概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确
?A可逆
?r(A)?n ?
?A的列（行）向量线性无关
?
?A的特征值全不为0
?Ax??只有零解 ? ?x??，Ax?? ? A?0??n???R,Ax??总有唯一解 ?
?ATA是正定矩阵
?
?A?E
?A?pp???p p是初等阵12si?
??存在n阶矩阵B,使得AB?E 或 AB?E
注：全体n维实向量构成的集合Rn叫做n维向量空间.
?A不可逆
?r(A)?n ??A?0??A的列（行）向量线性相关
?0是A的特征值 ?
??Ax??有非零解,其基础解系即为A关于??0的特征向量
?r(aE?bA)?n
?注 aE?bA????(aE?bA)x??有非零解
??=-a b?
向量组等价?
?矩阵等价(?)?具有?反身性、对称性、传递性 ????矩阵相似(?)?
矩阵合同(?)??
√ 关于e1,e2,???,en：
①称为?n的标准基，?n中的自然基，单位坐标向量p教材87；
②e1,e2,???,en线性无关； ③e1,e2,???,en?1；
④trE=n；
⑤任意一个n维向量都可以用e1,e2,???,en线性表示.
1
a11a12a22?an2
??
a1na2n?ann
?
Dn?
a21?an1
?
j1j2?jn
(?1)
?(j1j2?jn)
a1j1a2j2?anjn
?
√ 行列式的计算：
①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.
推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
A
OBAO=AO?B
?BAO?A?
OB
mn
②若A与B都是方阵（不必同阶）,则
OOB
?AB
（拉普拉斯展开式）
AB
=?(?1)
③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
?
a1n
a2n?1
?an1
O
?an1O
a2n?1
?
Oa1n
?(?1)
n(n?1)④关于副对角线：
a1na2n?an1 （即：所有取自
不同行不同列的n个元素的乘积的代数和）
1x1
1x2x2?x2
n?12
???
1xnxn?xn
2
⑤范德蒙德行列式：x12
?x1
n?1
?
??x
1?j?i?n
i
?xj?
?
n?1
?a11?a21
由m?n个数排成的m行n列的表A??
????am1
aa?
1222
??
am2
?
??an2
?称m?n矩阵.记作
：???amn?
n1
a
A??aij????????
A11A12?A1n
A21A22?A2n
m?n
或Am?n
An1?
?An2
?，A为A中各个元素的代数余子式.
ij
???Ann?
??
A??Aij?
*
T
?
√ 逆矩阵的求法:
2
① A?1
?a注： ○??
A?c
A
?
b?
?d?
?1
?
?d?
ad?bc??c1?b?主?换位
?
副?变号a?
等行变换?1
②(A?E)?初????(E?A)
?a1
?③???
a2
???a3??
?1
?
??????
a1
1a2
1a3
????? ???a??3?
a2
a1?????
?1
???????
1a3
1a2
1a1
??? ???
√ 方阵的幂的性质：AmAn?Am?n (Am)n?(A)mn √ 设Am?n,Bn?s,
A的列向量为?1,?2,???,?n,B
的列向量为?1,?2,???,?s，则
AB?Cm?s
?b11?b21
???1,?2,???,?n??
????bn1
b12b22?bn2
??
?
b1s??b2s
???c,c,?,c??A??c(i?1,2,?,s)??
12siii
???bns?
为Ax?ci的解?
A??1,?2?,??,s????A?1,A?,??A,s????2
?c1?c,2
?,s
c,c1,c2,?,cs可由?
?1,?2,???,?n线性表示.即：C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵.
同理：C的行向量能由B的行向量线性表示，AT为系数矩阵. ?a11?a21?即： ????an1
a12a22?an2
???
a1n???1
??a2n?
??2??????amn???n
??c1??a11?1?a12?2????
c2a??a22?2
??????211
?
?????????
?a??a?m22??cm??m11
???a1n?2?c1???a2n?2?c2?
?
???amn?2?cm
√ 用对角矩阵?左乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； √用对角矩阵?右乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.
?A
√ 分块矩阵的转置矩阵：?
?C?A
分块矩阵的逆矩阵：?
?
??B??A??O
?1
○○
○○
B??AT
???TD??B?A?1???C??B?
?1
T
TC?
T?D?
?1
?1
?? ??1?B??B
ACB
B
?1
?1
A?
