第一章 行列式
1．逆序数
1.1 定义
个互不相等的正整数任意一种排列为：
，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用
表示，等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和。
1.2 性质
一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即 
。
证明如下：
设排列为
，作
次相邻对换后，变成
，再作
次相邻对换后，变成
，共经过
次相邻对换，而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加1 ，要么减少1 ，相当于，也就是排列必改变改变奇偶性，次相邻对换后
，故原命题成立。
2．阶行列式的5大性质
性质1：转置（行与列顺次互换）其值不变。
性质2：互换任意两行（列）其值变号。
性质3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。
性质4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。
性质5：把行列式某行（列）
倍后再加到另一行（列），其值不变。
行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。
评 注 对性质4的重要拓展：
设阶同型矩阵，
，而行列式只是就某一列分解，所以，
应当是
个行列式之和，即
。
评 注 韦达定理的一般形式为：
一、行列式定义
1．定义
其中逆序数 
后面的
小的数的个数 
后面比
小的数的个数
后面比
小的数的个数.
2．三角形行列式
二、行列式性质和展开定理
1．会熟练运用行列式性质，进行行列式计算.
2．展开定理
三、重要公式
设A是n阶方阵，则
1．
2．
3．
4．
5．
，其中B也是n阶方阵
6．设B为m阶方阵，则
7．范德蒙行列式
四．有关结论
1．对于
(1)
(2) 
2. 
为阶可逆矩阵
（与
等价）
只有惟一零解
有惟一解（克莱姆法则）
的行（列）向量组线性无关
的n个特征值
可写成若干个初等矩阵的乘积
是正定矩阵
是
中某两组基之间的过渡矩阵
3. 为阶不可逆矩阵
有非零解 
0是的特征值 
4.若为阶矩阵，
为的n个特征值，则
5.若
，则
行列式的基本计算方法：
1. 应用行列式的性质化简行列式（例如化为三角形行列式就是一个常用方法）。
2. 按行（列）展开行列式（在此基础上，有些题可用数学归纳法、有些题可用递推关系式来计算行列式）。
在实际使用中，常常将上述两种方法交替使用。
行列式的计算是行列式的重点内容，特别是低阶行列式及简单的n阶行列式的计算一般总要遇到（例如求特征值），因此，务求熟练掌握。
典型题:
一. 数字行列式的计算.
1. 利用行列式的定义.
2. 利用行列式的基本性质.
3. 一般的数字行列式，三角化，爪形行列式，行列式按某行（列展开），利用特征值、特征向量求。递推公式.
二. 行列式的代数余子式的相关计算.
三. 
类型成抽象行列式的计算.
1.与向量成分块矩阵结合
2与特征值、特征向量结合.
4 与代数余子式结合.
四.范德蒙行列式与克莱姆法则
第二章 矩阵
一 内容概要
1 矩阵的概念
注意它和行列式的区别：1）表现形式上的差别；2）表现本质上的差别，一个是数（行列式是数），而矩阵是一个符号；3）一般地当A是一个方阵时候，
才有意义，但是
；此外当A是长方形矩阵时没有意义。
2矩阵的运算及其运算律
（1）矩阵的相等；
（2）矩阵的线性运算：
a)矩阵的和：A+B 注意A和B要是阶数一致的矩阵（或称同型矩阵）；
b)矩阵的数乘（或称数乘矩阵） 
；
c)一般地，若
有意义，称为矩阵
的一个线性运算；
3矩阵的转置
将矩阵A的行列互换，得到新的矩阵
，称为矩阵A的转置。
4 矩阵的乘法
矩阵乘法的定义：
注意指出：在定义中，第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，而
5 关于矩阵运算的运算律要注意的问题：
1）一般地
原因是a)AB与BA不一定同时有意义；b)即使AB与BA都有意义，AB与BA的阶数也未必一致；例如
；
c)即使AB与BA其阶数相同，但AB与BA也未必相同；如果AB=BA，则称A与B是可以交换的。
例如
2）矩阵的乘法不满足消去律，
即一般地若
3）若
3 几种特殊类型的矩阵
（1）0矩阵；（2）单位矩阵；（3）对角矩阵；数量矩阵；（4）三角矩阵；上三角、下三角矩阵；
（5）对称矩阵：若
；
（6）反对称矩阵：若
；
关于反对称矩阵常用的结论：1）A的主对角线上的元素全是0；2）若A是奇数阶行列式，则
;
(7)正交矩阵：若
，则称A是正交矩阵。
关于正交矩阵与对称矩阵的关系有：若A是一个实对称矩阵，则存在一个正交矩阵T使得：
；
（8）阶梯形矩阵
若A满足：0行全在非0行的下方，非0行的第一个非0的数它的下面的数全是0（若有的话）；
关于阶梯形矩阵：任意一个矩阵A都可以通过初等变换化为阶梯形矩阵；
（9）分块矩阵；对一个矩阵进行适当的分快，可以带来很多方便，它有很多的应用；
（10）初等矩阵：初等矩阵与矩阵的初等变换关系非常密切，要充分理解它的概念和它的作用。
4 分块矩阵
当一个矩阵的阶数较高时，对此矩阵进行恰当的分块，更能容易看清其矩阵的规律和问题的结构特点。
矩阵分块的原则：在同一行中，其各个块矩阵的行数一致，在同一列中，其块矩阵列数一致；
分块矩阵运算的原则：
（1）分块矩阵的加法：若A+B,其对矩阵A,B的分块方法完全一致；
（2）分块矩阵的乘法：若AB，其对第一个矩阵的列的分法同第二个矩阵行的分法完全一致。
5初等矩阵、矩阵的初等变换、矩阵的等价
（1）初等矩阵的定义：对单位矩阵进行一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵；
用四阶单位矩阵来说明初等矩阵的几种形式。
（2）初等变换
初等行变换、初等列变换；
（3）初等变换与初等矩阵之间的关系
