1.数列极限

定义：设|Xn|为一数列，如果存在常数a对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数 N， 使 得当n>N时，

|Xn - a|<ε

都成立，那么就称常数a是数列|Xn|的极限，或称数列|Xn|收敛于a。记为 limXn = a 或Xn→a（n→∞）

2 确界原理

任一有上界的非空实数集必有上确界(为实数)。对偶地，任一有下界的非空实数集必有下确界(为实数)。在扩张的实数系R中，认为没有上(下)界的非空实数集的上(下)确界为+∞(-∞)。这样，在R中任何非空集都有上、下确界。

3 柯西收敛准则

定理叙述：

数列{xn}有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有一正整数N，当m,n>N时，有|xn-xm|<ε成立。

将柯西收敛原理推广到函数极限中则有：

函数f(x)在无穷远处有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有Z属于实数，当x,y>Z时，有|f(x)-f(y)|<ε成立。

4 函数的连续性

如果函数f(x)在点x=a处及其附近有定义，而且函数在x=a处的极限值和f(a)相等，就说函数 f(x)在x=a处连续。

函数若在区间(m,n)内所有点上都连续，就说函数在区间(m,n)内连续。

函数若在区间(m,n)内所有点上都连续，而且在x=m点上右极限等于f(m)，在x=n点上左极限等于f(n)，就说函数在区间[m,n]内连续。

5 导数的定义

一般地，假设一元函数 y＝f(x )在 x0点的附近(x0－a ，x0 ＋a)内有定义;

当自变量的增量Δx＝ x－x0→0时函数增量Δy＝f（x）－ f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的（或变化率).

导数的几何意义

若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作 f(x)' 或y'，称之为f的导函数，简称为导数。

函数y＝f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在P0［x0，f（x0）］ 点的切线斜率

6 微分的定义

设函数y = f(x)在x的领域内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) ? f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△X→０） （其实我觉得导数和微分就是一个东西，不用太区分开了的） 7 拉格朗日中值定理

如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]使得

f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)

示意图

令f(x)为y，所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x (0<θ<1)

8 泰勒公式

若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：

f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!?(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n+Rn

其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间

9 不定积分

设F（x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x) C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作，即∫f(x)dx=F(x) C。

不定积分

其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

由定义可知：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C，就得到函数f(x)的不定积分。 10 实数的完备性

（1）确界原理 （上面有）

（2）单调有界定理 若数列{an}递增（递减）有上界（下界），则数列{an}收敛，即单调有界函数必有极限。

（3）区间套定理 有无穷个闭区间，第二个闭区间被包含在第一个区间内部，第三个被包含在第二个内部，以此类推（后一个线段会被包含在前一个线段里面），这些区间的长度组成一个无穷数列，如果数列的极限趋近于0（即这些线段的长度最终会趋近于0），则这些区间的左端点最终会趋近于右端点，即左右端点收敛于数轴上唯一一点，而且这个点是此这些区间的唯一公共点。（开区间同理）

（4）有限覆盖定理 设H为闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a,b].开覆盖的定义：设S为数轴上的点集，H为开区间的集合，（即H中每一个元素都是形如(a,b)的开区间).若S中的任何一点都含在至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或简称H覆盖S.

若H中的开区间的个数是有限（无限）的，那么就称H为S的一个有限（无限）覆盖.

（5）聚点定理 聚点定理(也称为维尔斯特拉斯聚点定理)经典形式:实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点. （聚点：设S为数轴上的点集,e为定点(它可以属于S,

也

可以不属于S),若e的任何ε邻域内都含有S中的无穷多个点,则称e为点集S的一个聚点. ）

（6）柯西收敛定理 （上面有）

第二篇：大学数学教育概论知识点总结

1.数学教育：是一种社会文化现生自主学习一个最有利，有力的注意：1.导入方法的选择要有针学习动机，兴趣，信心等非智力象，其社会性决定了数学教育要“教学工具”引导学生自主学习，对性。2. 导入方法的选择要具有因素的培养。6.教学基本功是否扎与时俱进，不断创新．数学教育规范学生学习行为，特别是学生多样性。3.导入语言要有艺术性。 实。如普通话语言是否规范、生中的教育目标、教育内容、教育放任自流学习时，起最大的限制[2]讲解技能：讲解技能中的一类动形象；教态是否亲切、自然、技术等一系列问题都会随着社会和控制作用。学生使命：自主学教学行为，在行为方式上的特点大方；板书是否工整、美观、清的进步而不断变革与发展． 习，借助帮助，利用学习资料加是“以语言讲述为主”的方式；在楚，是否有较强的课堂掌控能力