??????1
?A
B
?? ?
?A?1???O
?
? ?
3
?A11
分块对角阵相乘：A??
???B11?,B??A22???
?B22??A11B11
AB??
?
n?A11?n
?,A??
A22B22??
?
n?A22?
分
*
块对角阵
mn
的
?
AB?
???
伴随矩阵：
?A???BA*?
???B??
*
?
*?AB?
???B
?A?
????(?1)mnBA???
(?1)
√ 矩阵方程的解法(A?0)：设法化成(I)AX?B 或 (II)XA?B (I)的解法：构造(A?B)?????(E?X)
(II)的解法：将等式两边转置化为AX
T
T
T
初等行变换
?B，
T
用(I)的方法求出X，再转置得X
① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.
③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）
④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） ⑤ 两个向量线性相关?对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关p教材114. ⑥ 向量组?1,?2,???,?n中任一向量?i(1≤i≤n)都是此向量组的线性组合.
⑦ 向量组?1,?2,???,?n线性相关?向量组中至少有一个向量可由其余n?1个向量线性表示. 向量组?1,?2,???,?n线性无关?向量组中每一个向量?i都不能由其余n?1个向量线性表示. ⑧ m维列向量组?1,?2,???,?n线性相关?r(A)?n； m维列向量组?1,?2,???,?n线性无关?r(A)?n.
⑨ 若?1,?2,???,?n线性无关，而?1,?2,???,?n,?线性相关,则?可由?1,?2,???,?n线性表示,且表示法唯
一.
⑩ 矩阵的行向量组的秩?列向量组的秩?矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.
可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是
4
? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系； 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. √ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：
对A施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘A； 对A施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘A.
如果矩阵A存在不为零的r阶子式，且任意r?1阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r.记作
r(A)?r
○○
○○
向量组?1,?2,?,?n的极大无关组所含向量的个数，称为这个向
量组的秩.记作
r(?1,?2,?,?n)
A经过有限次初等变换化为B. 记作：A??B
?1,?2,???,?n和?1,?2,???,?n可以相互线性表示. 记作：??1,?2,???,?n?????1,?2,???,?n? ? 矩阵A与B等价?PAQ?B，P,Q可逆?r(A)?r(B),A,B为同型矩阵??A,B作为向量组等
价,即：秩相等的向量组不一定等价. 矩
阵
A
与B作为向量组
,,
等
,)
价
,
?r(?1????,?2?r?,?n????,n?r(?1)?1???,?n2?(?,????,n? ,,1
矩阵A与B等价.
? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示?AX?B有解
?r(?1,?2,???,?n)=r(?1,?2,????n,?1,?2,???,?s)?r(?1,?2,???,?s)≤r(?1,?2,???,?n).
? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示,且s?n，则?1,?2,???,?s线性相关.
向量组?1,?2,???,?s线性无关,且可由?1,?2,???,?n线性表示,则s≤n.
? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示,且r(?1,?2,???,?s)?r(?1,?2,???,?n),则两
5
向量组等价；p教材94,例10
? 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ? 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ? 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ? 设A是m?n矩阵,若r(A)?m，A的行向量线性无关；
若r(A)?n，A的列向量线性无关,即：?1,?2,???,?n线性无关. √ 矩阵的秩的性质：
①若A?O?r(A)≥1 若A?O?r(A)?0 0≤r(Am?n)≤
min(m,n) ②r(A)?r(A)?r(AA)
T
T
p教材101,例15
③r(kA)?r(A) 若k?0
?r(A)?r(B)?n ?B的列向量全部是Ax?0的解
④若Am?n,Bn?s,若r(AB)?0?? ⑤r(AB)≤min?r(A),r(B)?
若A可逆?r(AB)?r(B)若B可逆?r(AB)?r(A)
⑥ 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.
????
⑦若r(Am?n)?n?
????
Ax?? 只有零解
?r(AB)?r(B)
； ?
AB?O?B?O??
A在矩阵乘法中有左消去律??
?AB?AC?B?C?
若r(Bn?s)?n??
?r(AB)?r(B)
?B在矩阵乘法中有右消去律.
O?
?等价，称O?
?Er
⑧若r(A)?r?A与唯一的?
?O?Er??OO?
?为矩阵A的等价标准型. O?