对矩阵A做一次初等行变换成为B，则B=PA（其中P是与行变换相对应的初等矩阵）举例说明：
对于矩阵A作一次初等列变换成为B，则B=AP（其中P是与上述列变换相对应的初等矩阵）。
举例说明
(4)矩阵A与B等价
如果A能够通过初等变换变为B则称A与B等价，用式子表示就是：
是初等矩阵
每一个矩阵A都与矩阵
等价，其中r是矩阵A的秩，即存在
6 关于n阶矩阵的逆矩阵
（1）逆矩阵的定义：设A是一个n阶矩阵，若有n阶方阵B使得
AB=E或BA=E 则称矩阵A是可逆的；
( 2 )n阶方阵A可逆的充要条件
1）用矩阵的方式描述：存在矩阵B使得 AB=E或BA=E(即定义）；
2）用A的行列式
;
3）用矩阵的秩来描述：
4）用向量的观点来描述：矩阵A的行向量组（或列向量组）线性无关；
5）用方程组的观点来描述：方程组AX=0仅有0解；
6）用矩阵A的特征值来描述：A的特征值全不0；
（3）逆矩阵的性质
1）若A有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的；
2）若A,B是同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且
;
3）
;
4）
（4）逆矩阵的求法
1）具体的数字矩阵常用的方法是用伴随矩阵的方法；或用初等变换的方法。这是两种最基本的方法，应该熟练，特别是对于三阶矩阵；
初等变换求逆矩阵的方法：
2）对于抽象的矩阵A,求此逆矩阵，常用的方法是想办法找到矩阵B使得：AB=E，或BA=E，此时的B就是所求的逆矩阵；
3）如果要判断矩阵A是否可逆，就考虑上述的矩阵可逆的充要条件；
（5）关于伴随矩阵
1)伴随矩阵的定义，强调伴随矩阵中元素的构成规律；
2)伴随矩阵常用的性质 对于任意的方阵A均有此伴随矩阵
当
对于一般地方阵A，其伴随矩阵的秩为：
当
。
（6）关于矩阵的秩
1）矩阵秩的定义：在矩阵A中，有一个不等于0的r阶子式
，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，那么r称为矩阵A的秩，称为矩阵A的最高阶非0子式。规定0矩阵的秩是0。
2）矩阵的秩与初等变换的关系：对矩阵A实行初等变换其秩不变
3）矩阵秩的求法 应用上面的结论，求矩阵A的秩其一般方法是
4）有关矩阵秩的重要结论
若P、Q分别是可逆矩阵，且下列运算有意义，则
若A为
矩阵，B为
矩阵，且AB=0，则：
此外，矩阵的秩常常和向量组的秩联系起来，注意和向量组的秩的关系。
二 常见题型
题型一：有关矩阵运算律的考察和相关概念的考查
在考虑矩阵的乘积可交换时，常常利用
来进行。
题型二： 矩阵可逆的计算与证明
（1）对于具体的三阶、四阶的数字矩阵求此逆，初等变换的方法一定要会，用伴随矩阵的方法要基本清楚；
（2）如果给定了抽象的条件，要求
，此时注意将条件转化为AB=E，或BA=E,此时的B就是要求的。
在处理有关矩阵逆的问题的时候，注意逆矩阵的性质以及前面所讲的矩阵可逆的充要条件。
题型三： 关于伴随矩阵
逆矩阵常常与伴随矩阵相联系，此外伴随矩阵也是多年来考察的热点。这类问题多注意伴随矩阵的定义以及与逆矩阵的关系。
题型四： 有关初等矩阵及其初等变换的问题
题型五： 解矩阵方程
将所给的条件转化为矩阵方程：
的矩阵A,C一般地都是可逆矩阵。
对于矩阵方程
，则这里的矩阵
；
或者先求出
。
对于其他类型的矩阵方程类似地可以给出求解方法。
题型六： 关于矩阵的秩
1 具体的数字矩阵求秩，用初等变换进行，对矩阵A实行初等变换使之称为阶梯形矩阵T,由此可求出矩阵A的秩（在初等变换下，矩阵的秩不变）；
2 利用矩阵的秩，等于矩阵A的行向量组的秩，等于矩阵A的列向量组的秩等性质。
3 注意矩阵秩的有关不等式。
题型七： 求一个方阵的高次幂
当A是一个方阵的时候，
才有意义，否则没有意义。
第三章 n维向量空间
§3.1 n维向量的定义
1. 定义
定义：个数
构成的有序数组, 记作
,
称为
维行向量．
–– 称为向量
的第
个分量
–– 称为实向量（下面主要讨论实向量）
–– 称为复向量
零向量：
负向量：
列向量：个数
构成的有序数组, 记作
,
或者
, 称为维列向量．
零向量：
负向量：
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．
§3.2 n维向量的线性运算
1．定义
线性运算：
, 
相等：若
, 称
．
加法：
数乘：
减法：
2．线性运算律：
, , 
(1) 
(5) 
(2) 
(6) 
(3) 
(7) 
(4) 
(8) 
§3.3 向量组的线性相关性
1．线性组合与线性表示
对维向量及
, 若有数组
使得
, 称为的线性组合,
或可由线性表示．
例如，
有
，
所以称
是
的线性组合，或可由线性表示。
判别是否可由向量组
线性表示的定理：
定理1 向量可由向量组线性表示的充分必要条件是：
以为系数列向量，以为常数项列向量的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。
2．向量组的线性相关性
对维向量组, 若有数组不全为0, 使得
称向量组线性相关, 否则称为线性无关．
线性无关：对维向量组, 仅当数组全为0时, 才有
称向量组线性无关, 否则称为线性相关．
定理2 向量组
线性相关
其中至少有一个向量可由其余
个向量线性表示．
推论：向量组线性无关
任何一个向量都不可由其余个向量线性表示．
定理3 n维向量组线性相关
有非零解，其中
。
推论：n维向量组线性无关只有零解，其中。
定理4 若向量组线性无关, 
线性相关,
则可由线性表示, 且表示式唯一．
一些结论：
(1) 单个零向量线性相关,单个非零向量线性无关；
(2) 含零向量的任何向量组线性相关；
(3) 基本向量组
线性无关；
(4) 有两个向量相等的向量组线性相关；
(5) m>n时， m 个n维向量必线性相关. 特别：m=n+1 ；
(6) n个n维向量线性无关它们所构成方阵的行列式不为零；
(7) n维向量空间任一线性无关组最多只能包含n 向量.
