数学教学中学生反思能力的培养

摘要：培养学生的反思能力旨在用控制论的原理剖析课堂信息交流的规律，促使学生多层次、多侧面地分析和解决问题。通过渗透数学审美观点，激发学生的反思意识，而具有反思性的课堂教学是培养学生反思能力的主渠道；开展研究性学习，建立反思小档案都是培养其反思能力的有效途径。

关键词：反思能力 激发 培养 开展 建立

反思能力是指自觉地对数学的认知活动进行考察、分析、总结、评价、反馈，控制和调节的能力。这种能力主要分为两大部分：一是认知过程中的自我监控能力，二是自我调节能力。培养学生的反思能力旨在用控制论原理剖析课堂信息交流的规律。荷兰著名数学家费赖·登塔尔指出：反思是数学活动的核心和动力。英国数学教育心理学家斯根普在《学习数学的心理学》一书中指出，在进行数学思考活动时，尽管有些结论和方法是显而易见的，但思维不能就此而止，还需要做进一步的逻辑分析，加以确认和证明。培养学生的反思能力可以促使他们从新的角度、多层次、多侧面地对问题及解决问题的思维过程进行全面的考虑、分析于思考，从而深化对问题的理解，揭示问题的本质，探索出问题的一般规律。反思能力具备如下的特征：

（1）独立性：反思能力表现为善于独立思考问题，不盲从，不迷信，不唯上，并且能善于提出问题，进而发表自己的独到的见解的能力。

（2）批判性：反思能力的实质是批判性思维，习惯于反复深入地思考问题，知识结构会更完善，更牢固，思考会更开阔，更灵活，见解会更深刻，更新颖。

（3）习惯性：反思能力需要长期、持续的逐渐培养，更重视对知识形成过程的反思，因而对思维进程具有方向和策略的控制作用。

一、     培养学生反思能力的重要性和必要性  

数学教学之中之所以要培养学生的反思能力是为了改进学生的学习方法，这实质上是向更合理的学习实践努力迈进。倡导反思是提高学生学习效率的有效途径之一，从而更快地提高学生的元认知能力和水平，从根本上保证学生真正成为学习的主人。

反思是思考和探索，是探究整个数学学习过程中的读、听、讲、写、用等各个环节中存在的问题。旨在用控制论的原理剖析课堂信息交流的规律，引导学生反思自身的学习现状和学习方式，不断的发现问题和解决问题，从而培养学生勇于探索、勇于创新的精神。

二、     培养学生反思能力的目标

培养学生的反思能力的总的目标是培养学生成为学习的主人，发挥学生在学习中的主体作用，具备目标是：

（1）理念层面目标：学生形成反思意识，树立在批判中学习的理念。

（2）技术层面目标：学生学会发现学习中的问题，分析问题，解决问题并及时评价纠正等。

（3）实践层面目标：学生学会与同学合作、交流、与教师讨论，对纠错后的知识、方法掌握等。

三、     培养学生反思能力的途径和方法

1．渗透数学的审美观点，激发学生的反思意识。

哲学数学家罗素写道：“数学如果正确看待它，不但拥有真理，而且也具有至高无上的美”。数学美经常表现于数学对象的外表，如美妙的曲线和对称的方程等。数学是一门艺术，数学美也深深蕴藏在它的基本结构之中。我们在数学教学中经常向学生揭示内在美、对称美、和谐美、奇异美、简单美、统一美和类比美。

例如在“椭圆的定义和标准方程”的教学中，就应始终抓住椭圆具有的和谐、对称美的基本特征，让学生在美的追求中将其组织成为具有美学结构，从而促使学生在积极思维于兴奋状态中完成学习任务的教学过程。下面是化简过程的教学设计：

由定义得|MF1|+|MF2|=2a，又由距离公式知  （1）

教师：方程（1）能不能作为椭圆的方程？（稍后）可以！追问：这个形式你满意吗？（稍后）不满意！因为它不符合数学美的简洁性特征，有继续化简的必要。

学生：（此时求简的意识油然而生）经两次平方（根据化简的常规方法）整理得：

教师：此方程虽比（1）简单多了，但是从椭圆的对称性，我们期望它的方程也应具有对称性，你能根据的正负特点做出变换吗？在教师的诱导下，学生轻松地设想下列方法：

学生：设则，即为椭圆的标准方程。

教师给学生及时的赞扬，最后指出引进字母纯粹是由于对美的追求，让学生体会到数学原来也是妙趣横生，充满了美的音符，从而激发学生对数学的兴趣，使学生带着一种高涨的激动情绪从事学习和思维，这样反思才能成为自觉的行为。