2.课程的性质和地位：是数学教强学生之间相互协作与对话。构教学功能上的特点是：传授知识等。7.教学效果如何。教学效率，育专业的专业基础必修课，是一建自己完整的学习知识体系。）5.和方法、启发思维、表达思想感学生受益情况等。8.教学特色如何。门实践性很强的学科，主要研究学习环境。6.评价观 情”。 即教学的个人特点，教师的教学的是数学教育数学理论，是数学双基：含义：（1）数学基本知识目的：传授数学知识和技能。2.风格。

论，课程论和学习论的综合。 （2）数学基本技能 启发思维，培养能力。3.提高思想16.课程的改革：

3.教学设计是根据教学对象和教8.教学模式：在一定教学思想和认识，培养数学学习情感因素。 《标准1》的基本理念：1.突出体学目标，确定合适的教学起点与教育理论指导下形成的教学活动原则：1.科学性原则。2.启发性原现基础性、普及性和发展性。2.终点，将教学诸要素有序、优化的基本框架结构。 则。3.计划性原则。整体性原则。 突出数学与生活实践的联系。3.地安排，形成教学方案的过程。类型：1.讲解—接受教学模式。[3]演示技能：是教师根据教学内强调数学学习活动的过程性。4.它是一门运用系统方法科学解决2.引导—发现教学模式/探究式教容和学生学习的需要，运用各种倡导师生角色观。5.提倡主体多元教学问题的学问，它以教学效果学模式（流程：1.教师创设问题教学媒体让学生通过直观感性材化和形式多样化的评价方式。6.最优化为目的，以解决教学问题情景2.观察猜想3.推理论证4.验料，理解和掌握数学知识，解决充分发挥现代信息技术在数学教为宗旨。 证应用5.总结反思）。3.启发式。数学问题，传递数学教学信息的学中的作用。

4.教学目标：一级目标：教育方4.合作学习。5.自主探究。6.尝试教学行为方式。 《标准2》的基本理念：1.构建共针。(制订者——国家)二级目标：指导。 注意：1.演示的媒体要恰当。2.同基础，提供发展平台。2.提供多课程目标。(全日制义务教育)三级9.教学概念：（1）意义：反映数演示的媒体要使用。3.演示的时机样的课程，适应个性选择。3.倡导目标：教学目标。课堂目标 学对象本质属性的思维形式叫做要恰当。4.演示必须与讲解技能相积极主动、勇于探索的学习方式。

5.教案 数学概念。概念的组成：概念的结合。 4.注重提高学生的数学思维能力。详案格式：1.课题。2.教学目标。名称，定义，符号，例子，属性。[4]结束技能：是教师在一个教学5.发展学生的数学应用意识。6.

3.学情分析。4.教材分析。5.课型。（2）概念的内涵和外延：概念的内容结束或一节课的教学任务终与时俱进地认识“双基”。7.强调

6.教学方法。7.教具。8.教学过程内涵亦称内包，指概念所反映的了时，有目的、有计划地通过归本质，注意适度形式化。8.体现数

（1）知识准备；（2）判定定理；对象的特有属性，本质属性。概纳总结、重复强调、实践等活动学的文化价值。9.注重信息技术与

（3）运用定理，问题研究；（4）念的外延亦称外包，指概念所反使学生对所学的新知识、新技能数学课程的整合。10.建立合理、总结[板书设计][课后记] 映对象的总和。 进行及时地巩固、概括、运用，科学的评价体系。

简案格式：1.课题。2.教学目标。10.数学思想方法：对数学思想理把新知识、新技能纳入原有的认17.数学核心概念：

3.教学重点，难点。4.教学过程 性认识。（数学思想是指人们对数识结构，使学生形成新的完整的数感：通俗地说，就是人对于数

6.数学方法：是指在教学过程中，学理论和内容的本质的认识，数认识结构，并为以后的教学做好及其运算的一般理解和感受，这教师的工作方法和相对应的学生学方法是数学思想的具体化形式，过渡的一类教学行为方式。 种理解和感受可以帮助人们灵活的学习方法，以及二者之间的有实际上两者的本质是相同的，差类型：提纲挈领，娱乐激趣，图的方法为解决复杂的问题提出有机联系。 别只是站在不同的角度看问题。表对比，悬念引申，质疑讨论，用的策略。数感是一种主动地、

