首先对极限的总结如下：

　　极限的保号性很重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致

　　1 极限分为 一般极限 ， 还有个数列极限， (区别在于数列极限时发散的， 是一般极限的一种)

　　2解决极限的方法如下：(我能列出来的全部列出来了!!!!!你还能有补充么???)

　　1 等价无穷小的转化， (只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在) e的X次方-1 或者 (1+x)的a次方-1等价于Ax 等等 。 全部熟记

　　(x趋近无穷的时候还原成无穷小)

　　2落笔他 法则 (大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法)

　　首先他的使用有严格的使用前提!!!!!!

　　必须是 X趋近 而不是N趋近!!!!!!!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件

　　(还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷!)

　　必须是 函数的导数要存在!!!!!!!!(假如告诉你g(x), 没告诉你是否可导， 直接用无疑于找死!!)

　　必须是 0比0 无穷大比无穷大!!!!!!!!!

　　当然还要注意分母不能为0

　　落笔他 法则分为3中情况

　　1 0比0 无穷比无穷 时候 直接用

　　2 0乘以无穷 无穷减去无穷 ( 应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了

　　3 0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方

　　对于(指数幂数)方程 方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ， ( 这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0)

　　3泰勒公式 (含有e的x次方的时候 ，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意 !!!!)

　　E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开

　　对题目简化有很好帮助

　　4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

　　取大头原则 最大项除分子分母!!!!!!!!!!!

　　看上去复杂处理很简单 !!!!!!!!!!

　　5无穷小于有界函数的处理办法

　　面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

　　面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了!!!

　　6夹逼定理(主要对付的是数列极限!)

　　这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式 ，放缩和扩大。

　　7等比等差数列公式应用(对付数列极限) (q绝对值符号要小于1)

　　8各项的拆分相加 (来消掉中间的大多数) (对付的还是数列极限)

　　可以使用待定系数法来拆分化简函数

　　9求左右求极限的方式(对付数列极限) 例如知道Xn与Xn+1的关系， 已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化

　　10 2 个重要极限的应用。 这两个很重要 !!!!!对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值 。 地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式

　　(地2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式 )(当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限)

　　11 还有个方法 ，非常方便的方法

　　就是当趋近于无穷大时候

　　不同函数趋近于无穷的速度是不一样的!!!!!!!!!!!!!!!

　　x的x次方 快于 x! 快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数 (画图也能看出速率的快慢) !!!!!!

　　当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了

　　12 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元， 但是换元会夹杂其中

　　13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法 ，当然也是夹杂其中的

　　14还有对付数列极限的一种方法，

　　就是当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。 一般是从0到1的形式 。

　　15单调有界的性质

　　对付递推数列时候使用 证明单调性!!!!!!

　　16直接使用求导数的定义来求极限 ，

　　(一般都是x趋近于0时候，在分子上f(x加减麽个值)加减f(x)的形式， 看见了有特别注意)

　　(当题目中告诉你F(0)=0时候 f(0)导数=0的时候 就是暗示你一定要用导数定义!!!!)