§3.4 向量组的极大线性无关组
1. 等价向量组
设向量组
, 
若
可由
线性表示, 称
可由
线性表示；
若与可以互相线性表示, 称与等价．
(1) 自反性：与等价
(2) 对称性：与等价
与等价
(3) 传递性：与等价, 与
等价与等价
等价向量组的基本性质：
定理 设
与
是两个向量组，如果
(1) 向量组可以由向量组线性表示；
(2) 
则向量组必线性相关。
推论1向量组可以由向量组线性表示，并且
线性无关，那么
。
推论2 两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。
2．向量组的极大线性无关组
设向量组为, 如果在中有
个向量
满足：
(1) 
:线性无关；
(2) 任意
个向量线性相关（如果有个向量的话）．
称
为向量组为的一个极大线性无关组，简称极大无关组。
注：(1) 只含零向量的向量组没有极大无关组；
(2) 一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身；
(3) 一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组表示。
例如，在向量组
中，首先
线性无关，又
线性相关，所以组成的部分组是极大无关组。还可以验证
也是一个极大无关组。
注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。
极大无关组的基本性质：
性质1 任何一个极大无关组都与向量组本身等价。
性质2 向量组的任意两个极大无关组都是等价的。
定理 一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所包含向量的个数相同。
3．向量组的秩与矩阵秩的关系
3.1 向量组的秩
定义3 向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩，记做
。
例如，向量组
的秩为2.
关于向量组的秩的结论:
(1) 零向量组的秩为0；
(2) 向量组
线性无关
，
向量组线性相关
，
(3) 如果向量组可以由向量组
线性表示，则
(4) 等价的向量组必有相同的秩。
注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。
两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线性表示，则这两个向量组等价。
3.2 矩阵的秩
3.2.1 行秩、列秩、矩阵的秩
把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成，
把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。
定义4：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩;
矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。
问题：矩阵的行秩等于矩阵的列秩吗？
引理1: 矩阵的初等行(列)变换不改变矩阵的行(列)秩。
引理2：矩阵的初等行(列)变换不改变矩阵的列(行)秩。
综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。
定理：矩阵的行秩＝矩阵的列秩。
定义5：矩阵的行秩＝矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。
记为r(A),或rankA，或秩A。
推论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
3.2.2矩阵秩的求法
首先复习: 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵的概念和特点。
对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。
结论：行阶梯形矩阵的秩＝非零行的行数
求矩阵秩的方法:
把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。
求向量组的秩、极大无关组的步骤：
(1) 向量组作列向量构成矩阵；
(2) 
(行最简形矩阵)
(3) 求出B的列向量组的极大无关组
(4) A中与B的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组，即为A的极大无关组。
3.2.3 矩阵秩的性质
(1) 等价的矩阵，秩相同；
(2) 任意矩阵，有
；
(3) 任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。
若
可逆，对于任意的矩阵，有
(4) 对于
3.3 矩阵的秩与行列式的关系
定理 阶方阵，
的个行(列)向量组线性无关
即为可逆矩阵(也称为满秩矩阵)
的个行(列)向量组线性相关
§3.5 向量空间
1．向量空间的概念
定义1： 设 V 为n 维向量的集合，如果集合V 非空，且集合V 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合V 为向量空间．
说明：集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭指
有
有
一般地，由向量组
所生成的向量空间为
2．向量空间的基与维数
定义2：设V是向量空间，如果r个向量
，且满足
(1) 
线性无关；
(2) V中任何一向量都可由线性表示，那么，就称向量组是向量空间V的一个基，r成为向量空间V的维数，记作dimV＝r，并称V是r维向量空间。
注：（1）只含有零向量的向量空间没有基，规定其维数为0。
（2）如果把向量空间看作向量组，可知，V的基就是向量组的极大无关组，V的维数就是向量组的秩。
（3）向量空间的基不唯一。
3．向量在基下的坐标
定义3：设向量空间
的基为
, 对于
,
表示式
唯一（定理2）, 称
为在
基下的坐标（列向量）．
注： 为维向量, 在的基下的坐标为维列向量．
因为线性无关的“维向量组”最多含有
个向量, 所以由
维向量构成的向量空间的基中最多含有个向量, 故
．
§3.5 欧式空间
1． 内积的概念
定义1：n维实向量
，称
为和的内积。
若
为行向量，则
。
向量空间的性质：
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
等号成立当且仅当
定义2 实数
为向量的长度(或模，或范数)。
若
，称为单位向量。
把向量单位化：若
则
，考虑
，即
的模为1，为单位向量，称为把单位化。
向量长度的性质：
(1) 非负性：当
时，
；当时，
；
(2) 齐次性：
；
(3) 柯西-------施瓦兹不等式：
；
(4) 三角不等式：
定义3：设实向量
,
, 称 
为与之间的夹角．
定义4：若
, 称与正交, 记作
．
(1) 
,时, 
；
(2) 
或
时, 有意义, 而
无意义．
注：（1）零向量与任何向量都正交。
（2）定义了内积的向量空间称为欧氏空间。
2．标准正交基的向量组
定义5
正交向量组：非零实向量两两正交。
正交单位向量组(标准正交向量组)：非零实向量两两正交，且每个向量长度全为1，即
。
定理：正交向量组是线性无关的。
例如，书p100例3.5.1
例1 已知三维向量空间中两个向量
正交，试求
使
构成三维空间的一个正交基.