2．反思性的教和学的课堂教学是培养学生反思能力的主渠道

培养学生的反思能力和反思解题的途径是建构主义指导下数学课的重要组成部分，英国著名的思维教育专家德·波诺指出：“学校课本上的问题通常是封闭型的，也就是说，都有一个确定的答案，而且给出了所有的已知信息。实际生活中的问题却往往是开放的，没有确定的答案，还缺少很多信息。”为此教师应摒弃传统的“三中心”为主的教育模式，可采用开放的探究性教学模式。教师要引导学生在观察中反思，在矛盾中反思，在自主学习中反思。

2.1创设意境，诱导反思

教师要转变教学观念，形成开放的心态和自我反思的意识，敢于并勇于把主权教给学生，营造一个宽松和谐的教学环境，发扬民主教学，对于学生的大胆设想给予充分的肯定，合理成分给予及时鼓励。抓住学生思维中萌发的反思欲望，让其体会反思带来的喜悦。让学生感受到自己是一个思考者、发现者、探求者和成功者。教师应针对数学问题的不同类型，采取不同的策略，诱导学生提出问题，可以通过观察、类比、想象等，提出猜想型问题。例如在高一新教材第五章“平面向量”中，两向量的数量积是陌生的全新的知识点，学生对其理解和掌握都有一定的困难。在学习有关的概念、性质和运算律后，可提出以下问题引导学生反思：

通过学生辨析和判断，加深了学生对这部分知识的理解，深化了学生的认知结构。教师还应该重视引导学生对相似概念、公式、定理之间的不同结构与本质区别的反思。

2.2精选例题，探究反思

例题教学是一节必不可少的一个环节，对于某些例题，教师可适当改变叙述方式，从而给学生留下充分的思考空间。应引导学生对题中的信息进行整合，以寻求破题点，运用有关知识组块和形象直感对当前的问题进行敏锐的分析、推理类比，并能迅速发现解决问题的方向或途径。得出答案之时并不意味着思维活动的结束，而是深入认识的开始。总之教师要让学生认识简洁灵活的解题方法是通过反思而发现的，同化、迁移和创新能力是在反思过程中形成的。所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，应引导学生从解决问题的思路、方法、规律等方面进行多角度、多方位的观察反思，不断总结，从而提高解题能力。

例1、            求函数的最值。

解：当x＞0时，，当时取等号，故

当x＜0时，，当时去等号，故

[借题发挥]此题比较简单，利用均值不等式求解学生基本都会，该题同时也体现了分类讨论的思想。若就此搁笔浅尝则止，没有真正体现此题的价值，没有挖掘其深层次的内涵，故引导学生不妨就此题的结构特点、解题规律和方法的典型性与可行性等方面进行反思、探讨、从而达到横向拓宽和纵向延伸之境界。

反思一、具备怎样特征的表达式可以化为此类结构式？

（1）   （2） （3）

（4）  （5）

（6）

反思二、具备此结构特点的表达式一定能用均值不等式求解吗？反思其解题方法。

（1）  （2） 

（3）

以上利用均值不等式求解不可行，因为等号取不到，只能改为利用函数的单调性求解，利用导数求出函数的单调增（减）区间。（解题略）

反思三、由此及彼，若将结构式中的“+”改为“-”解题方法又如何？能否推广到一般情形？

（1）均值不等式不适用，可用函数单调性求解

（2）

通过对本题解题过程的反思，引导学生总结出如下解题规律：

（Ⅰ）当ab＞0时，首选均值不等式求最值，若等号取不到则改为函数单调性求解。（a＞0,b＞0其图象如图1所示）

    ( 图1)

（Ⅱ）当ab＜0时，利用函数单调性求解。（a＞0,b＜0如图2；a＜0,b＞0如图3所示）

通过创设问题情境，巧妙地设障立疑,引起学生反思，对题进行多方面加工与整合，使学生思维从单一性向多维性发展，真正做到举一反三、触类旁通;同时也培养了学生思维的广阔性和发散性。

结合上例我们不难得出解题反思过程的图示：

反思是各个连续的部分相辅相成、来往有序的一系列知识链条。通过反思让学生了解思维过程是怎样产生的，怎样由此及彼相互联系的，从而更好地指导学生有效的思维。对解题后的反思，不难发现高中的每个知识点几乎都可以形成或大或小的板块，这样在看到有关条件或遇到某种熟悉的结构时就可以实行“网络化”，大大加速了思维的过程。

