第1章、矩阵与行列式

1、 一个矩阵，总可经过初等行变换化为行阶梯矩阵或行最简形矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；对于同型矩阵、，若；

2、 行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；

③、非零行首个非0元素1(其列标严格随行标单调递增)所在列的其他元素必须为0；

3、 初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换)

①、若，则可逆，且；

②、对矩阵做初等行变换，如果：；则为矩阵方程的解；

③、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且；

4、 矩阵秩的基本性质：

①、；②、；③、若，则；

④、若、可逆，则（可逆矩阵不影响矩阵的秩）；

⑤、；⑥、；⑦、；

⑧、如果是矩阵，是矩阵，且，则：

       Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组解；Ⅱ、

⑨、若、均为阶方阵，则；

⑩、，中有阶子式不为0，阶子式全部为0；(两句话)

5、是阶可逆矩阵(是非奇异矩阵)(是满秩矩阵)

的行(列)向量组线性无关齐次方程组只有零解，总有唯一解

与等价可表示成若干个初等矩阵的乘积的特征值全不为0

6、 伴随矩阵：

①、伴随矩阵的秩：；②、伴随矩阵的特征值：；③、、

④、对于阶矩阵： 无条件恒成立；

7、       

8、 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，计算可用等号，求代数和；

9、 关于分块矩阵的重要结论，其中、等均可逆：

①、若，则：Ⅰ、；Ⅱ、；

②、；（主对角分块）③、；（副对角分块）

④、；⑤、；（拉普拉斯）

10、代数余子式的性质：

①、代数余子式和余子式的关系：

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

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1、行列式

行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；

代数余子式的性质：

①、和的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；

代数余子式和余子式的关系：

设行列式：

将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；

将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；

将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；

将主副角线翻转后，所得行列式为，则；

行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积；

③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；

④、和：副对角元素的乘积；

⑤、拉普拉斯展开式：、

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；

⑦、特征值；

对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；

证明的方法：

①、；

②、反证法；

③、构造齐次方程组，证明其有非零解；

④、利用秩，证明；

⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

是阶可逆矩阵：

（是非奇异矩阵）；

（是满秩矩阵）

的行（列）向量组线性无关；

齐次方程组有非零解；

，总有唯一解；

与等价；

可表示成若干个初等矩阵的乘积；

的特征值全不为0；

是正定矩阵；

的行（列）向量组是的一组基；

是中某两组基的过渡矩阵；

对于阶矩阵： 无条件恒成立；

矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：

若，则：

Ⅰ、；

Ⅱ、；

②、；（主对角分块）

③、；（副对角分块）

④、；（拉普拉斯）

⑤、；（拉普拉斯）

3、矩阵的初等变换与线性方程组

一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；

等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；

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线性代数公式

1、行列式

1.         行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；

2.         代数余子式的性质：

①、和的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；

3.         代数余子式和余子式的关系：

4.         设行列式：

将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；

将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；

将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；

将主副角线翻转后，所得行列式为，则；

5.         行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积；

③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；

④、和：副对角元素的乘积；

⑤、拉普拉斯展开式：、

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；

⑦、特征值；

6.         对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；

7.         证明的方法：

①、；

②、反证法；

③、构造齐次方程组，证明其有非零解；

④、利用秩，证明；

⑤、证明0是其特征值；

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线性代数

①A?B?B?A

②?A?B??C?A??B?C?

③c?A?B??cA?cB ?c?d?A?cA?dA ④c?dA???cd?A

⑤cA?0?c?0或A?0。 AT??T?A

T ?A?B??AT?BT

?cA?T

T?cAT。 ?? ?AB??BTAT

??n?n?1??21??Cn2?n?n?1? 2

D?a21A21?a22A22???a2nA2n T转置值不变A?A 逆值变A?1?1 A

?cnA

,?1??2,??,?1,??,?2,? A???1,?2,?3?，3阶矩阵

B???1,?2,?3?

A?B?A?B

A?B???1??1,?2??2,?3??3?

A?B?1??1,?2??2,?3??3 A?A0??AB 0B?B

E?i,j?c??1

有关乘法的基本运算

Cij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj

线性性质 ?A1?A2?B?A1B?A2B，

A?B1?B2??AB1?AB2

?cA?B?c?AB??A?cB?

结合律 ?AB?C?A?BC?

?AB??BTAT T

?AB

AA?A

Akklk?l ??l?Akl

k ?AB??AkBk不一定成立！

AE?A，EA?A

A?kE??kA，?kE?A?kA

AB?E?BA?E

与数的乘法的不同之处:?AB??AkBk不一定成立！ k

无交换律 因式分解障碍是交换性

一个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例如 A?2A?3E??A?3E??A?E? 2

无消去律（矩阵和矩阵相乘）

当AB?0时??A?0或B?0

由A?0和AB?0??B?0

由A?0时AB?AC??B?C（无左消去律）

特别的 设A可逆，则A有消去律。

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线性代数知识点总结

第一章            行列式

第一节：二阶与三阶行列式

把表达式称为所确定的二阶行列式，并记作，

即结果为一个数。（课本P1）

同理，把表达式称为由数表所确定的三阶行列式，记作。

即=

二三阶行列式的计算：对角线法则（课本P2，P3）

注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。

利用行列式计算二元方程组和三元方程组：

对二元方程组

设

则，（课本P2）

对三元方程组，

设，

，，，

则，，。（课本上没有）

注意：以上规律还能推广到n元线性方程组的求解上。

第二节：全排列及其逆序数

全排列：把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）。

n个不同的元素的所有排列的总数，通常用P_n (或A_n)表示。（课本P5）

逆序及逆序数：在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。

排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。（课本P5）

计算排列逆序数的方法：

方法一：分别计算出排在 前面比它大的数码之和即分别算出这n个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。

方法二：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。（课本上没有）

第三节：n阶行列式的定义

定义：n阶行列式等于所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积

的代数和，其中p₁ p₂ … p_n是1， 2， … ，n的一个排列，每一项的符号由其逆序数决定。也可简记为，其中为行列式D的（i，j元）。（课本P6）

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线性代数公式总结

行列式

1.         行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；

2.         代数余子式的性质：

①、和的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；

3.         代数余子式和余子式的关系：

4.         证明的方法：

①、；

②、反证法；

③、构造齐次方程组，证明其有非零解；

④、利用秩，证明；

⑤、证明0是其特征值；

矩阵

1.         是阶可逆矩阵：

（是非奇异矩阵）；

（是满秩矩阵）

的行（列）向量组线性无关；

齐次方程组有非零解；

，总有唯一解；

与等价；

可表示成若干个初等矩阵的乘积；

的特征值全不为0；

是正定矩阵；

2.         对于阶矩阵： 无条件恒成立；

3.        

4.         矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

5.         关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：

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1、行列式

1.         行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；

2.         代数余子式的性质：

①、和的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；

3.         代数余子式和余子式的关系：

4.         设行列式：

将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；

将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；

将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；

将主副角线翻转后，所得行列式为，则；

5.         行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积；

③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；

④、和：副对角元素的乘积；

⑤、拉普拉斯展开式：、

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；

⑦、特征值；

6.         对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；

7.         证明的方法：

①、；

②、反证法；

③、构造齐次方程组，证明其有非零解；

④、利用秩，证明；

⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

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