3． 正交矩阵
定义6：A是一个n阶实矩阵，若
，则称为正交矩阵。
定理：设A、B都是n阶正交矩阵，则
(1)
或
(2)
(3) 
也是正交矩阵
(4)
也是正交矩阵。
定理：n阶实矩阵A是正交矩阵A的列（行）向量组为单位正交向量组。
注：n个n维向量，若长度为1，且两两正交，责备以它们为列（行） 向量构成的矩阵一定是正交矩阵。
第四章 线性方程组
一、基本概念及表达形式
非齐次线性方程组的一般形式：
(I)
A=
=
，
。
叫作(I)的系数矩阵，
叫作(I)的增广矩阵。
(I) 还可改写为矩阵方程的形式：
和向量形式：
。
齐次线性方程组的一般形式：
(II)
(II)叫作(I)的导出组，其矩阵形式为：
向量形式为：
。
二、线性方程组解的性质
1)如果a，b是齐次线性方程组的两个解，则a+b也是它的解。
2)如果a是齐次线性方程组的解，则ka也是它的解。
3)如果有a1，a2，…，as是的解，则k1a1+k2a2+…+ksas也是它的解．ki为任意常数(i=1，2，…，s)。
4)如果a，b是非齐次线性方程组的两个解，则a-b是导出组的解。
5)如果a是的解，b是的解，则a+b是的解。
6)如果
是的解，
为常数，且
，
则
也是的解。
三、线性方程组解的判定定理
1、非齐次线性方程组
1）若秩
秩
，则无解。
2) 若秩
秩
具体做法：设的增广矩阵记为，则经过初等行变换可化为如下的阶梯形矩阵(需要交换列时可重新排列未知量的顺序)：
® … ® 
于是可知：
（1）当dr+1=0，且r=n时，原方程组有唯一解。
（2）当dr+1=0，且r<n时，原方程组有无穷多解。
（3）当dr+1¹0，原方程组无解。
当方程组有解时，写出阶梯形矩阵对应的线性方程组，并求解，就可得到原方程组的解。
2、齐次线性方程组
一定有解（至少有零解），且秩时，有唯一解；秩
时，有非零解，且有
个线性无关的解向量。
具体做法：由于齐次线性方程组的增广矩阵的最后一列全为零，所以对施行初等行变换，可化为：
于是可知：
(1) 当且r=n时，齐次线性方程组仅有零解。
(2) 当r<n时，齐次线性方程组除零解外，还有无穷多组非零解。
特别地，当m<n时，齐次线性方程组必有非零解。
当m=n时，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式D=0。
四、非齐次线性方程组与其对应的齐次线性方程组解的关系
有解
秩秩
有唯一解
只有零解
。
有无穷多解有非零解
。
五、线性方程组解的结构及基础解系的求法
1、齐次线性方程组解的结构及基础解系的求法
设h1，h2，…，hs是齐次线性方程组的一组解，若
1° h1，h2，…，hs线性无关；
2° 方程组任何一个解都可由h1，h2，…，hs线性表出，则称h1，h2，…，hs是一个基础解系。
如果齐次线性方程组有非零解(r(A)=r<n)，则一定有基础解系，并且基础解系含有个线性无关的解向量。若的基础解系含有个线性无关的解向量，则的任意个线性无关的解向量都是的一个基础解系。
如果h1，h2，…，hn-r是齐次线性方程组的一个基础解系，则的全部解为：h=k1h1+k2h2+…+kn-rhn-r，其中ki(i=1，2，…，n-r)为任意常数。
若齐次线性方程组有非零解，则r(A)=r<n，对方程组的增广矩阵施行初等行变换，总可以化为如下形式：
即方程组与下面的方程组同解
其中xr+1， xr+2，…， xn为自由未知量
对这n–r个自由未知量分别取 
，
，…，
，（共n–r个）
可得方程组(1)的n–r个线性无关的解
h1=
，h2=
，…，hn–r =
，即为其基础解系。
2、齐次线性方程组解的结构及基础解系的求法
设非齐次线性方程组的任意一个解均可表示为方程组的一个特解与其导出组的某个解之和。
当非齐次线性方程组有无穷多解时，它的通解可表示为：
=
k1h1+k2h2+…+kn-rhn-r，
其中为的一个特解，h1，h2，…，hn-r是齐次线性方程组的一个基础解系，ki(i=1，2，…，n-r)为任意常数。
III 题型归纳及思路提示
题型1 基本概念题（解的结构、性质和结构）
题型2 求线性方程组的通解
题型3 含有参数的线性方程组的讨论（历届考研的重点）
题型4 讨论两个方程组的公共解
题型5 有关线性方程组及其基础解系的证明题
题型6 向量组与线性方程组的综合题
IV 本章小结
重点难点：1、含参数的非齐次线性方程组解的判定及讨论；
2、线性方程组的解的结构，特别要掌握基础解系。
本章几乎每年都要考查，也是线性代数部分的考试重点。一般出单项选择题和计算题。要求考生熟练掌握线性方程组的解的判定和结构。由于三元一次方程的几何意义是平面，故方程组是否有解也可转换为平面的空间位置关系问题。近几年方程组也常与空间平面联合出题，请大家注意方程组与空间平面的关系。
第五章 特征值与二次型
§1 向量的内积
在空间几何中，内积描述了向量的度量性质，如长度、夹角等.由内积的定义：
，可得
且在直角坐标系中
将上述三维向量的内积概念自然地推广到n维向量上，就有如下定义。
定义1 设有n维向量
，
，
称
为
与
的内积.
内积是向量的一种运算，用矩阵形式可表为
.
若ｘ、ｙ、ｚ为n维实向量，λ为实数，则下列性质从内积的定义可立刻推得.
(i) ［x,y］＝［y,x］，
(ii)［λx,y］＝λ［x,y］，
(iii)［x+y,z］＝［x,z］＋［y,z］.
同三维向量空间一样，可用内积定义n维向量的长度和夹角.
定义2 称
为向量x的长度(或范数)，当‖x‖＝1时称x为单位向量.
