必修⑤ 第二章 数列 知识总结 （ 2015-2-22）

一、等差数列

1．等差数列定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项；数列可以看作一个定义域为正整数集N(或它的有限子集{1,2,,n}的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.它的图像是一群孤立的点. 它具有如下特征：

?

Sn?S?

?(n?1)?a1 联想：?n? 是以a1为首项,为公差的等差数列

n2?n?

Sa?ana1?a2??an④n?1 联想：算术平均数 ?③4．等差中项

若 a, b, c成等差数列，则b 称a与c的等差中项，且b?． 5．重要性质(等差数列?an?中)

?

2

an?1?an?d, 或an?2?an?1?an?1?an(n?N?)

注意：（1）证明数列{an} 是等差数列的五种基本方法（③④⑤大多用在客观题上）：

①利用定义：证明an?1?an?d（ 常数 ）

②利用中项性质：证明2an?an?1?an?2(n?N?)

③通项公式法：an?pn?q（p、q为常数）?{an}为等差数列 ④前n项和公式法：Sn?An2?Bn（A、B为常数）?{an}为等差数列 （2）证明数列?an?不是等差数列的常用方法：找反例.(如验证前三项不成等差数列) . （3）若an?1?an?n,a1?a,n?N?，则{an}不是等差数列,求an可用累加法 an?(an?a?n1)?(a?n1?a?n2)?2．通项公式及其变式

⑤{an}成等比数列且an?0?{lgan}为等差数列

（1）对称性质：若m+n=p+q (m.、n、p、q?N), 则am?an?ap?aq；

特别地：当 m+n=2p时am?an?2ap; (2）若d为{an}的公差，则其子数列ak,ak?m,ak?2m,为md；

（3）片段和性质：Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,?也成等差数列，且公差为md； （4）若?an?,?bn?都是等差数列,则?kan?,?kan?p?,?kan?pbn?都为等差数列；

2

,也成等差数列，且公差

?(a?a,n 2.21)?a1≥

S奇a

?n；S2n?n(an?an?1); S偶an?1

S*

若项数为2n-1 (n?N) 则S奇?S偶?an；奇?；S2n?1?(2n?1)an.

偶（5）若项数为2n (n) 则S偶?S奇?nd；

评注:有限等差数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定.若总项数为偶数，则“偶数项和”－“奇数项和”＝总项数的一半

6．常用结论、技巧，减少运算量（注意对称设元，整体消参，设而不求） （1）设元技巧：如三个数成等差数列，可设为a?d,a,a?d；

四个数成等差数列，可设为a?3d,a?d,a?d,a?3d. （2）在等差数列中，求Sn最值：

方法一：建立Sn的目标函数，转化为n的二次函数求；

an?a1?(n?1)d?dn?(a1?d)

变式：①an?am?(n?m)d ②a1?a 1)dn?(n?

a?aa?a

③d?nm ④d?nm（联想点列(n,an)所在直线

的斜率）

3．前n项和公式及其变式

n(a1?an)

?na1?n(n?1)d； 22

变式: ①Sn?ann?n(n?1)d 联想:?an?是以an为首项, ?d为公差的等差数列.

2

②Sn?n?(a1?)n

Sn?

1

?an≥0

方法二：若a1?0,d?0时,Sn有最大值，这时可由不等式组?来确定n；

a≤0?n?1

?an≤0

若a1?0,d?0时,Sn有最小值，这时可由不等式组?来确定n.

?an?1≥0

（3）基本量计算：等差数列中有五量(a1,n,d,an,Sn)、三式（一个通项公式，两个求和公式），一般可以“知三求二”通过列方程（组）求关键量a1和d，问题可迎

刃而解.

（4）几个重要结论

Sn1?qn

讨论.（2）当公比q?1时， ?

Sm1?qm

4．等比中项

若a，G , b成等比数列，则G为a, b的等比中项，即G??ab,ab?0. 5．性质

在等比数列?an?中，有

（1）若m+n=p+q ，m ,n, p ,q?N, 则aman?apaq；

当m+n=2p时，aman?a2p；

（2）若{an},{bn}成等比数列, 则{|an|}?kan?,an数列；

（3）若q为{an}的公比，则其子序列ak,ak?m,ak?2m,

也成等比数列,公比为qm；

m

?

①ap?q,aq?p(p?q)?ap?q?0 ②Sp?q,Sq?p(p?q)?Sp?q??(p?q) ③Sp?Sq(p?q)?Sp?q?0 ④Sm?n?Sm?Sn?mnd

二、等比数列

１．定义与特征：定义：______________________________________________.

