第五章 电磁波的辐射
一、 填空题
1、 色散现象是指介质的( )是频率的函数. 答案：
2、 若一电流
=40
t
，则它激发的矢势的一般表示式为
=（ ）
答案：
3、 变化电磁场的场量
和
与势（、
）的关系是=（ ），=（ ）
答案：
,
4、 真空中电荷只有做（ ）运动时才能产生电磁辐射；若体系电偶极矩振幅
不变，当辐射频率有由
时变为3，则偶极辐射总功率由原来的p变为（ ）答案：加速，81P0
5、 势的规范变换为
（ ），
（ ）
答案：
，
6、 洛仑兹规范辅助条件是（ ）；在此规范下，真空中迅变电磁场的势满足的微分方程是（ ）.
答案：
，
，
7、 真空中一点电荷电量
，它在空间激发的电磁标势为（ ）.答案： 
8、 一均匀带电圆环,半径为R,电荷线密度为
,绕圆环的轴线以角速度匀速转动,它产生的辐射场的电场强度为（ ）.答案： 零
9、 真空中某处有点电荷
那么决定离场源r处t时刻的电磁场的电荷电量等于（ ）.答案：
10、 已知自由空间中电磁场矢势为，波矢为
，则电磁场的标势
=（ ）答案：
,
11、 真空中电荷
距场点
,则场点0.2秒时刻的电磁场是该电荷在（ ）秒时刻激发的. 答案： 0.17s
12、 电偶极子在（ ）方向辐射的能流最强.
答案：过偶极子中心垂直于偶极距的平面
13、 稳恒的电流（ ）(填写“会”或“不会”)产生电磁辐射.
答案：不会
14、 已知体系的电流密度
,则它的电偶极矩对时间的一阶微商为（ ）答案：
15、 短天线的辐射能力是由（ ）来表征的,它正比于（ ）
答案：辐射电阻， 
16、 真空中, 电偶极辐射场的电场与磁场(忽略了
的高次项)之间的关系是（ ）答案： 
17、 电磁场具有动量,因此当电磁波照射到物体表面时,对物体表面就有（ ）答案： 辐射压力
二、 选择题
1.电磁势的达朗贝尔方程成立的规范换条件是（ ）
A． 
B. 
C. 
D. 
答案：B
2.真空中做匀速直线运动的电荷不能产生（ ）
A．电场 B.磁场 C.电磁辐射 D.位移电流
答案：C 3.B 4.B
3.关于电磁场源激发的电磁场，以下描述不正确的是（ ）
A．电磁作用的传递不是瞬时的，需要时间；
B．电磁场在传播时需要介质；
C．场源的变化要推迟一段时间才能传递至场点；
D．场点某一时刻的场是由所有电荷电流在较早的时刻不同时刻激发的.
4.一个天线辐射角分布具有偶极辐射的特性,其满足的条件是（ ）
A．波长与天线相比很短 B. 波长与天线相比很长
C. 波长与天线近似相等 D. 天线具有适当的形状
答案：B
5.严格的讲,电偶极辐射场的（ ）
A．磁场、电场都是横向的 B. 磁场是横向的,电场不是横向的
C. 电场是横向的, 磁场不是横向的 D. 磁场、电场都不是横向的
答案：B
6.对电偶极子辐射的能流,若设θ为电偶极矩与场点到偶极子中心连线的夹角,则平均能流为零的方向是（ ）
A. 
; B. 
; C. 
D. 
答案：D
7.电偶极辐射场的平均功率（ ）
A．正比于场点到偶极子距离的平方 B. 反比于场点到偶极子距离的平方
C. 与场点到偶极子距离的无关 D. 反比于场点到偶极子距离
答案：C
三、 问答题
1、电磁波是怎样产生的。你能否从微观方面来说明为什么电磁波遇到边界面时会发生反射和折射现象。
答：电磁波是由运动的电荷产生的，当电磁波遇到介质界面时，电场、磁场引起介质极化、磁化。变化的电磁场使极化电荷产生振荡，生成的电磁波就是反射波和折射波.