从向量长度的定义可立刻推得以下基本性质：
（ｉ）非负性： 当x≠0时，‖x‖＞０，当x＝０时‖x‖＝０.
（ｉｉ）齐次性： ‖λx‖＝｜λ｜‖x‖.
（ｉｉｉ）三角不等式： ‖x＋y‖≤‖x‖＋‖y‖.
（ｉｖ）柯西----许瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式: ［x，y］２≤‖x‖２‖y‖２.
由柯西-许瓦茨不等式可得
≤１（‖x‖·‖y‖≠０）.
于是我们定义，当‖ｘ‖≠０，‖ｙ‖≠0时，称
为x与y的夹角.当［x，y］＝０时，称x与y正交.
显然，n维零向量与任意n维向量正交.
称一组两两正交的非零向量组为正交向量组.
定理1 若n维非零向量
为正交向量组，则它们为线性无关向量组.
证 设有
使
，分别用
与上式两端作内积(k＝１，２，…，r)，即得
因
，故
，从而
，于是线性无关.
在研究向量空间的问题时，常采用正交向量组作为向量空间的一组基，以便使问题得到简化，那么n维向量空间的正交基(基中向量两两正交)是否存在呢?
定理 2 若是正交向量组，且ｒ＜n，则必存在n维非零向量x，使，x也为正交向量组.
证 x应满足
，即
记 
则
，故齐次线性方程组Ax＝０必有非零解，此非零解即为所求.
推论：
个（
）两两正交的n维非零向量总可以扩充成Rn的一个正交基.
定义3 设n维向量
是向量空间
的一个基，如果两两正交，且都是单位向量，则称之为V的一个正交规范基(标准正交基).
若是V的一个正交规范基，则V中任一向量
可由惟一线性表示，设为
则由 
，
得
惟一确定，i＝１,２，…，r.
下面介绍将向量空间的任一基转换为一正交规范基的Schmidt正交化方法，其具体步骤如下：
取
容易验证
两两正交，非零.然后将它们单位化，即令
则就是V的一个正交规范基.
定义4 如果n阶方阵满足A′A＝E（即A－１＝A′），就称A为正交矩阵.
用A的列向量表示，即是
亦即 
由此得到n２个关系式
这说明，方阵A为正交矩阵的充分必要条件是：A的列向量组构成Rn的正交规范基，注意到Ａ′Ａ＝Ｅ＝ＡＡ′，所以上述结论对A的行向量组也成立.
由正交矩阵定义，不难得到下列性质.
（i）若A是正交矩阵，则｜Ａ｜２＝１.
（ii）若A是正交矩阵，则Ａ′，Ａ－１也是正交矩阵.
（iii）若Ａ，Ｂ是n阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵.
定义5 若T是正交矩阵，则线性变换y＝Ｔx称为正交变换.
设y＝Ｔx是正交变换，则有
这表明，经正交变换向量的长度保持不变，这是正交变换的优良特性之一.其实正交变换相当于反射和旋转的叠合，例如
为正交矩阵，正交变换y＝Ｔx相当于旋转θ角，再关于纵轴对称反射.
§2 方阵的特征值和特征向量
定义6 设A为n阶方阵，若存在数λ和非零n维向量x，使得
Ａx＝λx， （5.1）
则称λ为矩阵A的特征值，称x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量.
(5.1)式也可写成
（Ａ－λＥ）x＝０. （5.2）
(5.2)式的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是
｜Ａ－λＥ｜＝０. （5.３）
(5.3)式的左端为λ的n次多项式，因此A的特征值就是该多项式的根.记f(λ)=|Ａ-λＥ|，称为A的特征多项式，则矩阵A的特征值即为其特征多项式的根.方程(5.3)称为A的特征方程，特征方程在复数范围内恒有解.其个数为方程的次数(重根按重数计算)，因此n阶方阵A有n个特征值.
设λ＝λi为其中的一个特征值，则由方程
（Ａ－λiＥ）x＝0
可求得非零解x＝pi，那么pi便是A的对应于特征值λi的特征向量(若λi为实数，则pi可取实向量，若λi为复数，则pi为复向量.)
显然，若pi是对应于特征值λi的特征向量，则kpi（k≠０）也是对应于λi的特征向量，所以特征向量不能由特征值惟一确定，反之，不同的特征值所对应的特征向量绝不会相等，也即一个特征向量只能属于一个特征值.
的特征值和特征向量.
归纳出具体计算特征值、特征向量的步骤.
第一步：计算特征多项式｜A－λE｜.
第二步：求出｜A－λE｜＝0的全部根，它们就是A的全部特征值.
第三步：对于A的每一个特征值λi，求相应的齐次线性方程组(Ａ－λiE)x＝0的一个基础解系
，
则对于不全为零的任意常数
，
即为对应于λｉ的全部特征向量.
定理3 设λ1，λ2，…，λm是方阵A的m个互不相同的特征值，p1，p2，…，pm依次是与之对应的特征向量，则p1，p2，…，pm线性无关.
证 设有常数x1，x2，…，xm，使
x1 p1+ x2 p2+…+ xm pm =0,
则A(x1 p1+ x2 p2+…+ xm pm) =0,
即
.
类推有
把上列各式合写成矩阵形式，得
(x1 p1，x2 p2，…，xm pm)
=O.
上式等号左边第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式，当λｉ各不相同时，该矩阵可逆，于是有
(x1 p1，x2 p2，…，xm pm) =O，
即xipi＝0，但pi≠0，故xi＝0，i＝1，2，…，m.
所以向量组p1，p2，…，pm线性无关.
§3 相似矩阵
定义7 设A与B是n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使
B＝P -1AP，
则称A与B是相似的.
定理 4 若n阶方阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值相同.
证 因A与B相似，即有可逆矩阵P，使P－１AP＝B，故
|B－λE|＝| P -1AP－P -1(λE)P|＝| P -1（A－λE）P|
＝｜P -1｜｜A－λE｜｜P｜＝｜A－λE｜.