它具有如下特征：

?

2

???an?

a?b,??nn???,?b?也成等比

a?n??n?

an?1aa

?q (q为不为零常数) 或者n?2?n?1（n?N*） nn?1n

()

（4）片段和:Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,?也成等比数列，且公比为q. 6．常用结论、技巧：

（1）①Sm?n?Sm?qmSn?Sn?qnSm ②S3n?Sn?qnS2n?S2n?q2nSn （2）前n项和公式，一定要分q=1或q?1两种情况．

(3) 设元技巧：三个数成等比数列，通常设为,a,aq；四个数成等比数列，不能

注：（1）证明数列是等比数列的两个基本方法：

a

①利用定义：n?1?q(q为不为零常数)

an

②利用等比中项：a

2n?1

?an?an?2

n

③通项公式法: an?cqn(c?0) ④前n项和法:Sn?kq?k

an

(k?0)

3

设为3,,aq,aq，只有当q>0时才可以．

（2）证明数列?an?不是等比数列的常用方法：找特例. 2．通项公式：an?a1qn?1；变式：an?amq3．前n项和公式：

n?m

⑤{an}成等差数列?{c}为等比数列

q

q

(4) 等比数列?an?的单调性

； q

n?m

?

an?

（n>m; m、n?N） am

①当a1?0,q?1或 a1<0,0?q?1时，等比数列?an?为递增数列； ②当a1?0,0?q?1或 a1<0,q?1时，等比数列?an?为递减数列； ③当q?1时，等比数列?an?为常数列; ④当q?0时，等比数列?an?为摆动数列.

a1(1?qn)a1?anq

?(q?1) sn?；

（1）注意：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时分类

2

(5)有限项等比数列中， 设“偶数项和”为S偶，“奇数项和”为S奇

①若总项数为偶数2n，则S偶?qS；②若总项数为奇数2n?1，奇

S奇?a1?qS偶.

三、数列求和的方法： １．公式法

(1)等差数列{an}的前n项和公式（三种形式）;

(2)等比数列{an}的前n项和公式（三种形式）; (3)几个重要公式

1．应用公式（等差、等比数列）；

??S1(n?1)2．已知Sn求an可用an??,是否分段,需要验证.

S?S(n≥2)?n?1?n

(数列的通项、数列的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前n项和

公式的关系)

3．累加法：适用于差后等差或差后等比的数列；

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)??(a2?a1)?a1；

如：①已知数列?an?满足an?1?an?2n,a1?3,求an；

②已知数列?an?满足an?1?an?2n,a1?3,求an.

4．累积法：适用于分式给出的递推式，累积后可以消去中间项，

aaa

an?n?n?1??2?a1,n≥2.

an?1an?2a1

如：① 已知数列?an?满足

?(2n?1)?(n?1)2

②12?22?32??n2?n(n?1)(n?2)

n2(n?1)23333

③1?2?3??n?

4

①1?3?5?

２．倒序相加法:在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）． 如: 在和n?1之间插入n个正数，使这n+2个数成等比数列，求所插入的n个

n数之积．

3．错位相减法：适用于?bn?cn?的数列；其中?bn?成等差数列,?Cn?成等比数列. 记Sn?b1c1?b2c2?

an?1?,a1=1,求an； nan

② 已知数列?an?满足n?1?2,a1=1,求an.

n

?bn?1cn?1?bncn；则qSn?b1c2??bn?1cn?bncn?1.

5．构造特殊数列法：

（1）利用递推关系写出数列的前几项，根据前几项的特点观察、归纳猜想出an的表达式，然后用数学归纳法证明.

（2）将递推关系式进行变形,然后运用累加、累积、迭代、换元转化为常见数列（等差、等比数列）；

如：已知数列?an?满足an?1?3an?2,a1?1,求an；

已知数列?an?满足an?an?1?2n?1,a1?1,求an.

（这也是等比数列前n和公式的推导方法之一）

4．裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

?? ②?(?) ③?[?] n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)④an?Sn?Sn?1(n≥2)

5.分组求和：适用于cn?an?bn ，而?an?、?bn?的和易求得.

①

四、求一般数列通项公式的类型及方法：

3

2

五、数列的应用(三个模型)

凡涉及到利息、产量、降价、繁殖增长率以及分期付款等问题时都可以用数列解决. (1)复利公式:按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，

则本利和y?a(1?r)

（2）单利公式:利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利

x

和y?a(1?xr)

（3）产值模型:原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值

(6)项数为偶数2n的等差数列?an?

