极限的总结 如下

极限的保号性很重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致

1 极限分为 一般极限 ， 还有个数列极限， （区别在于数列极限时发散的， 是一般极限的一种）

2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？） 1 等价无穷小的转化， （只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者 （1+x）的a次方-1等价于Ax 等等 。 全部熟记

（x趋近无穷的时候还原成无穷小）

2 LHopital 法则 （大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法）

首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！

必须是 X趋近 而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件

（还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷！）

必须是 函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导， 直接用无疑于找死！！）

必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！

当然还要注意分母不能为0

LHopital 法则分为3中情况

1 0比0 无穷比无穷 时候 直接用

2 0乘以无穷 无穷减去无穷 （ 应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了

3 0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方

对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ， （ 这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0）

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电力电子科学与技术 101班

高等数学论文

极限方法总结

201010107 刘帅 201010110孙力铎2011-5-29

201010113张强

极限计算方法总结

一、极限定义、运算法则和一些结果

1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的

极限严格定义证明，例如：lim

lim(3x?1)?5；limqn??；等等 x?2n??不存在，当|q|?1时? （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需

再用极限严格定义证明。

2．极限运算法则

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有 （1）lim[f(x)?g(x)]?A?B

（2）limf(x)?g(x)?A?B b?0(a,b为常数且a?0)；n??0，当|q|?1时an?

（3）limf(x)A?,(此时需B?0成立) g(x)B

说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，

不能用。

3．两个重要极限

（1） limsinx?1 x?0x

1

x（2） (1?)x?e lim(1?x)?e ； limx??x?0

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 例如：limsin3x?1，lim(1?2x)x?0x?03x1?2x?e，lim(1?)?e；等等。 x??x3

4．等价无穷小

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

定理3 当x?0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1?x)～ex?1 。 说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)?0），仍有上面的等价

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极限计算方法总结

靳一东

《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。

一、极限定义、运算法则和一些结果

1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。

说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；；；等等

     （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

2．极限运算法则

定理1 已知 ，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有  （1）

（2）

（3）

     说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

3．两个重要极限

（1）             

（2）  ；   

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，

作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。

例如：，，；等等。

  4．等价无穷小

    定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

定理3 当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：

～～～～～～ 。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成时（），仍有上面的等价

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极限计算方法总结

数学是专接本公共课重要的基础课之一，极限是数学的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限在专接本公共课数学考试中占13%-20%左右；学的好坏会关系到公共课数学的成绩。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。

一、极限定义、运算法则和一些结果

1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。

说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；；；等等

（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

2．极限运算法则

定理1 已知 ，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有  （1）

（2）

（3）

     说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

3．两个重要极限

（1）             

（2）  ；   

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，

作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。

例如：，，；等等。

  4．等价无穷小

    定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

定理3 当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：

～～～～～～ 。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成时（），仍有上面的等价

…… …… 余下全文

首先对极限的总结如下：

　　极限的保号性很重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致

　　1 极限分为 一般极限 ， 还有个数列极限， (区别在于数列极限时发散的， 是一般极限的一种)

　　2解决极限的方法如下：(我能列出来的全部列出来了!!!!!你还能有补充么???)

　　1 等价无穷小的转化， (只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在) e的X次方-1 或者 (1+x)的a次方-1等价于Ax 等等 。 全部熟记

　　(x趋近无穷的时候还原成无穷小)

　　2落笔他 法则 (大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法)

　　首先他的使用有严格的使用前提!!!!!!

　　必须是 X趋近 而不是N趋近!!!!!!!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件

　　(还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷!)

　　必须是 函数的导数要存在!!!!!!!!(假如告诉你g(x), 没告诉你是否可导， 直接用无疑于找死!!)

　　必须是 0比0 无穷大比无穷大!!!!!!!!!

　　当然还要注意分母不能为0

　　落笔他 法则分为3中情况

　　1 0比0 无穷比无穷 时候 直接用

　　2 0乘以无穷 无穷减去无穷 ( 应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了

　　3 0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方

　　对于(指数幂数)方程 方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ， ( 这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0)

　　3泰勒公式 (含有e的x次方的时候 ，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意 !!!!)

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一、极限计算方法总结

1．性质：limf（x）?Ax??的充分必要条件是 ： limx???f（x）?limf（x）?Ax???

2. 极限运算法则

f(x)Alim[f(x)?g(x)]?A?B limf(x)?g(x)?A?B li?,(此时需B?0成立) g(x)B

说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

3．两个重要极限

（1） limx?0sinx?1 x

1

x（2） (1?1)x?e lim(1?x)?e ； limx??x?0

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，

sin3x4lim?1，lim(1?2x)?2x?e，lim(1?)3?e；lim(1?)x?e4。 例如：x??x?0x?0x??3x

4．无穷小

① 有限个无穷小的代数和是无穷小。

② 有限个无穷小的乘积是无穷小。

③ 有界函数（包括常数）与无穷小的乘积是无穷小。

5．等价无穷小

① 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

② 当x?0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：

（1）sinx～x； （2）arcsinx～x； （3）tanx～x；

x （4）arctanx～x； （5）ln(1?x)～x； （6）e?1～x 1x

x2

xx? （7）1?cosx～ （8）(1?x)?1～?x （9）a-1～lna 2

说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)?0），仍有上面的等价关系成立，例如：当x?0

时， e?1 ～

③ 如果函数3x3x ；ln(1?x2) ～ ?x2。 f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是x?x0时的无穷小，且f(x)～f1(x)，g(x)～g1(x)，则当x?x0limf1(x)f1(x)f1(x)f(x)f(x)存在时，lim也存在且等于f(x)lim，即lim=lim。 x?xx?xx?xx?x0000g(x)g(x)g1(x)g1(x)g1(x)

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极限定义的总结

极限主要包括两个方面，即自变量的变化趋势和函数的变化趋势。我们就这两个变化趋势来总结极限的定义：

自变量的变化趋势主要有六种：

函数的变化趋势主要有四种：

自变量的描述格式如下：

当时；（）

当时；（）

当时；（）

当时；（）

     当时；（）

     当时；（）

函数的描述格式如下：

  恒时：（）

 恒时：（）

 恒时：（）

  恒时：（）

那么函数极限的定义可以是这种中的任意一种。当然还有一种最特殊的函数极限，即数列的极限。它是一种自变量的变化不连续的特殊情形。

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