推论 若n阶方阵A与对角矩阵diag (λ1，λ2，…，λn)相似，则λ1，λ2，…，λn即是A的特征值.
证 因λ1，λ2，…，λn是diag（λ1，λ2，…，λn）的n个特征值.由定理4知λ1，λ2，…，λn也就是A的特征值.
关于相似矩阵我们关心的一个问题是，与A相似的矩阵中，最简单的形式是什么?由于对角矩阵最简单，于是考虑是否任何一个方阵都相似于一个对角矩阵呢?下面我们就来研究这个问题.
如果n阶矩阵A能相似于对角矩阵，则称A可对角化.
现设已找到可逆矩阵P，使P -1AP＝Λ＝diag（λ1，λ2，…，λn）.把P用其列向量表示为Ｐ＝（λ1，λ2，…，λn），由P -1AP＝Λ，得AP＝PΛ，即
A（p1，p2，…，pn）＝（p1，p2，…，pn）diag（λ1，λ2，…，λn）
＝（λ1 p1，λ2 p2，…，λn pn）.
于是有
A pi＝λi pi （i＝1，2，…，n）.
可见P的列向量pi就是A的对应于特征值λi的特征向量.又因P可逆，所以p1，p2，…，pn线性无关.由于上述推导过程可以反推回去.因此，关于矩阵A的对角化有如下结论：
定理5 n阶方阵A可对角化的充分必要条件是：A有n个线性无关的特征向量p1，p2，…，pn，并且以它们为列向量组的矩阵P，能使P -1AP为对角矩阵.而且此对角矩阵的主对角线元素依次是与p1，p2，…，pn对应的A的特征值λ1，λ2，…，λn.
现在的问题是：对于任一矩阵A，是否一定存在n个线性无关的特征向量，答案是否定的，在上节例7中A的特征方程有重根.但仍能找到3个线性无关的特征向量，但在例6中A的特征方程亦有重根，却找不到3个线性无关的特征向量.从而例6中矩阵A不能与对角矩阵相似.
在矩阵中有一类特殊矩阵，即实对称矩阵是一定可以对角化的，并且对于实对称矩阵A不仅能找到可逆矩阵P，使得P -1AP为对角阵，而且还能够找到一个正交矩阵T，使T -1AT为对角矩阵.
定理6 实对称矩阵的特征值都是实数.
证 设复数λ为实对称矩阵A的特征值，复向量x为对应的特征向量，即Ａx＝λx，x≠0.
用
表示
的共轭复数，
表示x的共轭复向量，则
于是有
及
两式相减，得
.
但因x≠０，所以
故
，即
，这表明是实数.
显然，当特征值
为实数时，齐次线性方程组
是实系数线性方程组，从而必有实的基础解系，即对应于λｉ的特征向量必可取实向量.
定理7 设λ1，λ2是实对称矩阵的两个特征值，p1，p2是对应的特征向量，若λ1≠λ2，则p1与p2正交.
证 λ1p1＝Ap1，λ2p2＝Ap2，λ1≠λ2，因A对称，故λ1p1′＝(λ1 p1)′＝(Ap1)′＝
p1′A′＝p1′A，于是
λ1 p1′p2＝p1′Ap2= p1′(λ2p2)= λ2 p1′p2
即
（λ1－λ2）p1′p2＝0，
但λ1≠λ2，故p1′p2＝0，即p1与p2正交.
定理8 设A为实对称矩阵，则必存在正交矩阵T，使
其中λ１，λ２，…，λn是A的特征值.
在这里，我们主要介绍如何具体算出上述正交矩阵T，由于T是正交矩阵，所以T的列向量组是正交的单位向量组，且如前所述，T的列向量组是由A的n个线性无关的特征向量组成，因此对T的列向量组有三条要求：
1°每个列向量是特征向量.
2°任意两个列向量正交.
3°每个列向量是单位向量.
于是求正交矩阵T使T -1AT为对角矩阵的具体步骤如下：
第一步：求出A的所有不同的特征值λ１，λ２，…，λs.
第二步：求出A对应于每个特征值λi的一组线性无关的特征向量，即求出齐次线性方程组（Ａ－λiE）x＝0的一个基础解系.并且利用Schmidt正交化方法，把此组基础解系正交规范化，再由定理7知对应于不同特征值的特征向量正交，如此可得A的n个正交的单位特征向量.
第三步：以上面求出的n个正交的单位特征向量作为列向量所得的n阶方阵即为所求的正交矩阵T，以相应的特征值作为主对角线元素的对角矩阵，即为所求的T -1AT.
§4 化二次型为标准型
前面我们主要研究线性问题，但在实际问题中还存在大量非线性问题，其中最简单的模型就是二次型，本节用矩阵工具来研究二次型，介绍化二次型为标准型的几种方法.
定义8 n元变量
的二次齐次多项式
（5.4）
称为二次型.当aij为复数时，f称为复二次型，当aij为实数时, f称为实二次型，我们仅限于讨论实二次型.
取aji＝aij
则2aijxixj＝aijxixj＋ajixjxi.于是(5.4)式可写成对称形式
（5.5）
记
（5.6）
则(5.5)式可以用矩阵形式简单表示为
其中A为实对称矩阵.
例如，二次型
用矩阵表示就是：
显然这种矩阵表示是惟一的，即任给一个二次型就惟一确定一个对称矩阵，反之任给一个对称矩阵也可惟一确定一个二次型.即二者之间存在一一对应关系，我们把对称矩阵A称为二次型f的矩阵，A的秩称为f的秩.也称f为对称矩阵A的二次型.
在平面解析几何中讨论二次曲线时，经常采用的是把二次曲线的一般方程
通过坐标变换化成标准型
再根据标准型作出曲线形状的判断.
在这里，我们对二次型也类似地进行讨论.即对于一般的二次型
找到一个非退化的线性变换（即C是n阶可逆矩阵）
x＝Ｃy，
使得
即利用非退化线性变换将二次型化为只含平方项的形式.这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型(或法式).