2、电磁规范，除洛仑兹规范外，还有所谓库仑规范，其附加条件是
。试问：在规范变换式
中，怎样选择空时函数，才是为库仑规范？采用库仑规范时，电磁势方程取什么形式？
解：规范变换式： 
，
有 
即
与
描述同一电磁场。
① 采用库仑规范：
，
即在规范变换中当满足
是，就是库仑规范。
② 采用库仑规范时，电磁势方程所取形式：
3、在什么条件下可选取
，这样一种规范条件？此时，
与势的关系是什么形式？
解：若采用库仑规范，且
的自由空间,势的方程变为：
①
当在空间没有电荷分布时，可以选取库仑场的标势，
把代入①式，解得： 
4、若用矢量场Z（常称为赫兹矢量）表示电磁势
如下，
， 
还满足洛仑兹条件吗？
解：洛论兹规范辅助条件为：
，将
，代入得：
故满足洛伦兹条件。
5、我们此时此刻接收到的太阳光，大约是太阳上八分钟以前激发的，据此，试估算太阳与地球的距离。
解：根据推迟势解：
可以看出，电磁作用是有一定的传播速度，空间某点
在某时刻
的场值不是依赖于同一时刻的电荷电流分布，而是决定于较早时刻
时电荷电流分布，反过来说。电荷产生的物理作用不能够立刻传至场点，而是在较晚时刻才传至场点所以推迟的时间
正是电磁作用从源点
传至场点
所需的时间，
是电磁作用的传播速度。
所以太阳与地球距离
.
6、若已知自由空间电磁波的矢势
，求电磁波的标势
及电场强度.
解: 自由空间电磁波满足
,其解为
实数形式为
,与已知的比较,得
根据洛伦兹规范条件:
得:
,电场强度
,取实数:
7、试证明：在洛仑兹条件成立的情况下，有限辐射体系在远区的标势可用公式
表示。
证明：因为有限辐射体系在远区的矢势展开有：
（仅考虑在一定频率的交变电流情形），第一项
，只保留
的最低次项，则有：
。
依洛伦兹条件有： 
8、能否找到
的矢势
，与
描述同一个磁场。（提示：挑选
满足
）。
解：因满足规范变换的
描述同一电磁场，
即： 
（
为任意标量函数） （1）
(1)式的Z分量为:
依题意要求
，则
，由以上分析知:只要选择一个标量函数,使之满足,必然可以找到矢势
,且
9、垂直放着的短天线（可看成电偶极辐射天线）向四周辐射电磁波。当一个移动的接收台在远处接收信号时，问在什么位置收不到信号？什么位置收到的信号只是最强信号的二分之一？
解：电偶极辐射的平均能流密度
, 
正比于
这表明电偶极辐射具有方向性
当
时，没有辐射，
的平面上辐射最强
当
时，
10、 电偶极矩辐射的矢势
，计算电磁场时，需要对A作用算符
，试证明作用的结果，相当于代换：
。
解：
只保留R的最低次项，因为作用R分母上后所得项更小，可忽略。即仅需作用于
上。例如，令
，
11、 一些荷质比
相同的带电粒子组成的体系，不会有电偶极辐射。为什么？
解：设体系有N个粒子，第
个粒子的质量为
，电荷为
，总质量为M，则电偶极矩
①
在
的非相对论情形，应用质心运动定理，设质心的矢径为
即
,得：
，
代入①式得：
由于系统不受外力，则质心加速度
，所以没有电偶极辐射。
12、 电磁场具有动量的证据是什么? 电磁场也遵从的动量守恒定律，说出
, 
,
的物理意义。
答：电磁波入射至物体表面有辐射压强。：作用力密度， ：动量密度， ：动量流密度张量； 
表示垂直于i轴单位面积单位时间内流过的动量的j分量。
13、 一个体系的磁偶极辐射场取决于该体系磁矩
的对时间的两次求导数
。说明荷质比相同的带电粒子系无磁偶极辐射。
解：体系的磁偶极矩：
L是体系角动量，系统不受外力时，角动量守恒，因此：
