1．定义：

说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；

（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

利用导数的定义求极限
　这种方法要求熟练的掌握导数的定义。

2．极限运算法则

定理1 已知，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）

（2）

（3）

说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

. 利用极限的四则运算法求极限
这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。

　　

8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

例1 

解：原式=。

注：本题也可以用洛比达法则。

例2 

解：原式=。

例3

解：原式。

3．两个重要极限

（1）

（2）；

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，

例如：，，；等等。

利用两个重要极限求极限

例5

解：原式=。

注：本题也可以用洛比达法则。

例6

解：原式=。

例7

解：原式=。

4．等价无穷小

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

定理3 当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：

～～～～～～。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成时（），仍有上面的等价

关系成立，例如：当时，～；～。

定理4 如果函数都是时的无穷小，且～，～，则当存在时，也存在且等于，即=。

利用等价无穷小代换（定理4）求极限

例9

解：～，～，

   原式=。

例10

解：原式=。

注：下面的解法是错误的：

原式=。

正如下面例题解法错误一样：

。

例11

解：，

所以，原式=。（最后一步用到定理2）

五、利用无穷小的性质求极限

有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替换求极限常常行之有效。

例 1.       2.

1/21

5．洛比达法则

定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：（1）和的极限都是0或都是无穷大；

（2）和都可导，且的导数不为0；

（3）存在（或是无穷大）；

则极限也一定存在，且等于，即=。

说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。

利用洛比达法则求极限

说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。

例12 （例4）

解：原式=。（最后一步用到了重要极限）

例13

解：原式=。

例14

解：原式==。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）

例15

解：

先用等价无穷小，再用洛必达法则

例18

解：错误解法：原式=。

正确解法：

应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。

例19

解：易见：该极限是“”型，但用洛比达法则后得到：，此极限

不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：

原式=（分子、分母同时除以x）

    =（利用定理1和定理2）

6．连续性

定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有。

利用函数的连续性（定理6）求极限

例4

解：因为是函数的一个连续点，

所以原式=。

7．极限存在准则

定理7（准则1）单调有界数列必有极限。

四、利用单调有界准则求极限

首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。

例1. 设，

求极限。

定理8（准则2）已知为三个数列，且满足：

（1）

（2），

则极限一定存在，且极限值也是a ，即。

10. 夹逼定理

利用极限存在准则求极限

例20 已知，求

解：易证：数列单调递增，且有界（0<<2），由准则1极限存在，设。对已知的递推公式两边求极限，得：

，解得：或（不合题意，舍去）

所以。

例21

解：易见：

因为，

所以由准则2得：。

9. 洛必达法则与等价无穷小替换结合法
对于一些函数求极限问题，洛必达法则和等价无穷小结合运用，往往能化简运算，收到奇效。

　　

　　

11. 泰勒展开法

　　

12. 利用定积分的定义求极限法
积分本质上是和式的极限，所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。

　　

　　 8. 利用复合函数求极限

　　

十、利用级数收敛的必要条件求极限

级数收敛的必要条件是：若级数收敛，则，故对某些极限，可将函数作为级数的一般项，只须证明此技术收敛，便有。

例

十一、利用幂级数的和函数求极限

当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和，此时常可以辅助性的构造一个函数项级数（通常为幂级数，有时为Fourier级数）。使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。

例求

7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）


8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）
可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，  xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化

11 还有个方法  ，非常方便的方法
  就是当趋近于无穷大时候
不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！
x的x次方快于  x！   快于  指数函数   快于   幂数函数   快于        对数函数（画图也能看出速率的快慢）  !!!!!!
当x趋近无穷的时候  他们的比值的极限一眼就能看出来了

12 换元法  是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中  

16直接使用求导数的定义来求极限，
  （一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，    看见了有特别注意）

第二篇：几种求极限方法的总结

几种求极限方法的总结

摘 要 极限是数学分析中的重要概念，也是数学分析中最基础最重要的内容.通过对求极限的学习和深入研究，我总结出十二种求极限的方法.       

