电动力学中麦克斯韦方程组的整理及讨论 引言

大学中有关电动力学的学习，都离不开一个重要的方程--------麦克斯韦方程组。麦克斯韦方程作为电磁场中核心定律引导我们更好的学习电动力学，并更好的从电磁场的角度来分析光学的相关知识。更深一步的掌握麦克斯韦方程组，有助于我们学科的学习，为了更好的归纳，以下就从它的历史背景，公式推导，静电场，静磁场，电磁场等几个方面论述麦克斯韦方程组的重要应用。

一、历史背景

伟大的数学家麦克斯韦和物理学家法拉第历史性的拥抱，麦克斯韦将法拉第实验得到电磁场存在的理论，用数学公式完美的表现出来，这就是伟大的麦克斯韦方程组。

1845年，关于电磁现象的三个最基本的实验定律：库仑定律（1785年），安培—毕奥—萨伐尔定律（1820年），法拉第定律（1831-1845年）已被总结出来，法拉第的“电力线”和“磁力线”概念已发展成“电磁场概念”。1855年至1865年，麦克斯韦基于以上理论，把数学的分析方法引进电磁学的研究领域，由此导致麦克斯韦电磁理论的诞生。

二、真空中麦克斯韦方程的推导

麦克斯韦方程之所以能够出现，是因为他在恒定场的基础上提出两个假设，他们分别是有法拉第电磁感应定律，认为变化的磁场可以激发电场；麦克斯韦位移电流假设，认为变化的电场可以激发磁场。

所以麦克斯韦利用库伦定律，高斯定理和相应的数学公式推出了电场的高斯定理的微分式（1）。利用安培环路定理，毕奥—萨伐尔定律推导出微分式（3）。利用了法拉第电磁感应定律和静电场方程推出了微分式（2）。最后利用麦克斯韦的位移电流假说和电荷守恒定律推导出了微分式（4）。

?ρ??E?ε0（1） （2） ???B??E???t???B?0（3）

（4） ????E??B?u0

J?uε00?t

三、介质中的麦克斯韦方程组

介质中的电容率和磁导率不再是u0和ε0而是改成u和ε，并在此我们确定了

??两个物理量，分别是极化强度适量P和磁化强度适量M。他们各自产生了极化

?ρP和电流和磁化电流，他们之间的关系式由微分形式表示为??P??

????M?JM。根据以上关系式，并根据电荷守恒和诱导电流（极化电荷和磁化电

?????流）分别得到电位移矢量D和磁场强度M。并得到两个线性关系D?ε0E?P和

??H?u0?M。这样就把真空中的麦克斯韦方程组推广到介质中，下面（5）到

（8）就是介质中的麦克斯韦方程组。

???D?ρ（5） ???B??E???t（6） （7） ???B?0???

?D??H?J??t（8）

对以上各式进行物理分析，就能确切麦克斯韦方程组的物理含义。其中（5）式说明电荷是产生电场的场源；（6）式说明了变化的磁场可以激发涡旋电场；（7）式说明了磁场是无源场；（8）式表明变化的电场和电流可以激发涡旋磁场。

四、静电场的电磁方程

在静电场中，由于两者相互分离，所以麦克斯韦方程组变成为：

????D?ρ ??E?0

?由??E?0我们可以得知静电场是无旋场。所以静电场为保守场，根据数学中标量场的梯度必无旋的规律，引入静电场标量ψ并用E???ψ来描述静电场。把上

?

式带入??D?ρ我们可以得到电场的泊松方程：

?2ψ?-ρ

但是在许多实际问题中,自由电荷只出现在一些导体或介质的表面,空间中没有其他自由电荷分布,这时我们选取导体表面作为区域 V 的边界,在V 内部的自由电荷面密度为 0 ,则可得到拉普拉斯方程①:

?2ψ?0

五、静磁场的电磁方程

在静磁场中，由于两者相互分离，所以麦克斯韦方程组变成为：

?????B?0 ??H?J

?由??B?0我们可以知道静磁场是无源场，根据数学中矢量场的旋度必无源，我

?们引入磁矢式A所以有：

??B???A

??

将上式带入??H?J中，我们可以得到磁矢式的方程为：

???A??uJ 2

?由于磁矢式A解决遍值问题时，解题过于繁琐。所以我们引入磁标式。由于在静

磁场中磁场强度的闭合回路不为零，所以能引入，但是由于求解释，没有必要求解整个磁场。求解只是局部磁场，所以我们可知磁场强度闭合回路为零。由此我

??们可以得到??H?0，我们假想磁荷密度为ρm??u0??M。进而我们引入了磁

标式，同时得到静磁场的泊松方程：

?2ψm?-ρmu

同样我们也可以得到静磁场下的拉普拉斯方程为：

?2ψm?0

六、电磁场的波动方程

在电磁场的波动方程中我们分为自由空间的波动方程和介质的波动方程，在介质中的波动方程又叫做亥姆霍兹方程。

1、在自由空间的波动方程

?