7.弗雷登塔尔的教学原则：1.“数通常混称为“数学思想方法”。） 练习巩固，学生汇报 自觉地理解数、运用数的态度和学现实”原则。2.“数学化”原11.数学教学原则：1.严谨性与量注意：1.自然贴切，水到渠成。意识。

则。3.“再创造”原则。4.“严谨力性相结合的原则。2.具体与抽象2.语言精炼，紧扣中心。3.内外沟符号感：就是人们对各种符号的性”原则 相结合的原则。3.理论与实践相结通，立疑开拓。 理解与感受。

波利亚解题表：1.理解题目—必合的原则。 14.体态语言：(1)在课堂调控上空间观念：是由长度、宽度、高要前提。2.拟定计划—关键环节12.课程实施原则：1.全面性原则。1.精神抖擞带学生进入学习角色度表现出来的客观事物在人脑里和核心内容。3.实现计划—逻辑2.整体性原则。3.发展性原则。4.2.营造和谐的学习氛围3.维护课留下的概括的形象。

配置。4.回顾—有远见做法 前瞻性原则。 堂秩序，优化课堂教学4.具有活18.数学教育评价的定义：全面收皮亚杰：当代建构主义理论的最13.教学技能： 泼性,有利于学生提高学习兴趣。集和处理数学课程，教学设计与早提出者。 [1]导入技能：是引起学生注意、(2)在传授知识上1.帮助学生理实施过程中的信息，从而做出价

1.同化：指根据已有图式来理解激发学生兴趣、引起学习动机、解数量关系2.协助学生分析有利值判断，改进教学决策的过程。 新事物，事件过程 明确学习目的和建立知识间联系于理解3.敏捷迅速的信息反馈—要素：1.教师行为。2.学生行为。

2.顺应：当旧有方式探究世界不的教学活动方式。应用于上课之—手势答案4.增强学习的趣味性。3.教学内容。（1,2为核心要素） 能奏效时，儿童会根据新消息或始或开设新学科、进入新单元、(3)在师生互动中1.读懂学生的主体：学生

新经验来修改已有的图式，这个新段落的教学之中。 眉目语2.读懂学生的表情语3.读19.难度：是反映试题难易程度的过程叫顺应。 类型：直接，旧知识，悬念，事懂学生的手势语4.读懂学生的坐数量指标。P越大，难度越小。

3.平衡作用：指产生顺应情况下例，趣味，实验，创设情境 姿语 信度：指实测值与真实值相差的的不平衡状态。 目的：1.引起学生注意。2.激发15.如何评价一节课：1.教学目的程度，是一种反映试题的稳定性、

4.理论主张：发展先于学习。 学习兴趣。3.唤起学生思考。4.如何。是否全面、具体、明确。可靠性的数量指标。

5.认知结构与知识结构关系：儿明确学习目的。5.强化师生关系。 符合课程标准和学生实际。2.重点区分度：是指试题对考生实际水童认知结构就是通过同化与顺应功能：1.引起学生对所学课题的难点是否突出并处理得当。3.教学平的区分程度的数量指标。D越过程逐步建构起来并在“平衡—关注，进入学习准备状态；2.激程序上，设计是否合理，思路是大，区分度越大。

不平衡—新平衡”循环中不断丰发学习兴趣，引起学习动机；3.否清晰，结构是否严谨，是否因效度：是一种反映测试能否达到富、提高、发展 。 明确学习目的，传达教学意图；材施教，是否给学生创造的机会，所欲测试的特征值或功能程度的建构主义的基本观点：1.知识观。4.承上启下，建立新旧知识间联是否注意知识形成的过程。4.教学数量指标，使其反映测验正确性

2.学习观。3.教学观。（创建一个系；5.创设意境，激发情志； 方法上，是否灵活多样，符合实的程度。

良好，有利于知识建构的学习环原则：1.针对性原则。2.启发性际，是否恰当地运用现代教学手

境，以及支持和帮助学生建构知原则。3. 趣味性原则。4.直观性段等。5.是否注意情感教育，即课

识。）4.师生观。（教师使命：学原则。5.适度性原则。 堂气氛是否和谐，是否注重学生