3、建立反思小档案，养成反思的习惯

人最有价值的行为和语言往往是自省和反思，而数学思维本身就是一种反思性思维，力求从最少的问题中发现最多的规律，受到最好的启发，得到最佳的学习效果。首先让班级同学准备一本学习记录册和错题集，要求学生做好课前预习的工作，写下下节课的教学内容和预习中遇到的困难，记下不明白之处。同时要求写下学习心得、个人反思，不断重温当天、当周、当月所学的知识。做到对知识进行分阶段的大搜索、大盘点，以求达到不断寻求建构知识的目的。其次要求学生把作业、练习卷、测试卷中的较典型的、易混淆的题记到错题本中，而后进行两个层次的反思。第一层次：找出错在哪里？为什么出错？是知识性错误，还是粗心、计算等其他原因导致错误？怎样才能避免错误？另外可让学生对同一类型的错题做上标记，以便下一次翻阅。第二层次反思：鼓励学生在整理错题时，利用知识点是一环扣一环，层层拓展开去的特点，可写下当初解此题时的心路历程，不断地剖析自己、责问自己、对学习行为做出自我评价，并在批判的基础上对知识进行解构与重组，以便对思维进程具有更好的方向和策略的调控作用。事实上整理错题的过程又是一次深刻理解、巩固知识的学习过程。以下是摘自一位学生的错题集中的题。

例2、椭圆的焦点为F1 ，F2 ，点 p为其上的动点，当∠F1PF2 为钝角时点p的横坐标的取值范围是

错因：（1）用余弦定理cos∠F1PF2＜0求解时计算错误，因为在考试时心态浮躁，只求速度计算不仔细；（2）没有想到用极限思想先求90°的情形。

对策：要在平时的学习过程中尽量改掉有了思路就不太愿意具体计算的毛病，另外解题速度也有待提高。

心得：平时要养成一题多思和一题多变的学习习惯，要学会象老师那样对题进行一些加工和引申，这样在考试时才能运筹帷幄。

变题：（1）椭圆的焦点为F1 ，F2 ，点 p为其上的动点，当∠F1PF2 为锐角时点p的横坐标的取值范围是      。

（2）若椭圆的焦点为F1 ，F2 ，点 p为其上的动点，当∠F1PF2 为锐角时点p的横坐标的取值范围是    。（不会）

该学生带着疑问来寻求答案，教师应对学生提出的问题给予高度的评价，让学生感受到自己是一个思考者，发现者、探求者和成功者，并在课堂上以此为范例与同学们一起探讨解决。

当反思成为学习生活中必不可少的一个重要环节时，当真正养成反思习惯时，这种力量定能使人厚积薄发，获得成功。那些喜欢反思并在此基础上提高自己的学生才能真正成为学习的主人。那些学会反思的人，才能不断超越自我、完善自我。天天反思，天天出新，天天有一个新的自我，天天就会有新的收获。

4、开展研究性学习是培养学生反思能力的沃土

研究性学习是课堂教学的延伸与发展，是一个寻找知识的“生长点“的绝佳时期。学生从现实生活和学习实践中透视数学问题，互相交流，互相切磋，互相启发，构建数学模型，通过反思这一纽带把以往所获得的知识进行归并、删节、提取、整理。同时在整个研究学习的过程中会暴露学习的一些弱点，要不失时机地引导学生对自我的学习态度、方法、计划进行反思，从中“吸取精华，剔除糟粕”，以致最大限度得激发学生的潜能。同时有助于培养学生坚忍不拔、奋发有为的人格品质和不断追求新知识的学习态度。

四、它山之石，可以攻玉

无论是学校组织的专家、学者的专题讲座或学术报告，还是优秀的在校生或毕业生的成功经验介绍会，以及通过报刊杂志、网络、广播电视等多方渠道为学生搜集相关信息资料等等。这些都是别人多年潜心探索的结晶，因而要让学生抓住每一个学习机会，在扼腕叹息时仔细观察，细心体会，积极思考，用心揣摩，反复推敲，探其精微，寻其奥妙，找出自己的差距，然后博采众长，不断充实和提高自我。切忌抱消极心态和逆反心理，拒先进经验于千里之外。平时要引导学生不要封闭自我，不要与同学相互保密，“老死不相往来”，而应积极主动地与同学密切合作，坦诚交流，取长补短，创建一个富有团结性和发展性的学习“共同体”，随时随地的相互学习，相互“碰撞”，相互鞭策，学习也就有了方向，有了信心，有了力量，从而共同成长。

