数列部分常用方法总结
20##/11/22
l 数列通项的求法
一、公式法
1 运用等差（等比）数列的通项公式.
2 已知数列
前
项和
，则
（注意：不能忘记讨论
）
例1已知数列{an}的前n和
满足
求此数列的通项公式。
解得
，当
所以
二、
（
可以求和）
累加法
例2在数列
中，已知
=1，当
时，有
，求数列的通项公式。
解析：
上述
个等式相加可得：
练习：1、已知数列，=2，
=
+3+2，求。
2、 已知数列满足
求通项公式
3、若数列的递推公式为
，则求这个数列的通项公式
4. 已知数列满足 且
，则求这个数列的通项公式
三.
（
可以求积）
累积法
例3在数列中，已知有
，()求数列的通项公式。
解析：原式可化为
又
也满足上式；
练习：1、已知数列
满足
，
，求。
2、已知
,
,求数列
通项公式.
3、已知数列满足
，求通项公式
四．
待定常数法
可将其转化为
，其中
，则数列
为公比等于A的等比数列，然后求即可。
例4在数列中， ，当时，有
，求数列的通项公式。
解析：设
，则
，于是
是以
为首项，以3为公比的等比数列。
练习：1、在数列中， ，
，求数列的通项公式。
2、已知
，
，求。
3、已知数列
满足
，求通项
4.已知数列
满足
，求数列的通项公式。
五．
（
）
倒数法
例5已知
，
，求。
解析：两边取倒数得：
，设
则
；
令
；展开后得，
；
；
是以
为首项，
为公比的等比数列。
；即
，得
；
练习：1、设数列满足
求
2、在数列
中，
，求数列的通项公式.
3、在数列中，
，求数列的通项公式.
l 证明是等差（等比）数列的方法
一、利用等差（等比）数列的定义
在数列
中，若
（
为常数）或
（
为常数），则数列为等差（等比）数列．这是证明数列为等差（等比）数更最主要的方法．如：
例1（2005北京卷）设数列的首项
，且
，
记
．
（Ⅰ）求
；（Ⅱ）判断数列
是否为等比数列，并证明你的结论．
解：（Ⅰ）
；
（Ⅱ）
，所以
，
所以
，
猜想：是公比为
的等比数列．
证明如下：因为
所以是首项为
，公比为的等比数列．
评析：此题并不知道数列的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明，这是常规做法。
例2（2005山东卷）已知数列的首项
，前项和为
，且
（Ⅰ）证明数列
是等比数列；（Ⅱ）略．
解：由已知
可得时
两式相减得:
，即
，从而
，
当
时，
，所以
，
又，所以
，从而
．
故总有
，又
，从而
．
所以数列是等比数列．
评析：这是常见题型，由依照含的式子再类似写出含
的式子，得到
的形式，再利用构造的方法得到所要证明的结论．本题若是先求出通项的表达式，则较繁．
注意事项：用定义法时常采用的两个式子
和
有差别，前者必须加上“
”，否则时
无意义，等比中一样有：时，有
（常数
）；②
时，有
（常数）．
二．运用等差或等比中项性质
是等差数列，
是等比数列，这是证明数列为等差（等比）数列的另一种主要方法．
例3（2005江苏卷）设数列的前项为，已知
，且
其中
为常数．
（1）求
与
的值；（2）证明数列为等差数列；（3）略．
解：（1）由，得
．
把
分别代入 
，得
解得，
，
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
，即
， ①
又
． ②
②-①得，
，
即
． ③
又
． ④
④-③得，
，∴
，
∴
，又
，
因此，数列是首项为1，公差为5的等差数列．
评析：此题对考生要求较高，通过挖掘的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性质，这种处理大大简化了计算．
例4（高考题改编）正数数列和满足：对任意自然数
成等差数列，
成等比数列．证明：数列
为等差数列．
证明：依题意，
，且
，
．
．
由此可得
．即
．
数列为等差数列．
评析：本题依据条件得到与
的递推关系，通过消元代换构造了关于的等差数列，使问题得以解决．
l 前n项和的求法
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差数列求和公式：
2、等比数列求和公式：
3、 
4、
5、 
6、 例1 已知
，求
的前n项和.
解：由
由等比数列求和公式得 
（利用常用公式）
＝
＝
＝1－
例2设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求
的最大值.
解：由等差数列求和公式得 
， 
（利用常用公式）
∴ ＝
＝
＝
∴ 当 
，即n＝8时，
题1.等比数列
的前ｎ项和Sｎ＝2ｎ－１，则
＝
题2．若12+22+…+(n-1)2=an3+bn2+cn，则a= ,b= ,c=
.
解： 原式=
答案：
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
例3求和：
………………………①
解：由题可知，{
}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{
}的通项之积
设
………………………. ② （设制错位）
①－②得 
（错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：
∴ 
例4求数列
前n项的和.
解：由题可知，{
}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{
}的通项之积
设
…………………………………①
………………………………② （设制错位）
①－②得
（错位相减）
∴ 
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个
.
例5求证：
证明： 设
………………………….. ①
把①式右边倒转过来得
（反序）
又由
可得
…………..…….. ②
①+②得 
（反序相加）
∴ 
例6求
的值
解：设
…………. ①
将①式右边反序得
…………..② （反序）
又因为 
①+②得 （反序相加）
＝89
∴ S＝44.5
题1 已知函数
（1）证明：
；
（2）求
的值.
解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边
（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，
两式相加得：
所以
.
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例8求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
解：设
∴ 
＝
将其每一项拆开再重新组合得
Sn＝
（分组）
＝
＝
（分组求和）
＝
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
(6) 
（7）
（8）
例9求数列
的前n项和.
解：设
（裂项）
（裂项求和）
＝
＝
例10在数列{an}中，
，又
，求数列{bn}的前n项的和.
解： ∵ 
∴ 
（裂项）
∴ 数列{bn}的前n项和
（裂项求和）
＝
＝ 
例11 求证：
解：设
（裂项）
（裂项求和）
＝
＝
＝
＝
∴ 原等式成立
练习题1.
答案：
.
练习题2。
=
答案：
六、分段求和法（合并法求和）
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.
例12求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
∵ 
（找特殊性质项）
∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···
+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）
＝ 0
例13数列{an}：
，求S2002.
解：设S2002＝
由
可得
……
∵ 
（找特殊性质项）
∴ S2002＝
（合并求和）
＝
＝
＝
＝5
例14在各项均为正数的等比数列中，若
的值.
解：设
由等比数列的性质 
（找特殊性质项）
和对数的运算性质 
得
（合并求和）
＝
＝
＝10
练习、求和：
练习题1 设
，则
＝___
答案：2
.
练习题2 ．若Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n，则S17+S33＋Ｓ50等于 ( )
A.1 B.-1 C.0 D .2
解：对前n项和要分奇偶分别解决，即： Sn=
答案：A
练习题 3 1002-992+982-972+…+22-12的值是
A.5000 B.5050 C.10100 D.20200
解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.答案：B
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.
例15 求
之和.
解：由于
（找通项及特征）
∴
＝
（分组求和）
＝
＝
＝
例16已知数列{an}：
的值.
解：∵ 
（找通项及特征）
＝
（设制分组）
＝
（裂项）
∴ 
（分组、裂项求和）
＝
＝