定理9 任给可逆矩阵C，令B＝C′AC，如果A为对称矩阵，则B亦为对称矩阵，且R(B)＝R(A).此时，也称A与B合同.
证 因A′＝A，故B′＝（C′AC）′＝C′A′C＝C′AC＝B即B为对称矩阵.
又因为B＝C′AC，而C′与C均为可逆矩阵，故A与B等价，于是R（B）＝R（A）.
这定理说明经可逆变换x＝Cy后，二次型f的矩阵A变为对称矩阵C′AC，且二次型的秩不变.矩阵的合同关系与相似关系一样，都满足反身性，对称性，传递性.
要使二次型f经可逆变换x＝Cy变成标准型，这就是要使
也就是要使C′AC成为对角矩阵.因此，问题归结为：对于对称矩阵A，寻求可逆矩阵C，使C′AC为对角矩阵.由上节的定理8知，任给实对称矩阵A，总有正交矩阵T，使Ｔ－１AT＝
即T′AT＝为对角矩阵.把此结论应用于二次型，即有如下定理.
定理10 任给二次型f＝
，总有正交变换x＝Ty，使f化成标准型
其中
是f的矩阵A＝（aij）的特征值.
用正交变换把二次型化为标准型，这在理论上和实际应用上都是非常重要的，而此方法的具体步骤就是上节所介绍的化实对称矩阵为对角矩阵的三个步骤.
用正交变换化二次型为标准型，具有保持几何形状不变的优点.如果不限于用正交变换，那么还可有多种方法把二次型化成标准型.如配方法，初等变换法等等
一般地，任何二次型都可用上面两例的方法找到可逆变换化成标准型，且由定理9可知，标准型中所含有的项数就是二次型的秩.
我们知道化二次型为标准型就是寻求可逆矩阵C，使C′AC成为对角矩阵.这里A为二次型的矩阵，而任一可逆矩阵又可分解为若干初等矩阵之积.从而我们有
定理11 对实对称矩阵A，一定存在一系列初等矩阵E1,E2,…Es，使得
关于初等矩阵，易见
记
.则上述定理还表明：对A同时施行一系列同类的初等行、列变换，得到对角矩阵，而相应地将这一系列的初等列变换施加于单位阵，就得到变换矩阵C.其具体做法是将n阶单位阵E放在二次型的矩阵A的下面，形成一个2n×n矩阵.对此矩阵作相同的行、列变换，把A化成对角形的同时，把单位阵化成了可逆变换矩阵C，这就是初等变换法.
§5 正定二次型
上节我们用不同的方法，把一个二次型化为标准型.从例16和例18可知，化二次型为标准型时，可用不同的变换矩阵，且所得标准型也不相同.即二次型的标准型是不惟一的.但正如我们前面所说，二次型的秩是惟一的.在化标准型的过程中是不变的.即一个二次型的两个不同标准型中含有的非零平方项数是相同的，都等于二次型的秩.不仅如此，在实可逆变换下，标准型中正系数的个数是不变的(从而负系数的个数不变，正、负系数个数之差——符号差也不变).即有如下定理.
定理12(惯性定理) 设有二次型f＝x′Ａx，它的秩为r，有两个实的非退化线性变换x＝Ｃy，及x＝Ｐz，使
及
则
中正数的个数与
中正数的个数相同.
定义9 二次型f(x1, x2,…, xr)的标准型中，系数为正的平方项的个数p称为此二次型的正惯性指数，系数为负的平方项的个数r－p称为负惯性指数，s＝２p－r称为符号差.这里r为二次型f的秩.
比较常用的二次型是p＝n的情形.
定义10 设有二次型f（x）＝x′Ax，如果对任何x≠0，都有f（x）＞０（显然f（0）＝0），则称f为正定二次型，称A为正定矩阵；如果对任何x≠0，都有f（x）＜0，则称f为负定二次型，其矩阵A为负定矩阵.
定理13 f＝x′A x为正定二次型的充分必要条件是：它的正惯性指数等于n.
证 设可逆变换x＝Cy，使
f（x）＝f（Cy）＝
.
设ki＞０(i＝１，２，…，n)，任给x≠0，有y＝C－１x≠0，从而
f（x）＝f（Cy）＝
,
即f是正定二次型.
反之假设有某个s (1≤s≤n)，使ks≤0.则当y＝es时
f（Ces）= ks≤0.
这与f为正定相矛盾.故必有ki＞０(i＝１，２，…，n).
推论 对称矩阵A正定，当且仅当A的特征值全为正.
完全相似地，我们有二次型f为负定二次型当且仅当它的负惯性指数等于n，对称矩阵A为负定矩阵当且仅当它的所有特征值全为负.