第二篇：极限计算方法总结

极限计算方法总结

《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。

一、极限定义、运算法则和一些结果

1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。

说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的

极限严格定义证明，例如：；；

；等等

     （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

2．极限运算法则

定理1 已知 ，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有  （1）

（2）

（3）

     说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

3．两个重要极限

（1）             

（2）  ；   

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，

作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。

例如：，，；等等。

  4．等价无穷小

    定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

定理3 当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：

～～～～～～ 。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成时（），仍有上面的等价

关系成立，例如：当时，  ～  ； ～ 。

   定理4 如果函数都是时的无穷小，且～，～，则当存在时，也存在且等于，即=。

5．洛比达法则

  定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：（1）和的极限都是0或都是无穷大；

        （2）和都可导，且的导数不为0；

        （3）存在（或是无穷大）；

  则极限也一定存在，且等于，即= 。

说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。

6．连续性

  定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有 。

7．极限存在准则

  定理7（准则1） 单调有界数列必有极限。

  定理8（准则2） 已知为三个数列，且满足：

（1）

       （2） ，

      则极限一定存在，且极限值也是a ，即。

二、求极限方法举例

1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

例1 

解：原式= 。

注：本题也可以用洛比达法则。

例2 

解：原式= 。

例3

解：原式 。

2． 利用函数的连续性（定理6）求极限

例4

解：因为是函数的一个连续点，

   所以  原式= 。

3． 利用两个重要极限求极限

例5

解：原式= 。

注：本题也可以用洛比达法则。

例6

解：原式= 。

例7

解：原式= 。

4． 利用定理2求极限

例8

解：原式=0 （定理2的结果）。

5． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限

  例9

  解：～，～，

    原式= 。

例10

解：原式= 。

注：下面的解法是错误的：

   原式= 。

   正如下面例题解法错误一样：

    。

例11

解：，

  所以，  原式= 。（最后一步用到定理2）

6． 利用洛比达法则求极限

说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。

例12 （例4）

解：原式= 。（最后一步用到了重要极限）

例13

解：原式= 。

例14

解：原式== 。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）

例15

解：

例18

解：错误解法：原式= 。

  正确解法：

应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。

例19

解：易见：该极限是“”型，但用洛比达法则后得到：，此极限

不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：

原式= （分子、分母同时除以x）

    = （利用定理1和定理2）

7． 利用极限存在准则求极限

例20 已知，求

解：易证：数列单调递增，且有界（0<<2），由准则1极限存在，设 。对已知的递推公式 两边求极限，得：

 ，解得：或（不合题意，舍去）

所以 。

例21

解： 易见：

因为 ，

所以由准则2得： 。

上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用定积分求极限等，由于不常用，这里不作介绍。

           极限与连续的62个典型习题

习题1  设，求 .

解 记，则有

，.另一方面

.

因为 ，故 .利用两边夹定理，知

，其中 .

例如  .

习题2求 .

解

, 

即   

  .

.

利用两边夹定理知

.　

习题3　求.

解

 

习题4　求 .

解（变量替换法）令，则当时，于是,

原式.

习题5求.

解（变量替换法）令，

原式

.

习题6求    (型)。

为了利用重要极限，对原式变形

习题7  求　. 解 原式

 

.

习题8　求 .  解 由于

.

而

.故 不存在。

习题9　研究下列极限 （1）.

∵　原式，其中，. ∴ 上式极限等于0，即.（2）.

因为　，, 所以 .

（3）.  原式.

习题10　计算.

解 原式

.

习题11 

.

习题12  已知 ，求的值。

解 首先，∴

原式，

∴ ，而 .

习题13  下列演算是否正确？

.

习题14  求.

解 原式

.

习题15  求 .

解  ∵，，原式 = 0.

习题16证明 （为常数）。

证  （令）

.

习题17  求 .

解 原式.

习题18  求 .  解   (连续性法)

原式

 .

习题19  试证方程 （其中）至少有一个正根，并且它不大于.

证 设，此初等函数在数轴上连续，在上必连续。∵ 而

 若，则就是方程的一个正根。

若，则由零点存在定理可知在内至少存在一点，使.即

故方程  至少有一正根，且不大于.

习题21  求.

解  原式.

习题20 设满足且  试证 

证 取使得当时有

即 亦即于是递推得 

从而由两边夹准则有

习题22  用定义研究函数  的连续性。

证 首先，当是连续的。同理，当

也是连续的。而在分段点处

     

  

  故

习题23  求证 .

证  ∵，而

.由两边夹定理知，原式成立.

习题24设任取记

 试证 存在，并求极限值。

证

 故

由题设

 由于

故单调有下界，故有极限。设

由解出（舍去）。

习题25设 求

解 显然有上界，有下界

当  时

即假设 则

故单增。

存在。设则由得即

（舍去负值）。当时，有

用完全类似的方法可证单减有下界，同理可证

习题26设数列由下式给出 求

解 不是单调的，但单增，并以3为上界，故有极限。设单减，并以2为下界，设 在等式两边按奇偶取极限，得两个关系 ，解出由于的奇数列与偶数列的极限存在且相等，因此的极限存在，记于是故有解出（舍去负值）

习题27设试证 收敛，并求极限。

证 显然假设则由，可解出（舍去 ）。下面证明收敛于由于

，

递推可得

由两边夹可得故   

习题28设试证

（1）存在；（2）当时，当时，

证 显然有又

单减有下界。收敛。令在原式两边取极限得由此可解出或当时，归纳假设则而，有 因此时即时）。

当时，由的单减性便知即当时，即

  （当时）。

习题29  

         