⑨r(A?B)≤r(A)?r(B) max?r(A),r(B)?≤r(A,B)≤r(A)?r(B)
p教材70
?A⑩r?
?O
O??O???B??BA??A??r(A)?r(B) r?O??O
6
C?
??r(A)?r(B) B?
第二篇：考研数学线性代数概念、性质、定理、公式整理1
概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确 ?A可逆 ??r(A)?n
?A的列（行）向量线性无关 ??A的特征值全不为0
??Ax??只有零解 ? ?x??，Ax?? A?0?? n????R,Ax??总有唯一解
?ATA是正定矩阵 ??A?E
?A?pp???p p是初等阵12si???存在n阶矩阵B,使得AB?E 或 AB?E
注：全体n维实向量构成的集合R叫做n维向量空间. ○n
?A不可逆 ?r(A)?n ??A?0??A的列（行）向量线性相关
?0是A的特征值 ???Ax??有非零解,其基础解系即为A关于??0的特征向量
?r(aE?bA)?n ?注 aE?bA????(aE?bA)x??有非零解 ○
??=- b?
向量组等价??矩阵等价(?)?具有?反身性、对称性、传递性 ????矩阵相似(?)?
矩阵合同(?)??
√ 关于e1,e2,???,en：
①称为?的标准基，?中的自然基，单位坐标向量p教材87；
②e1,e2,???,en线性无关； ③e1,e2,???,en?1；
④trE=n；
⑤任意一个n维向量都可以用e1,e2,???,en线性表示. nn
1
a11
Dn?
a12?a1na22?a2n?
?
an2?ann
?
j1j2?jn
a21?an1
?(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn
√ 行列式的计算：
①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
AO
②若A与B都是方阵（不必同阶）,则
OO
BA
==
A?
?A
OBBO
?
AO?
B
?AB
（拉普拉斯展开式）
BO
?(?1)mnAB
③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
?
④关于副对角线：
a1n
a2n?1
?
?O
O
a2n?1
?an1
a1n
?(?1)O
n(n?1)a1na2n?an1 （即：所有取自不同行不
an1
同列的n个元素的乘积的代数和）
1x1
⑤范德蒙德行列式：x12
1x2
2x2?
???
1
2
???xi?xj?
xn
1?j?i?n
?
xn
?x1n?1
n?1n?1x2?xn
?a11
?a21?由m?n个数排成的m行n列的表A?????am1
?A11?A12??????A1n
A21?A22?A2n
a12a22?am2
?a1n?
?
?a2n?
称为m?n矩阵.记作：A??aij?或Am?n
m?n??
?
?amn?
A?Aij
*
??
T
An1??
?An2?
，Aij为A中各个元素的代数余子式. ???
?Ann?
√ 逆矩阵的求法:
主?换位?ab?1?d?b?A
注： ?① A?1? ○ ????
ad?bc??ca?副?变号A?cd?
?
?1
2
初等行变换
②(A?E)?????(E?A?1)
?a1
?③???
a2
???a3??
?1
?a?1?????
m
n
a2
????? ???a1??33?
(A)?(A)
mn
mn
a2
?1
?a1?
??
???
???1??1
a3
a2
??? ???
√ 方阵的幂的性质：AA?A
m?n
√ 设Am?n,Bn?s,A的列向量为?1,?2,???,?n,B的列向量为?1,?2,???,?s，
则AB?Cm?s
?b11b12?b1s???bb?b21222s???c,c,?,c??A??c ，(i?1,2,?,s)??为???1,?2,???,?n??12siii???????bb?bns??n1n2
Ax?ci的解?A??1,?2,???,?s???A?1,A?2,???,A?s???c1,c2,?,cs??c1,c2,?,cs可由?1,?2,???,?n线性表
示.即：C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵. 同理：C的行向量能由B的行向量线性表示，A为系数矩阵.
T
?a11
?a21?即： ????an1
a12a22?an2
?a1n???1??c1??a11?1?a12?2???a1n?2?c1
??????a??a????a??c?a2n???2??c2??2112222n22
? ??
???????????????????amn???n??cm??am1?1?am2?2???amn?2?cm
√ 用对角矩阵?左乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵?右乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.
○○
○○
?AB??AT
√ 分块矩阵的转置矩阵：????T
CD???B
?A?1?A?
分块矩阵的逆矩阵：????
B???
