第三章：不等式

1、不等式的基本性质

①（对称性） ②（传递性） ③（可加性）

（同向可加性） （异向可减性）

④（可积性）       

⑤（同向正数可乘性）      （异向正数可除性）

⑥（平方法则）   ⑦（开方法则）

⑧（倒数法则）

2、几个重要不等式

①,（当且仅当时取号）.   变形公式：

②（基本不等式）   ,（当且仅当时取到等号）.

变形公式：     用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

③（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当时取到等号）.

④（当且仅当时取到等号）.

⑤（当且仅当时取到等号）.

⑥（当仅当a=b时取等号）（当仅当a=b时取等号）

⑦其中规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.

⑧   

⑨绝对值三角不等式

3、几个著名不等式①平均不等式：,（当且仅当时取号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.

 变形公式： 

②幂平均不等式：

③二维形式的三角不等式：

④二维形式的柯西不等式当且仅当时，等号成立.

⑤三维形式的柯西不等式：

⑥一般形式的柯西不等式：

⑦向量形式的柯西不等式：

设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立.

⑧排序不等式（排序原理）：

设为两组实数.是的任一排列，则

（反序和乱序和顺序和）

当且仅当或时，反序和等于顺序和.

⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数,对于定义域中任意两点有则称f(x)为凸（或凹）函数.

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不等式和不等式组

不等式的解集

用数轴表示不等式的解集

解一元一次不等式

一元一次不等式的应用

（1） 由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．

（2） 列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不

等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．

（3） 列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：

①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．

②根据题中的不等关系列出不等式．

③解不等式，求出解集．

④写出符合题意的解

第三节 一元一次不等式组

（1） 一元一次不等式组的定义：

几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．

（2） 概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但

与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个

解一元一次不等式组

由实际问题抽象出一元一次不等式组

一元一次不等式组的应用

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常见不等式的解法

（一）一元一次不等式
1、定义：
  用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式

  2.一元一次不等式的解集
  将不等式化为ax>b的形式
  (1)若a>0，则解集为x>b/a
  (2)若a<0，则解集为x<b/a

（二）一元二次不等式的解法   

1、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式．

2、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：

（三）含绝对值不等式的解法（关键是去掉绝对值）

1、利用绝对值的定义：（零点分段法）    

2、利用绝对值的几何意义：表示到原点的距离

公式法：,与型的不等式的解法.

（四）分式不等式的解法

1）标准化：移项通分化为(或)；(或)的形式，

2）转化为整式不等式（组）

（五）指数、对数不等式的解法

①当时

        

②当时

        

（六）  高次不等式的解法

根轴法（零点分段法）

1） 化简（将不等式化为不等号右边为0，左边的最高次项系数为正)；

2） 分解因式；

3） 标根（令每个因式为0，求出相应的根，并将此根标在数轴上。注意：能取的根打实心点，不能去的打空心）；

4） 穿线写解集(从右到左，从上到下依次穿线。注意：偶次重根不能穿过)；

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               基本不等式知识点总结

向量不等式：

【注意】：同向或有；

反向或有；

不共线.(这些和实数集中类似)

代数不等式：

同号或有；

异号或有.

绝对值不等式：     

双向不等式：

（左边当时取得等号，右边当时取得等号.）

放缩不等式：

①，则.

【说明】：（，糖水的浓度问题）.

【拓展】：.

②，，则；

③，；

④，.

⑤,.

函数图象及性质

(1)函数图象如图：

(2)函数性质：

①值域：；

②单调递增区间：，；单调递减区间：，.

  基本不等式知识点总结

重要不等式

1、和积不等式：(当且仅当时取到“”)．

【变形】：①（当a = b时，）

【注意】： ，

2、均值不等式：

两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均算术平均几何平均调和平均”

*.若，则 (当且仅当时取“=”）;                   

    若，则 (当且仅当时取“=”）

若，则  (当且仅当时取“=”）

*.若，则  (当且仅当时取“=”）

若，则  (当且仅当时取“=”）

3、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：

（，）；

  

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新课标——回归教材

不等式

1、不等式的性质:

注:表中是等价关系的是解、证明不等式的依据,其它的仅仅是证明不等式的依据.