，

有

S2n?n(a1?a2n)?n(a2?a2n?1)???n(an?an?1)(an,an?1为中间两项)

y?N(1?p)x

数列数学思想方法归纳

1. 等差数列的定义与性质

若?an?是等差数列，则（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq； （2）数列?a2n?1??,a2n??,a2n?1?仍为等差数列，Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等差数列，公差为nd；

（3）若三个成等差数列，可设为a?d，a，a?d （4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则

2

S偶?S奇?nd，

S奇S偶

?

an

. an?1

有：S2n?1?(2n?1)an(an为中间项 )，，

（7）项数为奇数2n?1的等差数列?an? S奇?S偶?an，

S奇S偶

?

n. n?1

2. 等比数列的定义与性质

定义：

amS2m?1

? bmT2m?1

an?1

?q（q为常数，q?0），an?aq1an

2

n?1

.

等比中项：x、G、y成等比数列?G?

xy，或G?

（5）?an?为等差数列?Sn?an2?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）

Sn的最值可求二次函数Sn?an2?bn的最值；或者求出?an?中的正、负分界项，

即：当a1?0，d?0，解不等式组?

?na1(q?1)?

前n项和：Sn??a1?1?qn?（要注意！）

(q?1)?

?1?q

性质：?an?是等比数列

（1）若m?n?p?q，则am·an?ap·aq

（2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等比数列,公比为q.

4

n

?an?0

可得Sn达到最大值时的n值. 当

?an?1?0

?an?0

可得Sn达到最小值时的n值. a1?0，d?0，由?

a?0?n?1

注意：由Sn求an时应注意什么？

（2）叠乘法

如：数列?an?中，a1?3n?1?

n?1时，a1?S1；

aan

n

，求an n?1

n?2时，an?Sn?Sn?1

.

解

3．求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法 如：数列?an?，解 n?1时，①

3aa1a2a312n?1

，∴n?又a1?3，∴an?……n?……

n. a1na1a2an?123n

（3）等差型递推公式

由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法

111

a1?2a2?……?nan?2n?5，求an 222

1

a1?2?1?5，∴a1?14 2

111

n?2时，a1?2a2?……?n?1an?1?2n?1?5

222

②

?

a3?a2?f(3)??

n?2时，?两边相加得an?a1?f(2)?f(3)?……?f(n)

…………?an?an?1?f(n)??

∴an?a0?f(2)?f(3)?……?f(n)

a2?a1?f(2)

①—②得：

?14(n?1)1n?1

a?2，∴，∴ a?2a??n?1nnnn2?2(n?2)

5

an?1，a1?4，求an 3

［练习］数列?an?中，a1?1，an?3（4）等比型递推公式

n?1

求an?an?1?n?2?，

（

an?

1n

?3?1?2）

［练习］数列?an?满足Sn?Sn?1?

S

注意到an?1?Sn?1?Sn，代入得n?1?4又S1?4，∴?Sn?是等比数列，

Sn

；

an?can?1?d（c、d为常数，c?0，c?1，d?0）

可转化为等比数列，设an?x?c?an?1?x??an?can?1??c?1?x 令(c?1)x?d，∴x?数列

Sn?4n

n?2时，an?Sn?Sn?1?……?3·4n?1

5

ddd??

a?，c为公比的等比，∴?an?是首项为?1

c?1c?1c?1??

∴an?

dd?n?1d?n?1d??

，∴ ??a1?·ca?a?c?n??1?

c?1?c?1?c?1c?1??

解：由∴

111?11?

??????d?0?

ak·ak?1akak?dd?akak?1?

（5）倒数法

2an

如：a1?1，求an ，an?1?

an?2

由已知得：

n

?111?11?1??11??11?1??

???????……?????????? ????ak?1?d??a1a2??a2a3?k?1akak?1k?1d?ak?anan?1??n

a?2111111

?n??，∴?? an?12an2anan?1an2

?

1?11?

??? d?a1an?1?

?1?11111∴??为等差数列，?1，公差为，∴?1??n?1?·??n?1?，

2a1an22?an?

2

∴an?(附：公式法、利用

n?1

构造等差或等比

［练习］求和：1?

an?

?

S1(n?1)

111??……? 1?21?2?31?2?3?……?n

1

an?……?……，Sn?2?

n?1

Sn?Sn?1(n?2)、累加法、累乘法.

（2）错位相减法

若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项和，可由Sn?qSn，求Sn，其中q为?bn?的公比.

