等比数列知识点总结及题型归纳

1、等比数列的定义：，称为公比

2、通项公式：

，首项：；公比：

推广：

3、等比中项：

（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项，即：或

注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（

（2）数列是等比数列

4、等比数列的前项和公式：

（1）当时，

（2）当时，

（为常数）

5、等比数列的判定方法：

（1）用定义：对任意的，都有为等比数列

（2）等比中项：为等比数列

（3）通项公式：为等比数列

6、等比数列的证明方法：

依据定义：若或为等比数列

7、等比数列的性质：

（2）对任何，在等比数列中，有。

（3）若，则。特别的，当时，得         注：

（4）数列，为等比数列，则数列，，，，（为非零常数）均为等比数列。

（5）数列为等比数列，每隔项取出一项仍为等比数列

（6）如果是各项均为正数的等比数列，则数列是等差数列

（7）若为等比数列，则数列，，，成等比数列

（8）若为等比数列，则数列，，成等比数列

（9）①当时， 

②当时，

③当时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）；

④当时,该数列为摆动数列.

（10）在等比数列中，当项数为时，

二、 考点分析

考点一：等比数列定义的应用

1、数列满足，，则_________．

2、在数列中，若，，则该数列的通项______________．

考点二：等比中项的应用

1、已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则（     ）

A．                 B．                  C．              D．

2、若、、成等比数列，则函数的图象与轴交点的个数为（    ）

A．               B．                   C．            D．不确定

3、已知数列为等比数列，，，求的通项公式．

考点三：等比数列及其前n项和的基本运算

1、若公比为的等比数列的首项为，末项为，则这个数列的项数是（    ）

A．                 B．                  C．                 D．

2、已知等比数列中，，，则该数列的通项_________________．

3、若为等比数列，且，则公比________．

4、设，，，成等比数列，其公比为，则的值为（    ）

A．            B．                C．                D．

考点四：等比数列及其前n项和性质的应用

1、在等比数列中，如果，，那么为（    ）

A．                 B．                 C．                D．

2、如果，，，，成等比数列，那么（    ）

A．，                 B．，

C．，                   D．，

3、在等比数列中，，，则等于（    ）

A．             B．         C．            D．

4、在等比数列中，，，则等于（    ）

A．               B．               C．               D．

5、在等比数列中，和是二次方程的两个根，则的值为（   ）

A．             B．            C．          D．

6、若是等比数列，且，若，那么的值等于          

考点五：公式的应用

1．等比数列前n项和S_n=2ⁿ-1，则前n项的平方和为(    )

A.(2ⁿ-1)²              B.(2ⁿ-1)²              C.4ⁿ-1              D.(4ⁿ-1)

2. 设等比数列{a_n}的前n项和为S_n=3ⁿ+r，那么r的值为______________.

3．设数列{a_n}的前n项和为S_n且S₁=3，若对任意的n∈N^*都有S_n=2a_n-3n.

(1)求数列{a_n}的首项及递推关系式a_n+1=f(a_n);

(2)求{a_n}的通项公式;

(3)求数列{a_n}的前n项和S_n.

第二篇：高中数学知识点总结_等差、等比数列

要点重温之等差、等比数列

1．公差不为0的等差数列的通项是关于n的一次函数，一次项系数是公差；前n项和是关于n的二次函数，二次项系数是公差之半且常数项为0；即等差数列{}中，=+（为公差，∈），（∈）。证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：a_n-a_n-1=常数(=常数) （，也可以证明连续三项成等差（比）数列。

[举例] {}、{}都是各项为正的数列，对任意的，都有、、成等差数列，、、成等比数列.试问{}是否为等差数列，为什么？

解析：由=得=，于是=（，又2=+，

∴2=+（，即2=+（，∴数列{}是等差数列。

注意：当用定义证明等差（比）数列受阻时，别忘了这“一招”！上述思路的关键是由“=”到“=（”的过渡，即所谓“升降标”，这也是处理数列问题的一个通法。

[巩固]已知等差数列的前项和为，且，则过两点

、的直线的斜率为：

(A)4   (B)3   (C) 2   (D)1

C．最多有2项等于零                  D．可有2项以上等于零

2. 等差数列{a_n}中，m+n=p+q，则a_m+a_n=a_p+a_q，等比数列{a_n}中，m+n=p+q，则a_ma_n=a_p·a_q（m、n、p、q∈）；等差（等比）数列中简化运算的技巧多源于这条性质。

[举例1]在等差数列中，为常数，则其前（　　）项和也为常数

　 （A）6　　（B）7　　（C）11　　　（D）12　　　　       

解析：等差数列的前k项和为常数即为常数，而=3为常数，

∴2= 为常数，即前11项和为常数，选C。注意：千万不要以为=

=，那就大错特错了！所谓“下标和相等则对应项的和相等”，是指两项和等于两项和，三项和等于三项和……。等差数列中“n项和”与“两项和（转化为a₁+a_n）”有关，某一项或某几项和均需转化为“两项和”才能与“n项和”联系起来。

[举例2]等比数列{}中，a₄+a₆=3，则a₅（a₃+2a₅+a₇）=         

解析：a₅（a₃+2a₅+a₇）=a₅a₃+2a₅²+a₅a₇=a₄²+2a₄a₆+a₆²=(a₄+a₆)²=9

[巩固] 在正项的等差数列{}和正项的等比数列{}中，有，，试比较与的大小。

[迁移] 等比数列{}中，、是方程（）的两根，则=   

若把条件中的“”换成“”呢？若把条件中的“、”换成“、”

