一、场量的边值关系
1、和的法向分量边值关系：
对均匀各项同性线性介质：
2、、的法向分量边值关系
二、切向分量边值关系
1、的边值关系
由
面电流分布：
注意：（1）当电流仅分布在介质表面附近一个薄层时，可是体电流分布。意义是在界面上沿电流方向单位时间内通过单位横截线的电量。（2）一般在理想导体导体中才有面电流分布，（此时
。
在导体内部
当
回路L为任取，，
为任一矢量，故
一般情况切向分量不连续。但是对于大多数非理想导体，
，所以在以后讨论的大多数问题中连续。
也可类似导出
的切向边值关系：
。
2、的切向边值关系
，总连续，但切向一般不连续。
三、其它边值关系
例题：
1、已知均匀各项同性线性介质
中放一导体，导体表面静电场强度为， 证明与表面垂直，并求分界面上自由电荷、束缚电荷分布。
解：在静电平衡时，内部
2、有一均匀磁化介质球，磁化强度为
（常矢）。求磁化电流分布。
解： 
3、无限大平衡极点容器能有两层介质，极上面电荷分为
，求带场和束缚电荷分布。
解：
（1）根据对称性，电场沿方向，且为均匀场，极板为导体，在表面处：用 
（2）介质与导体板分界面上电荷分布：
§6、电磁场的能量和能流
一、能量守恒与转化
能量：物质运动的量度。表示物体做功的物理量。机械能、热能、化学能、电磁能、原子能。
守恒与转化：能量可以相互转化，但总量保持不变。
电磁能：电磁场作为一种物质，具有能量和动量，电磁场弥散于全空间，电磁能也应弥散于全空间。
认识一种新物质的能量从能量转化入手。
热能：从机械能转化认识到热能和存在与怎样量度。
电磁能：从电磁场中带电体系做功入手。
二、 机械功与场能的变化关系
1、电磁场对运动带电体系所作的功
设一带电体由一种粒子组成，在电磁场中运动，电荷密度为
，运动速度为
△ 带电体受电磁场的洛伦兹力（力密度）
△ 在
间隔内，对体元
所做元功：
△ 对整个带电体单位时间所做功：
（功率），电磁场对物体所做功转化为物体的机械能或转化为热能（改变速度或焦耳热）
2、功与场量的关系：
由
得
利用
＊
三、 能量密度与能流密度矢量
1、能量密度
原因：运动电荷产生的电磁场一般由两部分组成： ⑴向外传播的电磁波（他在无穷远处为零）； ⑵与场源有关的场
在此种情况下
假定介质无热损耗（介质极化要产生热能，导体电流流动要产生焦耳热），全空间只有运动带电体系电磁场。因此由能量守恒可知：洛伦兹力对带电体所做的功变为带电体能量的增加
，因而电磁场能量减少
，电磁场能量增加率为
， 
代表电磁场能量增加率，W代表电磁场总能量（体积V）。
代表单位体积能量的增加率，w为能量密度。
对于均匀各项同性线性介质：