五、评价中反思自我

如今各行各业都倡导科学合理、灵活多样、富有实效的评价方式，因此对学生学习的评价应主意多种评价相结合，如采取自评与互评、形成性评价与终结性评价、成长记录评价与课堂观察、激励评价，课后访谈与实践活动、定量与定性等形式相结合。改变过去那种在期末“算总帐”的方式，改变单纯由教师评价学生的方式，倡导管理者、教师、学生、家长共同参与的多主体评价。无论那种评价，都是对学生学习活动的一种反馈，有利于学生在学习活动“坐标”中找到自己的位置，能为学生的反思提供较为客观的信息。由于各种原因人们往往会“当局者迷”，因此要引导学生正确对待各种评价，将其看作是自己准确了解自身优势、不足和进步情况的大好机会；要分析自己进步和不足的各种原因，以获得成就感，增强自信；重新制定学习目标、学习计划，改进学习方式、方法，促使学生在不断的反思中提高自我，发展自我。

总之，在数学教学中培养学生的反思能力是新世纪将数学教育改革推向深入的一个新举措，是我们数学教育工作者面临的一个新的课题，如何培养学生的反思能力，是一个从理论到实践都需要认真研究的课题，需要我们在教学实践中不断探索和完善。

参考文献：

1．         罗增儒·“圆满答案”的反思，“教学价值”的拓延 中学数学，2003，6

2．         林 婷·反思及其教学功效　 数学教学通讯 2002，11

3．         任璋辉· 数学思维论 　广西教育出版社。1994

4．      《高中数学教与学》20##年第5期

第二篇：数学教学中学生反思能力的培养

数学教学中学生反思能力的培养途径探索

摘  要：新课程改革特别重视学生反思能力的培养，反思的实质在于“发现问题”和“解决问题”． 在数学教学中要使学生体验到学习策略和方法的不同，对于数学反思能力的培养，本文通过一些策略途径来不断培养学生的反思能力，从而提高学习效率，发展学生的数学能力．

关键词：数学教学；反思能力；培养途径

杜威认为反思活动是：“一种得以产生思维活动的怀疑、犹豫、困惑、心灵困难的状态，和一种为了发现解决这种怀疑，消除和清除这种困惑而进行的探索、搜集和探究的行为．” 新课程改革特别重视学生反思能力的培养，因为反思能引起主体内心的冲突，动摇主体已有认知结构的平衡，从而唤起思维，激发内驱力，使学生进入问题探索者的角色，实现由“学习者”到“研究者”的转变． 在数学教学中要帮助学生明确反思的目的和意义，使学生体验到学习策略和方法不同，其学习效果就不一样，通过一些策略途径可以不断培养学生的反思能力．

尝试错误，激发反思

学生在解决问题的过程中，由于各种原因，常常会出现错误，而且错误的原因比较隐蔽，这时教师的点拨应充分暴露失误的原因，让学生从中获得反思的对象信息，在反思中弥补知识上的不足和思维上的缺陷．

例如，不等式（x－6）≥0的解集是_________．

大部分学生做这道填空题得到答案为｛xx≥6｝，面对学生错误的答案，可通过提问创设反思情景：一是能否直接给不等式（x－6）≥0的两边同时除以根式：二是有没有注意到的特殊情形？在反思中学生发现失误的原因：①在解方程或不等式时，不能随便给方程或不等式的两边除以或乘以含有未知数的代数式，也就是说方程或不等式的同解变形这一基本问题没有弄清楚；②忽视了可以等于零的这一特殊性，未从真正意义上对加以理解从而导致失误． 经过反思后学生解得正确答案｛xx≥6或x=2｝．

吃一堑，长一智． 通过反思，可以发现知识或思维方法上的薄弱环节，可以找出错误的根源所在． 从某种意义上说，学生的思维品质可以在尝试错误后的反思过程中得到优化．

?摇

设计变式，诱导反思

“变中求同”、“同中求异”的变式问题的解决有助于数学知识的灵活迁移． 教学中要倡导一题多变、一题多解、多题一解的变式训练，精心创设应该符合学生认知规律，能激发学生求知热情的由浅入深、多层次、多变化的问题情景，启发探究，诱导反思． 在变式训练中反思什么？应该反思探究各种变式所共有的本质要素，揭示问题的条件与结论之间的内在联系及其隐含较深的知识规律． 例如，在教学“二次函数的最值问题（轴不定区间定）”时可设计如下变式问题情景，启发探究，诱导反思．