，
所以不会发生磁偶极辐射。
四、 计算与证明
1. 若把麦克斯韦方程租的所有矢量都分解为无旋的（纵场）和无散的（横场）两部分，写出
和
的这两部分在真空中所满足的方程式，并证明电场的无旋部分对应于库仑场。
解：真空中的麦克斯韦方程组为
， （1）
， （2）
， （3）
（4）
如果把方程组中所有矢量都分解为无旋的纵场和无散的横场，并分别用角标L和T表示，则：由于，所以本身就是无散场，没有纵场分量，即
，
；
，
，
；
，
，
；
由（1）得：
（5）
由（2）得：
（6）
由（3）得：
（7）
由电荷守恒定律
得：
又因为 
，所以 
，即
（8）
（7）式简化为
（9）
所以麦克斯韦方程租的新表示方法为：
（10）
由引入标势，
，代入
得，
上式的解就是静止电荷在真空中产生的电势分布，所以
对应静止电荷产生的库仑场。
2. 证明在线性各向同性均匀非导电介质中，若
，
，则和可完全由矢势决定。若取
，这时满足哪两个方程？
解：在线性各向同性均匀非导电介质中，若，，则麦氏方程表示为：
（1）
（2）
（3）
（4）
其中，
，
，由于（4）式，引入矢势A，使
（5）
即可完全由矢势决定。
将（5）代入（1），得：
， （6）
由此引入标势，使
，即
（7）
将（7）式代入（3）得：
（8）
所以，可由决定，进而，也可完全由矢势决定。
如果取，由（8）式得：
（9）
将（5）、（7）代入（2），并注意到，得：
（10）
（9）、（10）即为时满足的两个方程。
3. 证明沿z轴方向传播的平面电磁波可用矢势
表示，其中
，垂直于z轴方向。
证：平面电磁波在没有电荷分布的空间中传播，势的方程为
沿z轴方向传播的平面波解为
， 
与满足洛伦兹条件：
。所以
，即 
因此，只要给定，就可以确定，从而
和
随之确定。由于
， 
所以和只与矢势的横向分量有关，即平面电磁波可由
来表示，即
，
其中
根据题意
可记为，其方向与z轴垂直。
4. 设真空中矢势可用复数傅里叶展开为
，其中
是
的复共轭。
（1）证明满足谐振子方程
。
（2）当选取规范
，时，证明
。
（3）把和用和表示出来。
解：（1）证明：因为
所以，根据傅立叶级数的正交性，必有：
（1）
在洛伦兹规范下，
，考虑到真空中
，故，
，所以（1）式化为
（2）
而 
于是 
（3）
因为 ，所以
所以（3）式右边积分中，被积函数为0，积分为0。所以满足谐振子方程
。
（2）当选取规范，时
因为
，
是线性无关正交组，所以要使上式成立，必有
（3）已知，所以
5. 设和是满足洛伦兹规范的矢势和标势。
（1）引入一矢量函数
（赫兹矢量），若令
，证明
。
（2）若令
，证明满足方程
，写出在真空中的推迟解。
（3）证明和可通过Z用下列公式表出：
，
。
（1）证明：和是满足洛伦兹规范的矢势和标势，所以有
（1）
将
代入（1）得：
（2）
即：
，所以，
（3）
（2）证明：因为标势在洛伦兹规范下有方程：
将代入，得：
（4）
令
，则上式化为 
，即
（5）
与方程
的推迟解
类比，得方程（5）在真空中的推迟解为
（6）
（3）将，代入及，得：
，
6. 两个质量、电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞，证明电偶极辐射和磁偶极辐射都不会发生。
证：电偶极矩的变化产生的辐射场为：
，
磁偶极矩的变化产生的辐射场为：
，