?A?1?AC?????OB???O
?1?1
T
CT?
? DT?
?? ??B?1??B
A??
???1???A
?1?1
B?1?
? ?
?A?1A?1CB?1?O??AO?? ???1?1? ??
CBB?B?????BCA
?A11
分块对角阵相乘：A??
???B11,B???A22????A11B11
AB????
B22??n
?n?A11?,A??A22B22???
n?A22?
3
?A??BA*
分块对角阵的伴随矩阵：????B???*?? ??AB*??BA?????mn????(?1)BA*(?1)mnAB????
?
√ 矩阵方程的解法(A?0)：设法化成(I)AX?B 或 (II)XA?B
(I)的解法：构造(A?B)?????(E?X)
初等行变换(II)的解法：将等式两边转置化为ATXT?BT，
用(I)的方法求出X，再转置得XT
① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.
② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.
③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）
④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动）
⑤ 两个向量线性相关?对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关p教材114.
⑥ 向量组?1,?2,???,?n中任一向量?i(1≤i≤n)都是此向量组的线性组合.
⑦ 向量组?1,?2,???,?n线性相关?向量组中至少有一个向量可由其余n?1个向量线性表示.
向量组?1,?2,???,?n线性无关?向量组中每一个向量?i都不能由其余n?1个向量线性表示.
⑧ m维列向量组?1,?2,???,?n线性相关?r(A)?n；
m维列向量组?1,?2,???,?n线性无关?r(A)?n.
⑨ 若?1,?2,???,?n线性无关，而?1,?2,???,?n,?线性相关,则?可由?1,?2,???,?n线性表示,且表示法唯一. ⑩ 矩阵的行向量组的秩?列向量组的秩?矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.
可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为
1，且这些非零元所在列的其他元素都是0? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；
矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.
即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.
√ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：
4
对A施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘A；
对A施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘A.
如果矩阵A存在不为零的r阶子式，且任意r?1阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r.记作r(A)?r
向量组?1,?2,?,?n的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作r(?1,?2,?,?n
) A经过有限次初等变换化为B. 记作：A??B
?1,?2,???,?n和?1,?2,???,?n可以相互线性表示. 记作：??1,?2,???,?n?????1,?2,???,?n?
? 矩阵A与B等价?PAQ?B，P,Q可逆?r(A)?r(B),A,B为同型矩阵??A,B作为向量组等价,即：秩相
等的向量组不一定等价.
矩阵A与B作为向量组等价?r(?1,?2,???,?n)?r(?1,?2,???,?n)?r(?1,?2,????n,?1,?2,???,?n)?
矩阵A与B等价.
? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示?AX?B有解?r(?1,?2,???,?n)=○○○○
r(?1,?2,????n,?1,?2,???,?s)?r(?1,?2,???,?s)≤r(?1,?2,???,?n).
? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示,且s?n，则?1,?2,???,?s线性相关.
向量组?1,?2,???,?s线性无关,且可由?1,?2,???,?n线性表示,则s≤n.
? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示,且r(?1,?2,???,?s)?r(?1,?2,???,?n),则两向量组等价；
p教材94,例10
? 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价.
? 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.
? 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.
? 设A是m?n矩阵,若r(A)?m，A的行向量线性无关；
若r(A)?n，A的列向量线性无关,即：?1,?2,???,?n线性无关.
√ 矩阵的秩的性质：
①若A?O?r(A)≥1 若A?O?r(A)?0 0≤r(Am?n)≤min(m,n) ② 5
r(A)?r(AT)?r(ATA) p教材101,例15
③r(kA)?r(A) 若k?0 ④若Am?n,Bn?s,若r(AB)?0?? ⑤r(AB)≤min?r(A),r(B)? ?r(A)?r(B)?n B的列向量全部是Ax?0的解?
⑥若A可逆?r(AB)?r(B)
若B可逆?r(AB)?r(A) 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.
??Ax?? 只有零解???r(AB)?r(B) ⑦若r(Am?n)?n??； ???A在矩阵乘法中有左消去律?AB?O?B?O????AB?AC?B?C??
?r(AB)?r(B) 若r(Bn?s)?n?? B在矩阵乘法中有右消去律.?
⑧若r(A)?r?A与唯一的?
?Er?OO??Er等价，称??O??OO??为矩阵A的等价标准型. O?
6