在自由空间中，我们有J?0和ρ?0两个条件，所以麦克斯韦方程组就会变为：

????B??D?0 （9） ??E?? （10） ?t

???D??B?0 （11） ??H? （12） ?t?

由数学关系式我们对（10）、（12）式两边分别取旋度，并利用相应公式推导，最后利用（9）、（11）式就会得到自由空间下的波动方程：

?2?1?B?2E?22?0c?t?2?1?E?2B?22?0c?t

2、亥姆霍兹方程

亥姆霍兹方程就是介质中的波动方程。由于在介质中存在着色散现象，所以对于不同频率的电磁波，它的介质的电容率是不同的，也就是说u和ε是ω的函数。在线性的介质中，既有：

????D(ω)?ε(ω)E(ω) B(ω)?u(ω)H(ω)

所以对于介质中的波动方程要根据时谐波下的麦克斯韦方程组来推导，首先来看时谐波的方程为：

?????iωt?????iωtE(x,t)?E(x)e B(x,t)?B(x)e

利用时谐波的方程代换麦克斯韦方程组，并按真空中的波动方程推导办法就可以得到亥姆霍兹方程： ??2?E?kE?02??2?B?kB?02

k?uε ??E?0

??iB????Eωk?uε ??B?0??iE????Bωuε

七、电磁场辐射的达朗贝尔方程

为了方便起见，在此只讨论真空下的电磁辐射，所以我们可以得到在真空下的麦克斯韦方程组为：

????????B?D??D?ρ ??E?? ??B?0 ??H?J? ?t?t

其中在均匀，同一的介质中有线性关系为：

????D?ε0E B?u0H

?其中我们前面已经引入标式ψ和矢式A，并用利用公式我们可以得到如下结果：

????AE???ψ?B???A ?t

将上式带入真空中的麦克斯韦方程组中，利用洛伦兹规范：

?1?ψ??A?2?0 c?t

我们就可以得到达朗贝尔方程为：

?2?1?A1?ψρ?2ψ?22?? ?2A?22??u0J c?tε0c?t2

概括

在电动力学的学习中要抓住以上主线，才能从宏观的角度把握住整体思路，才能为学好电动力学打好基础，在学完电动力学好，对整书有关麦克斯韦方程组的应用做的总括，如果能深刻和细致的认识到麦克斯韦方程组的物理意义，我想会为电动力学和光学学科的学习增加动力。

第二篇：2.4 介质中的麦克斯韦方程组

介质中的麦克斯韦方程 介质中的麦克斯韦方程组汪 毅

介质介质 由分子组成，分子内部有带正电的原子核 介质：由分子组成，分子内部有带正电的原子核 及核外电子，内部存在不规则而迅变的微观电磁 场。 宏观物理量：用介质内大量分子的小体元内的平 宏观物理量 用介质内大量分子的小体元内的平 均值表示的物理量称为宏观物理量（小体元在宏 观上无限小，在微观上无限大）。在没有外力场 观上无限小 在微观上无限大 在没有外力场 时，介质内宏观电荷、电流分布不出现，宏观场 为零。

介质的极化无极分子 分子 无极分子：分子的正负电荷中心重合，有外场时， 负 荷中 有外场时 正负电荷中心在外场作用下发生相反方向的运动， 从而产生附加的分子电偶极矩，此种极化机理称为 位移极化。 有极分子 分子的 负电荷中 不重合 无外场时 有极分子：分子的正负电荷中心不重合，无外场时， 大量无序排列不显现宏观典型，在外场作用下，产 生有序化运动，此种极化机理称为取向极化。 生有序化运动 此种极化机理称为取向极化

极化强度矢量无极分子和有极分子在外场作用，从宏观上来看这 两种行为都相当于产生了一个电偶极矩。在电磁学 种行为都相当 产生 个电偶极矩 在电磁学 中，引进了极化强度矢量：P=∑piiΔV其中 pi 是第i个分子的电偶极矩，求和符号表示对 ΔV体积中所有分子求和。 体积中所有分子求和

极化强度矢量由于极化，分子正负中心发生相对位移，因此物理 小体积ΔV内可能会出现净余的正电或负电，即出 小体积ΔV内可能会出现净余的正电或负电 即出 现了宏观的束缚电荷分布：q 分子们极化后， 部分电偶极子 电偶极矩为 p = ql 分子们极化后，一部分电偶极子 跨过了dS，局部区域内出现了束缚电荷。

极化强度矢量设单位体积内分子数为n,则穿出dS外面的正电荷 为：nql dS = np dS = P dS l对闭合界面S积分，则由V内通过界面S穿出去的正 电荷为：∫SP dS = ∫Vρ p dV P = ρ p

面极化密度矢量在两介质界面，附近的薄层内，介质1 在两介质界面 附近的薄层内 介质1 从左侧进入薄层的 正电荷为 P dS ，介质2从右侧进入薄层的负电荷为 P2 dS ， 1 故薄层内净余电荷为: 故薄层内净余电荷为σ P dS = ( P P2 ) dS 1σP = n ( P P ) 2 1