关键词 定义  夹逼定理 单调有界 无穷小  洛必达 泰勒公式  数列求和定积分 定积分 数列 

 

                             

1 用定义求极限  

根据极限的定义：数列{}收敛a,〉0,N,当n〉N时，有-a〈.   

例1 用定义证明      

证明：要使不等式=成立：解得n,取N=，于是 N=，，有即

2利用两边夹定理求极限    

例2 求极限

 解：设      

则有：     

同时有： ，于是   由. 

有    

已知：   ∴=1        

3利用函数的单调有界性求极限

实数的连续性定理：单调有界数列必有极限.

例3  设，，（n=1,2,）(),求

解：显然是单调增加的。我们来证明它是有界的.易见   

， ，   ，       

从而    ，显然是单调增加的，所以 

两段除以，得      这就证明了的有界性    

设，对等式两边去极限，则有  解得 

4利用无穷小的性质求极限

关于无穷小的性质有三个，但应用最多的性质是：若函数f(x)(x是无穷小，函数g(x)在U（有界，则函数f(x)*g(x)(x是无穷小.    

例  求极限    

解4    

                                   而 

而故        

5 应用“两个重要极限”求极限  

            

例5求  

解         

∴原式=

6利用洛必达法则求极限

例6求（

解： =    

例7 求极限 （   

解 =                

7利用泰勒公式求极限     

例8：求极限        

解 ∵中分子为，∴将各函数展开到含项。   

当时，从而=1-   

    

∴原式=         

8利用数列求和来求极限    

有时做一些求极限的题时，若对原函数先做一些变形，化简之后再利用极限性质去求极限过程简便些。  

例9：求极限    

解：令，则    

-= 从而 

，∴ 原式=     

9用定积分求和式的极限    

例10 设函数f(x)在上连续，且f(x),求 

解 令T= 于是lnT==   

而    

所以 =     

10  利用定积分求极限    

利用定积分求极限可分为以下两种形式    

（1）型.   

定理1 设f(x)在上可积，则有： =   

例12 求      

解：设f(x)=x,f(x)在上可积。则 ==  

（2）型.  

定理2 设f(x)在上可积，则有=epx  

例13 求    

解：=   

令 f(x)=x,则有==exp=   

11利用数列的递推公式求极限   

这种方法实际上包含有两种方法    

（1）利用递推关系求出通项公式，然后求极限。这是基本的解法，它把极限的存在性与求极限问题一起解决.   

例14 设=1，，3（，求    

解：递推公式可化为3（ 

设，那么 所以，=1，

将以上各式相加得       

    

（1）  如果数列极限存在设为A，则根据递推公式求出A.令数列的第n项记为A+，利用无穷小和极限的关系，只需证明（，便可确定数列的极限确实存在且就为A.    

例15  证明数列 2，2+，2+，极限存在并求出这个极限.    

解：由题意知递推关系为，若数列的极限存在并设为A，则A=2+   

设 ，有递推关系得1+，即 因为  而  但2=1+，所以 即   由此推出数列的极限存在并且就为1+    

12 利用级数收敛的必要条件求极限    

当计算的题目形式很复杂时，可以作一个级数，看其是否收敛.再根据收敛的必要条件计算极限.   

收敛的必要条件：若级数收敛，则   

例16  计算    

解：作级数，令        

有达朗贝尔判别法知收敛.又有级数收敛的必要条件=0    

参考文献   

 陈传璋 金福临 朱学炎 数学分析（第二版）高等教育出版社 .1983.7 

 解红霞.《浅谈求极限的几种方法》.太原教育学院学报.2001.6 第19卷第2期   

 杨曼英  《极限的证明与求极限的方法》娄底师专学报  1994.第2期  

 唐守宪 《几种求极限的方法》沈阳师范学院学报 2003.1第22卷第1期