下面我们不加证明的介绍判定矩阵正(负)定的一个充分必要条件，即
定理14 对称矩阵A正定，当且仅当A的各阶(顺序)主子式全为正，即：
对称矩阵A负定当且仅当A的奇数阶(顺序)主子式为负，偶数阶(顺序)主子式为正，即：
第六章 二 次 型
一、二次型及其矩阵表示
1、二次型的定义：以数域P中的数为系数，关于
的二次齐次多项式
称为数域
上的一个
元二次型，简称二次型。
2、二次型的矩阵表示
设阶对称矩阵
则元二次型可表示为下列矩阵形式：
其中
。对称矩阵
称为二次型的系数矩阵，简称为二次型的矩阵。矩阵的秩称为二次型
的秩。
二次型与非零对称矩阵一一对应。即，给定一个二次型，则确定了一个非零的对称矩阵作为其系数矩阵；反之，给定一个非零的对称矩阵，则确定了一个二次型以给定的对称矩阵为其系数矩阵。
3、线性变换
设和
为两组变量，关系式
其中
为实数域
(或复数域
)中的数，称为由到线性变换，简称线性变换。
线性变换的矩阵表示，设阶矩阵
，则从到线性变换可表示为下列矩阵形式：
，其中，
，称为线性变换的系数矩阵。
1) 当
时，线性变换称为非退化的线性变换。
2) 当是正交矩阵时，称为正交线性变换，简称正交变换。
3) 线性变换的乘法。
设
是由到的非退化的线性变换，而
是到
的非退化的线性变换，则由到的非退化的线性变换为：
。
二次型
经过非退化的线性变换化为
(其中
) 仍是一个二次型。
4、矩阵的合同关系：对于数域上的两个阶矩阵和
，如果存在可逆矩阵，使得则称和是合同的，记为
。
合同关系性质：
1) 反身性：
；
2) 对称性：，则
；
3) 传递性：，且
，则
。
5、二次型的标准形
1) 实数域(或复数域)上的任意一个二次型都可经过系数在实数域(或复数域)中的非退化线性变换化成平方和形式：
其中非零系数的个数唯一确定，等于该二次型的秩。上述形式的二次型称为二次型的标准形。
2) 任何对称矩阵都与一个对角矩阵合同。
3）复二次型的规范形：
任何复系数二次型都可经过复数域中的非退化线性变换化成如下最简形式平方和：
，其中唯一确定，等于该二次型的秩。上述形式的复二次型称为复二次型的规范形。
任何复数域C上的对称矩阵都合同于一个形如：
的对角矩阵，其中
的个数等于该矩阵的秩。
4）实二次型的规范形
任何实系数二次型都可经过实数域中的非退化线性变换化成如下最简形式平方和：
，其中
和唯一确定，为二次型的秩。上述形式的实二次型称为实二次型的规范形，(正平方项的个数)称为实二次型的正惯性指数，
(负平方项的个数)称为实二次型的负惯性指数，
称为实二次型的符号差。
任何实数域上的对称矩阵都合同于一个形如：
的对角矩阵，其中对角线上非零元素的个数等于矩阵的秩，的个数由对称矩阵唯一确定，称为它的正惯性指数。
6、利用正交变换化实二次型为标准形
设是阶实对称矩阵，按以下步骤进行：
① 解特征方程
，求出的全部特征值。
② 解齐次线性方程组
，求出基础解系，得到重特征值的个线性无关的特征向量。
③ 利用施密特正交化方法，使得属于重特征值的个线性无关向量组正交化，并使其单位化。
④ 将求得的个单位化正交特征向量组作为矩阵
的列向量，从而得到所需的正交矩阵。
⑤ 
为对角矩阵，其对角元素为的全部实特征值，它们在对角矩阵的排列顺序，与其特征向量在中的排列顺序一致。
对于二次型
，令
，将二次型化成如下形式平方和：
其中
为二次型的矩阵的全部特征值。
7、化二次型为标准形
数域上的任一个二次型都可经过非退化的线性替换
化为标准形，即：
。
二次型的标准形不是唯一的，而标准形中系数不为零和系数为正的平方项的个数都是唯一确定的。
化标准形的方法：
1) 配方法。
2) 初等变换法，其要点可简单表示为：
其中为二次形的矩阵，
为对角矩阵，其对角元素依次为
。注意，在初等变换过程中，作完一次列变换，紧接着作一次相应的行变换，这样一来，矩阵的对称性质始终保持不变。当化为对角矩阵的同时，即可得到由变量到的非退化线性变换系数矩阵。于是当作线性变换时，则可使二次型化为标准形。
3) 正交变换法：先按上一章利用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法求得，使为对角矩阵。由于为正交矩阵，
，所以同时使
为对角矩阵。于是令正交变换，则二次型
化为标准形
，其中为二次型的矩阵的全部特征值。
化规范形的方法：
1) 任一实二次型
都可经过非退化线性变换
，化为规范形，即
，称为二次型的正惯性指数，为二次型的负惯性指数。任一实二次型的规范形是由二次型的秩与正惯性指数唯一确定的。
2) 任一复二次型都可经过非退化线性变换，化为规范形，即：f
，任一复二次型的规范形是由其秩唯一确定的。
二、正定二次型和正定矩阵
1、基本概念
设实二次型，如果对于任意一组不全为零的实数
都有
(或<0，或≥0，或≤0，或符号不定)
则称二次型为正定的(或负定的，或半正定的，或半负定的，或不定的)。
用矩阵形式表示上述定义：
设为阶实对称矩阵，若对任意非零向量
，都有
(或<0，或≥0，或≤0，或符号不定) ，则称二次型为正定的(或负定的，或半正定的，或半负定的，或不定的)，其矩阵称为正定矩阵(或负定矩阵，或半正定矩阵，或半负定矩阵，或不定的矩阵)。
2、正定二次型的判定
1）二次型是正定的充分必要条件是其矩阵是正定矩阵。
2）元二次型是正定的充分必要条件是其正惯性指数为，即其规范形为
。
3）二次型是正定的充分必要条件是其矩阵的特征值全大于零。
4）元二次型是正定的充分必要条件是其顺序主子式全大于零，即：
。
5）实对称矩阵是正定的充分必要条件是与单位矩阵合同。
6）两个正定矩阵的和仍为正定矩阵。
III 题型归纳及思路提示
题型1 二次型对应的矩阵及相关性质
题型2 化二次型为标准形
题型3 已知二次型通过正交变换化为标准形，反求参数
题型4 有关二次型及其矩阵正定性的判定与证明
IV 本章小结
重点难点：1、用正交变换化二次型为标准形；
2、判断矩阵是否为正定矩阵及其性质的证明。
与前几章相比，本章考题出现的频率相对低一些，从内容上看主要有三个方面：1）二次型的标准形问题；
2）用正交变换化二次型为标准形正、反两方面的问题；
3）判断矩阵是否为正定矩阵及其性质的证明。
二次型考到的知识点多，涉及到行列式及矩阵运算、正交矩阵、正交化方法、基础解系、特征值及特征向量等方面，因此这里的题目综合性强。