典例:1)对于实数中,给出下列命题:①;②;

③;④;⑤;       

⑥;⑦;⑧.

其中正确的命题是  ②③⑥⑦⑧ .

2)已知,,则的取值范围是;

3)已知,且则的取值范围是.

2、不等式大小比较的常用方法:

(1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;

(2)作商(常用于分数指数幂的代数式);

(3)分析法;(4)平方法;(5)分子(或分母)有理化;(6)利用函数的单调性;

(7)寻找中间量或放缩法;(8)图象法.其中比较法(作差、作商)是最基本的方法.

典例:1)设,比较的大小

答案:①当时, (在时取“=”);

②当时,(在时取“=”);

2)已知,试比较的大小.( 答:)

3)设,,,试比较的大小(答:);

4)比较1+与的大小.

答:当或时,1+＞;

当时,1+＜;当时,1+＝

5)若,且,比较的大小.(答:)

3.利用重要不等式求函数最值:“一正二定三相等,和定积最大,积定和最小”.

典例:1)下列命题中正确的是( B )

A.的最小值是2      B.的最大值是

C.的最小值是2    D.的最小值是; 

2)若,则的最小值是;

3)已知,且,则的最小值为18;

变式①:已知,则的最小值为  18  ;

②:已知,且,则的最大值为  1  ;

③:已知,且,则的最小值为  9  ;

4.常用不等式有:(1)当时取=号)

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《不等式》知识点

一、不等式及其解法：

1．一元二次不等式： 化标准式（即二次项系数为正）“大于取两边，小于取中间”

如：解不等式（1）；              （2）

解：（1）原不等式等价于 ， 方程的根为，

故解集为.

（2）原不等式等价于， 方程的根为，，

故解集为.

2．高次不等式：“穿根法”. 化标准式（即每一项的系数为都为正）穿根

（从右上方出发，依次穿过每个根，如遇“重根”，奇穿偶回）

如：解不等式（1）； （2）；  （3）

 

解：（1）解集为； （2）解集为；  （3）解集为

3．分式不等式：移项通分.

如：解不等式. 解：移项后，通分后，化标准式为，故解集为

4．绝对值不等式：的解集为；  的解集为

二、1．重要不等式：,当且仅当时，等号成立

      变形：     应用：为定值时，求的最大值.

2．基本不等式：当且仅当时，等号成立

 变形一：   应用：为定值时，求的最小值.

变形二：   应用：为定值时，求的最大值.

注：利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等.

三、线性规划问题

1.能画出二元一次不等式组表示的平面区域.

2.相关概念：约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解.

3.目标函数常见类型：

（1）求线性目标函数的最值时，先令，画出直线：，

①若，则向上平移，变大，向下平移，变小；②若，则向上平移，变小，向下平移，变大

（2）“斜率型”目标函数，表示可行域内动点与定点连线的斜率.

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数学必修5知识总结之不等式

一、不等式及性质

1、不等式比较大小①；②； ③．

2、不等式的性质：①；   ②； ③；

④，；⑤；

⑥；⑦；

⑧．

二、一元二次不等式

1、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式．

2、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：

三、二元一次不等式

1、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是的不等式．

2、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．

3、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的和的取值构成有序数对，所有这样的有序数对构成的集合．

4、在平面直角坐标系中，已知直线，坐标平面内的点．

①若，，则点在直线的上方．

②若，，则点在直线的下方．

5、在平面直角坐标系中，已知直线．

①若，则表示直线上方的区域；表示直线下方的区域．

②若，则表示直线下方的区域；表示直线上方的区域．

③目标函数为求的最值，需要转化成的形式

④目标函数为求的最值，需要转化成有效区域内一点及平面内一点所在直线的斜率的形式

⑤目标函数为的形式求的最值，需要转化成有效区域内一点及平面内一点这两点间的距离。

四、基本不等式

1、两个平均数    设、是两个正数，则称为正数、的算术平均数，      

称为正数、的几何平均数．

2、均值不等式定理： 若，，则，即．

3、常用的基本不等式：①；         ②；

③；       ④．

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