极化电流密度如果电场随时间变化，则极化过程中正负电荷中心 的相对位移也随着时间变化，从而产生电流，称为 极化电流，极化电流密度为：ρ P jP + =0 tP jp = t

电位移矢量介质中有自由电荷，还有极化电荷，总的电荷密度 为： P f P = fρ =ρ +ρρ由电场的散度定义ρ 1 E = = ( ρ f P) ε0 ε0 (ε 0 E + P ) = ρ fD = ρf由于极化电荷密度不容易检测和计算，引入电位移 矢量可以测量和计算，避免上述问题。

各向同性线性介质极化强度和电场强度的关系：P = χ eε 0 Eχ e 称作介质的极化率D =εEε = ε 0ε r ε r = 1+ χ e 1+ε r 为相对电容率 ε 为介质的电容率 为相对电容率，

各向异性介质在各向异性介质中，D和E一般具有不同方 向，D i = ∑ ε ij E j , i = 1, 2,3 其中εij是一个二阶张量。j =13D =ε Eε = ε11i i + ε12i j + +ε 32 k j + ε 33k k

非线性现象(强场作用) ( )电位移矢量与电场强度的关系为非线性关 系Di = ∑εij E j + ∑εijk E j Ek +∑εijkl E j Ek El + (i = 1,2,3)j jk jkl对 铁 物质 对于铁磁物质，一般情况不仅非线性，而且非 般情况 仅非线性 非 单值。在电磁场频率很高时，情况更复杂，介 质会出现色散现象。即使在电磁场较弱的情况 ε,μ 表现为频率的函数。

介质的磁化介质的磁化：介质中分子或原子内的电子运动形 成分子电流，微观上形成不规则分布的磁偶极矩。 在外磁场力作用下，磁偶极矩定向排列，形成宏 在外磁场力作用下 磁偶极矩定向排列 形成宏 观上的磁偶极矩。分子电流相应的磁矩可表示为m = ia

磁化电流密度当介质被磁化后，由于分子电流的不均匀会 出现宏观电流，称为磁化电流。I m = ∫ jm dSS==∫∫LNIa dlLM dljm = × M

磁化面电流密度在介质交界面上的一个薄的层内，存在磁化面电 流分布αm = M × n

磁场强度磁化电流和极化电流之和是介质中的总诱导电流密 度：j p + jm介质对宏观磁场的作用是通过诱导电流激发磁场的， 因此：E × B = j f + j p + jm + ε 0 μ0 t P E = jf + + × M + ε0 1t tH= BD × H = jf + tμ0M

介质中的麦克斯韦方程组D = ρf B ×E = t B = 0 D × H = jf + t

介质 介质的电磁特性方程 特性方程P = χ eε 0 ED =εED = ε 0 E + P = ε 0 (1 + χe ) E = ε 0ε r EM = χ M H B = μ ( H + M ) = μ (1 + χ ) H 0 0 mJf =σE= μ0 μr H = μ H

例题1：由麦克斯韦方程组出发，求电导率为σ ，电容率为ε的均匀介质内部自由电荷量的密度 电容率为 的均匀介质内部自由电荷量的密度 ρ与时间t的关系?ρ D = D = = ( × H j ) t t t σ σ = j = σ E = D = ρ ε ε σρ = ρ0e tε静电平衡时，电导率σ≠0的均匀介质内自由电荷量 静电平衡时 电导率σ≠0的均匀介质内自由电荷量 密度为零。(t→∞,ρ→0)

有一内外半径分别为r1和r2的空心介质球，介质的 电容率为ε，使介质内均匀带静止电荷ρf，求 电容率为 使介质内均匀带静止电荷 f 求 ( ) (1)极化体电荷分布 (2)极化面电荷分布 E = 0 (r < r1 ) 3 3 (r r1 )ρ f ∫S D dS = ∫V ρdV E = 3ε r3 r (r1 < r < r2 ) 3 3 (r2 r1 )ρ f r (r2 < r) E= 3 3ε0r

ε ε0 P = ε 0 χe E = ε 0 E = (ε ε 0 ) E ε0 ρ P = P = (ε ε 0 ) E (r r ) = (ε ε 0 ) [ ρf r] 3ε r 3 ε ε0 r1 = ρ f (r 3 r ) 3ε r3 3 1 3ε ε0 = ρf ε

σ P = P n P2 n 1考虑到外球壳时，r=r n的方向从介质1指向真空 考虑到外球壳时 r=r2,n的方向从介质1指向真空， 3 3 P2n=0 r r1σ P = P n = (ε ε 0 ) 13 23ε r3ρ f r |r = r 2ε0 r r = (1 ) ρf 3 ε 3r23 1考虑到外球壳时，r=r1r r σ P = (ε ε 0 ) ρ f r |r = r1 = 0 3ε r3 3 1 3

习题一 习题 5,6,9有一内外半径分别为r1和r2的无穷长空导体圆 柱，沿轴向留有恒定均匀自由电流J 导体 柱 沿轴向留有恒定均匀自由电流J ，导体 的磁导率为μ，求磁感应强度和磁化电流。