习题30若收敛，则

证 收敛，设故必有界。设

因此而

习题31求   

变量替换求极限法

（为求有时可令而）

习题32求  （为自然数）

解 令则 因此

 

  

习题33求

解 令且当时故 原式

习题34求

解 先求令  则上式

     故原式

用等价无穷小替换求极限

习题35求

解 记

原式=

=

习题36设与是等价无穷小，求证

（1）（2）

证 即

其中故

         

 （2）

 

习题37设为自然数，试证使

证 （分析：要证使即要证有根） 令，显然在上连续，于是记则

又对函数应用介值定理，知使即存在使

习题38设证明

使

证 （分析：将结果变形）

记则

于是 

或   

由介值定理知

即

习题39设且证使

证 反证法。若不存在点使即均有连续，不妨设恒有于是此与矛盾。故使

习题40设且又证明至少有一点使

证 故在上有最大值和最小值,使 于是 由介值定理，知使

习题41 证明方程至少有一个小于1的正根。

证 设显然但

使即方程至少有一个小于1的正根存在。

习题42 设连续，求

解

故由于在=1，-1处连续，所以

习题43 试证方程至少有一个实根。

证 做函数 显然

使即在内必有实根。

习题44 求的连续区间。

（解：先改写为分段函数，结论为：

习题45 求为何值时，函数，在上处处连续。

只需讨论分段点处的连续性：

要在处连续，必有

习题46 设，定义  求

解 有下界即有又，即单减有下界，故有极限。设且有有

（舍去负根）（注意：先证明极限的存在是必要的。）

习题47

（解： 单增有上界，可解出极限）

习题48 设且证明使

证 若则取若则可取 则令必有且由零点定理知使即

习题49 (选择题)设在内有定义，连续且有间断点，则

(A) 必有间断点，(B) 必有间断点，

(C) 必有间断点，(D) 必有间断点.

解 选[D]（(A) 因的值域可能很小。

(B)反例 而无间断点。

(C) 总有定义。

习题50 证明方程至少有一个正根，且不超过

证 设而

如果则即为的零点.如果则由介值定理知使即为所求,故原命题成立.

习题51若函数可以达到最大值和最小值，求证

证 设则对任意有或有由的任意性，可知

习题52 设且恒大于零，证明在上连续.

证 任取由于在处连续且大于使当时（若为左端点，则应为类似处理有

可找到使当时有     

取则当时，有

故知在处连续。由的任意性，知在上连续.

习题53设 试讨论在处的连续性.

解

时，在处连续，

时， 为的跳跃间断点（第一类间断点).当时为第二间断点。

习题54 设函数 问当在处连续。  解

即时，在处连续。

习题55 求函数的间断点，并判定其类型.

解 因当（为任一整数）时，是的间断点。再细分，当时， 不存在，故除处的任何整数都是的第二类间断点。因

亦即是的第一类（可去）间断点.

习题56 求函数的间断点并判定其类型。

解 的分段点为

是的第一类（跳跃）间断点。当时，在点

处，无意义，故是的间断点。因为

是第一类（可去）间断点。显然都是极限为的第二类间断点。当时，在点时，没定义，故是的间断点。又不存在，故为第二类间断点。

习题57 设函数且试证

证 因为连续，所以在上有界。又因为  所以

当时，恒有取则存在自然数使得.记，则且 于是

下面估计上式右边三项的绝对值。

 （1）

=

（2）因为在上有界，即使.故当时，恒有

  （3）因为故使当时恒有综合（1），（2），（3）取

，则当时，恒有

 

习题68 若和为连续周期函数，当时，有定义，且证明

证 先证明和有相同周期。设的周期为,则由于当时, 即得 ，以及

= 

现在说明的周期也是。若不然，则至少存在一个使设的周期为为任意正整数，

以及此时恒有

               .

但由（*），对充分大的必成立这显然矛盾（矛盾于）下面证明若结论不真，则至少存在一个使记则恒有这与矛盾。于是 

习题61  试证

习题62 在 点连续。

解

如果函数在连续，则