如：Sn?1?2x?3x?4x?……?nx

①

2

3

n?1

an?1?pan?q或an?1?pan?f(n)、待定系数法、对数变换法、

迭代法、数学归纳法、换元法)

4. 求数列前n项和的常用方法

(1) 裂项法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.

x·Sn?x?2x2?3x3?4x4?……??n?1?xn?1?nxn

②

①—②?1?x?Sn?1?x?x?……?x

2

n?1

1

如：?an?是公差为d的等差数列，求?

aak?1kk?1

n

?nxn

6

7

?f

8

第二篇：数列知识点总结[1]

数列知识点汇总    整理者：罗凯华

数列知识点总结

数列是高考试题中的重头戏，每年的全国及各地的考题中必有涉及. 从内容上看主要考查等差（比）数列的定义、通项、前项和公式、等差(比)数列的中项及数列的性质，占分值约17分. 因此学好数列这块知识显得尤为重要. 为了让学生更好地掌握数列，现将等差(比)数列的有关知识归纳总结如下.

1. 等差数列的定义与性质

定义：（为常数），

等差中项：成等差数列

前项和

性质：是等差数列

（1）若，则

（2）仍为等差数列，公差为；

（3）若三个成等差数列，可设为

（4）若是等差数列，且前项和分别为，则

（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）

的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，

即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.

当，由可得达到最小值时的值.

(6)项数为偶数的等差数列，有

，.

（7）项数为奇数的等差数列，有

，

，

.课前热身：

1．等差数列中，

（  B  ）

A．30    B．27    C．24    D．21

2．等差数列中，

A．14　　B．15　　C．16　　D．17

3．等差数列的前项和为，当变化时，若 是一个定值，那么下列各数中也是定值的是（  A  ）

解：

为定值，∴为定值，

，选A

4．设，分别为等差数列与的前  项和

解：

巩固练习

1．设是等差数列的前项和，若（  A  ）

A．　Ｂ．　Ｃ．　Ｄ．

解：

２．在等差数列中，　则等于（ B ）

A．40  Ｂ．42  Ｃ．43  Ｄ．45

解：

3．等差数列中，，则前10或11项的和最大。

解：

∴为递减等差数列∴为最大

4、等差数列的前项和为，若等于( B )

A．63   B．45   C．36   D．27

解：成等差数列

5、已知等差数列中，等于（  A  ）

A．15   B．30   C．31   D．64

二、填空题

6、设为等差数列的前项和，=54

7、已知等差数列的前项和为，若        

2. 等比数列的定义与性质

定义：（为常数，），.

等比中项：成等比数列，或.

前项和：（要注意！）

性质：是等比数列

（1）若，则

（2）仍为等比数列,公比为.

注意：由求时应注意什么？

时，；

时，.

课前热身

1． 如果-1，，-9成等比数列，那么（  B  ）

Ａ．=3，=9    B．=-3，=-9   Ｃ． =3，=-9   D．=-3，=-9

2． 在等比数列中，若，则此数列的前10项之积等于（  C  ）

  

3．  

4． 已知数列是等比数列，且70

5． 在数列中，若，则通项=

课堂演练

1． 在等比数列中，=2，前项和为，若数列也是等比数列，则等于（  C  ）

  

2． 在各项均为正数的等比数列中，若

等于（  B  ）

A．12    B．10    C．８　　D．

3． 等比数列的前项和为，已知成等差数列，则的公比为。

4． 设为公比为>1的等比数列，若的两根，则= 162

解：因为分别为

  

5、已知等比数列的前项和（  D  ）

A．3    B．1   C．0    D．－１

课堂演练

１．   设，则

 

２． 已知数列的等差数列，且

   ①求数列的通项公式；

   ②若数列满足，记数列的前项和为 

解：①设等差数列的公差为，

②

对恒成立。

课外练习

１．   等差数列共有2+1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则等于（  B  ）

A．9   B．10   C．11   D．12

２．   设是等差数列的前项和，若  

A．1 　B．－1   C．2    D．

３．   在等比数列中，是前项和，若，则公比等于（ C  ）

A．1    B．－1    C．3     D．－3

４．  已知数列是等比数列，且    

５．     已知正项数列的前项和为，的等比中项，

  ①求证：数列是等差数列；

  ②若，数列的前项和为，求  

解：①的等比中项，

    

   

    所以数列是等差数列

6．在数列中 ，

      ①证明数列是等比数列。

      ②求数列的前项和

解：①由

     有

     所以数列是首项为1，且公比为4的等比数列。

 ②由①知