问题1：求二次函数f（x）=x2+2ax+1在区间［－1，2］上的最小值．

变式1：问题1中，把结论改为：求最大值，此时按什么标准分类？分几类？

变式2：问题1中，把结论改为：求最大值与最小值． 此时又如何解决呢？

方法1：分解为两个问题，分别用求最大值与求最小值的方法求解．

方法2：直接分类． 应按什么标准分类？分几类？

反思：前面三种最值问题的共同解题方法是什么？运用此法要遵循什么原则？它们各按什么标准分类？分几类？

变式3：问题2：求二次函数f（x）= －x2+2ax+1在区间［－1，2］上的最小值．

变式4：问题2中，把结论改为：求最大值，此时按什么标准分类？分几类？

变式5：问题2中，把结论改为：求最大值与最小值．

反思：变式3、4、5中的三种最值问题的共同解题方法是什么？运用此法要遵循什么原则？它们各按什么标准分类？分几类？与前面三种最值问题又有什么区别和联系？

通过变式问题的解决与反思，使学生悟出解决二次函数的最值问题（轴不定区间定）的思路、方法、步骤，从而很好地掌握解决这类问题的方法和规律．

解题训练，引导反思

在数学教学中，教师不仅要创设学生主动参与学习的问题情景，而且还要引导他们经常反思自己的认知过程，把自己正在进行的认知活动作为意识对象，不断地、积极地对其实施监视、控制和调剂． 并逐渐使这种反思成为学生自觉的学习习惯，从中体验和认识有关学习的策略和方法． 例如，在解决复杂的数学问题时，对问题的反思可以从以下两个方面入手：一是审题过程的反思．即在审题过程中自己是否很好地理解了题意，是否弄清楚了问题的条件与结论之间的内在联系． 引导学生反问自己：见过这个问题吗？见过与其类似的问题吗？此问题与以前问题的设问、条件是否相同？解决此问题题目中哪些是有用的信息？还需要哪些知识？能否将此问题转化成一个更简单、更容易的问题？一个更普遍、更特殊的问题？这些提问实际上起到了激活指向于一类特定事实的注意策略． 如果学生能给自己这样的一些反思性提问，则表明他们正在使用某种控制过程来引导自己的学习． 二是解题思想方法的反思．笛卡儿指出：最有价值的知识是关于方法的知识，学科思想方法是解决学科问题的灵魂． 要在实践中不断反思体验解决数学问题的一些基本方法，进行有效的总结和提炼，将特殊中蕴涵的一般思维方法揭示出来． 解题之后可引导学生作如下反思：解题所使用的方法有没有广泛的应用价值？如果适当改变问题的条件或结论，问题将会如何改变？有什么规律？本次使用的方法以前是否用过？这些思想方法常用于哪类问题的探究？在教师的点拨下，学生通过对典型问题的分析和求解，悟出解决这类问题的思路、方法、步骤和技巧，从而掌握解决这类问题的方法和规律．

优化过程，全面反思

解决问题之后，应重视知识的概括和提炼，反思探究知识的纵横联系，归纳出有更高抽象、概括和包容水平的观念，融会贯通并有序存储，形成活动的知识组块，优化认知结构，从而使反思活动进行得越全面、越及时、越深刻． 因此应注意优化整个学习过程，引导学生全面反思学习的各个环节（预习、上课、作业、复习及学习评价）以及反思影响学习的非智力因素． 例如上课听不懂的内容是因为太难，还是因为没有认真听讲或其他原因，课前是否预习． 对于作业中的错误要分析原因，寻找根源，在错误的地方简单写上一两句今后应该注意的问题并进行订正． 要引导学生说出自己思考问题的思路和策略，说出最深切的内心体验，对说出的错误，引导学生主动进行分析与思考． 非智力因素对学习活动也有重要的影响，要引导学生通过对学习兴趣、学习动机、学习态度、学习意志的分析与评价，让学生反思自己存在哪些影响学习的非智力因素． 这些措施都十分有利于学生自我监控能力的发展，有利于全面提高学生学习的积极性与主动性．

反思只是手段，而且它的实质在于“发现问题”和“解决问题”，反思是在学生思维过程中的一个明显段落点或对一个问题的思维结果进行科学慎重的批评性的回顾、分析和检查． 在这种意义上，反思不是越多越好，而是恰到好处才好，反思的程度应以解决问题为标准． 总之，数学反思能力的培养，要与数学能力（思维能力、空间想象能力、解决实际问题的能力等）的培养有机结合起来，两者相互配合协调发展，才能提高数学学习的效率，取得好的学习效果．