在两个质量、电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞的过程中，取两粒子的连线为x轴，则系统的电偶极矩
由于两粒子质量相同，根据牛顿第二定律，有
，所以
，因此系统的电偶极矩产生的辐射场为0；又由于系统的磁偶极矩
，所以系统的磁偶极矩产生的辐射场为0，即两个质量、电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞，电偶极辐射和磁偶极辐射都不会发生。
7. 设有一球对称的电荷分布，以频率沿径向作简谐振动，求辐射场，并对结果给以物理解释。
解：因为电荷为球对称分布，不失一般性，设球面上均匀分布了总电量为
的电荷，于是，球面电荷密度为
取如图所示相对的两块小面元dS1,dS2, 由于两块小面元对应相同的立体角，故有相同的面积
，
因为两电荷元
球对称分布，又以相同的频率沿径向作简谐振动，所以有
，
故此两电荷元的振动不能产生辐射场。根据场的叠加原理整个球对称分布的电荷体系沿径向的简谐振荡是不能产生辐射场的振动，辐射场为0。
8. 一飞轮半径为R，并有电荷均匀分布在其边缘上，总电量为。设此飞轮以恒定角速度旋转，求辐射场。
解：设飞轮边缘的厚度为d，于是边缘上的电荷面密度
，
体系的电偶极矩为
体系的磁偶极矩
由此得，
，故辐射场为0。
9. 利用电荷守恒定律，验证和的推迟势满足洛伦兹条件。
证明：推迟势A与可写作：
，
，
其中
。
对于
的函数，有
因为
所以
由于
，所以
另外
，
所以
由电荷守恒定律，
即得和的推迟势满足
10.半径为
的均匀永磁体，磁化强度为
，球以恒定角速度绕通过球心而垂直于的轴旋转，设
，求辐射场和能流。（提示：以角速度转动，可分解为相位差为
的互相垂直的线振动；直角坐标基矢与球坐标基矢变换关系为
解：本题相当于一个位于原点的磁偶极子的旋转，此磁偶极子的磁偶极矩为：
其旋转振荡可分解为x，y方向上相位差为π/2的简谐振荡的合成。
，
用复数形式表达为：
，
根据磁偶极矩辐射场公式
，得
同理可得 
再根据直角坐标基矢与球坐标基矢变换关系
同理，根据辐射场公式
，
及坐标基矢变换关系，可得：
11. 带电粒子e作半径为a的非相对论性圆周运动，回旋频率为。求远处的辐射电磁场和辐射能流。
解：带电粒子作匀速圆周运动，其磁偶极矩
是常矢量，因此不产生电磁辐射，但此系统的电偶极矩是一旋转的变化量
，仿上题解法，把旋转量
分解为x，y方向上的两个简谐振荡：
由此可得：
，
， 
根据公式 
及直角坐标基矢与球坐标基矢变换关系
得： 
再根据公式 
，
及直角坐标基矢与球坐标基矢变换关系，得
，
12. 设有一电矩振幅为
，频率为的电偶极子位于距理想导体平面为
处，平行于导体平面。设
，求在
处电磁场及辐射能流。
解：如图所示，设平面xoy是导体平面，利用镜像法，构造图中电偶极子的镜象
。由图可得：
， 
， 
电偶极子产生的辐射磁场为
电偶极子的镜象
产生的辐射磁场为
所以 
再由磁场求出：
13. 设有线偏振平面波
照射到一个绝缘介质球上（
在z方向），引起介质球极化，极化矢量
是随时间变化的，因而产生辐射。设平面波的波长
远大于球半径，求介质球所产生的辐射场的能流。
解：由题设条件，平面波的波长远大于球半径，可以认为整个介质球每一时刻都处于匀强电场
中，极化矢量在每一时刻都可以看作是均匀的。仿照静电场情形（课本68页（3.22）式）可得
球内极化电荷
，球面极化电荷
，
根据
可知，介质球所产生的辐射场相当于电偶极矩
所产生的辐射。