呢？

 [提高] 在等差数列中，前n项之和为,已知S₅=25,S_n=64,S_n-5=9,则 n=_____

3．等差数列前n项和、次n项和、再后n项和（即连续相等项的和）仍成等差数列；等比数列前n项和（和不为0）、次n项和、再后n项和仍成等比数列。

[举例1]在等比数列中，S₂ =40，S₄ =60，则S₆等于              (     )

   A  10            B  70                C  80            D  90

解析：在等比数列中，第一个两项和为40，第二个两项和为20（注意：S₄是前4项和，不是两项和），则第三个两项和为10，S₆为三个两项和相加，选B。

[举例2] 在等差数列中，前n项之和为,已知S₃=4，S₁₈-S₁₅=12，则S₁₈=       

解析：在等差数列中，第一个三项和为4，第六个三项和为12，S₁₈即首项为4，末项为12的等差数列的6项和，为48。

[巩固]在等差数列{a_n}中,其前n项和为S_n,已知S₅=2-b,S₁₀=4-b,则S₁₅=_________

4. 等差数列当首项a₁>0且公差d<0，前n项和存在最大值。利用不等式组：

确定n值，即可求得S_n的最大值。等差数列当首项a₁<0且公差d>0时，前n项和存在最小值。 类似地确定n值，即可求得s_n的最小值；也可视s_n为关于n的二次函数，通过配方求最值；还可以利用二次函数的图象来求。

[举例] 设等差数列满足3 a₈=5a₁₃，且a₁>0，则的前__________项和最大

解析：思路一：由3 a₈=5a₁₃得：d=a₁,若前n项和最大，则，

又a₁>0得：，∴n=20,即的前20项和最大。这一做法最通行。

思路二：S_n=na₁+n(n-1)d=na₁- n(n-1)a₁=-a₁(n²-40n),当且仅当n=20时S_n最大。这一做法突显了数列的函数特征。思路三：由3 a₈=5a₁₃得15a₈=25a₁₃,即S₁₅=S₂₅,又∵a₁>0，

∴S_n的图象是开口向下的抛物线上的点列，对称轴恰为n=20，故n=20时S_n最大。这一做法中几乎没有运算，但设计太过“精妙”，非对等差数列的性质融会贯通而不能为，仅供欣赏。

[巩固] 数列是等差数列，是其前n项和，且S₅＜S₆，S₆=S₇>S₈，则下列结论错误的是：A.d ＜0   B.a₇=0   C.S₉>S₅    D. S₆ ,S₇均为的最大值   （    ）

[迁移] 在等差数列则在前n项和S_n中最大的负数为

       A．S₁₆       B．S₁₇        C．S₁₈        D．S₁₉            （     ）  

5.注意：等比数列求和公式是一个分段函数        na₁            (q=1)

                                        Sn=   

则涉及到等比数列求和时若公比不是具体数值须分类讨论解题。

[举例]已知等比数列的公比为q，前n项和为S_n，且S₃ ，S₉ ，S₆ 成等差数列，求q³的值。

解析：不可直接用等比数列的求和公式，需讨论：若q=1，S₃=3a₁ ，S₉=9a₁，S₆=6a₁,则有：

18a₁=3a₁+6a₁, 则a₁=0, 与是等比数列矛盾，∴q≠1，于是有：

，化简得：，∴。

本题还可以用：第一个三项和、第二个三项和、第三个三项和成等比数列解决，留读者自己完成。

[巩固]已知a_n=1+r+r²+r³+…r^n-1，则数列的前n项和=______________

6.解等差（比）数列有关通项、求和问题时别忘了“基本元”，即把问题转化为首项a₁，公差d（或公比q）的方程（组）或不等式（组）去处理。已知等差或等比数列中的任两项也可用 a_m-a_n=(m-n)d，或=q^m-n。

[举例1] 等差数列的前n项和S_n，若S₃=9，S₁₃=26求S₂₃的值。

解析：用求和公式解方程组，求出a₁,d,再代入求和公式中求S₂₃，这是通法。也可简化为：

S₃=3a₂=9a₂=3，S₁₃=13a₇=26a₇=2, ∴a₁₂= 1(a₂、a₇、a₁₂成等差数列)，S₂₃=23a₁₂=23。

[举例2]已知等差数列{a_n}中，a₃与a₅的等差中项等于2，又a₄与a₆的等比中项等于6，则a₁₀等于  (A) 54     (B) 50     (C) 26     (D) 16

解析：a₃与a₅的等差中项等于2，即a₄=2；a₄与a₆的等比中项等于6，即a₆=18；于是2d=16,

a₁₀= a₆+4d=50,选B。

[巩固]]已知等差数列｛a_n｝的首项a₁=120，公差d=－4，若S_n≤a_n(n>1)，则n的最小值为                                              

（A）61　　　　 （B）62　　　 （C）63　　　 　（D）70

[迁移]等差数列{a_n}中若a_m=n，a_n=m且m≠n求证：a_m+n=0；

简答

1. [巩固]C，[迁移]视S_n为关于n的二次函数，其图象是经过原点的抛物线上的点，故选B，2. [巩固]==≥=，

[迁移]等比数列中奇数项的符号相同，偶数项的符号也相同；- ，，± ，

[提高] S_n-S_n-5=a_n+a_n-1+a_n-2+a_n-3+a_n-4=55,与a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=25两式相加得5（a₁+a_n）=80,得n=8，3.[巩固]6；

4. [巩固] C, [迁移]B，5. [举例]-，[巩固]

6. [巩固]B，