求极限的方法横向总结：

1 带根式的分式或简单根式加减法求极限： 1 ）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（ 有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上 ）

2 ）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到

2 分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。

3 等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。

4 分母是乘积分子是相同常数的 n 项的和求极限：列项求和

5 分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。

6 运用重要极限求极限（基本）。

7 乘除法中用等价无穷小量求极限。

8 函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。

9 常数比 0 型求极限：先求倒数的极限。

10 根号套根号型：约分，注意别约错了。

11 三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将 sin 化 cos

二，求极限的方法纵向总结：

1 未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（ x- 常数）的形式，然后约分（因为 x 不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。

2 未知数趋近于 0 或无穷： 1 ）将 x 放在相同的位置

2 ）用无穷小量与有界变量的乘积

3 ） 2 个重要极限

4 ）分式解法（上述）

第二篇：高数 第1章 极限计算方法总结

极限计算方法总结

一、极限定义、运算法则和一些结果

1．定义：

数列极限、函数极限，课本42页的表格必须认真填写并掌握。

说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；；等。

定义证明按着总结的四个步骤来，缺一不可！（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

2．极限运算法则

定理1 已知 ，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，

且（1）（2）

（3）   说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

3．两个重要极限

（1）  （2）  ；   

说明：（1）不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式。

     （2）一定注意两个重要极限成立的条件。

例如：，，；等等。

4．等价无穷小

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

定理3 当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：

～～～～～～ 。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成时（），仍有上面的等价

关系成立，例如：当时，  ～  ； ～ 。

 定理4 如果函数都是时的无穷小，且～，～，则当存在时，也存在且等于。

5．连续性

 定理5 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有 。求极限的一个方法。

6．极限存在准则

  定理6（准则1） 单调有界数列必有极限。

  定理7（准则2） 已知为三个数列，且满足：

（1） （2） ，

      则极限一定存在，且极限值也是a ，即。

二、求极限方法举例

1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

例1 

解：原式= 。

注：本题也可以用洛比达法则。

例2 

解：原式= 。

例3

解：原式 。

2． 利用函数的连续性（定理6）求极限

例4

解：因为是函数的一个连续点，

   所以  原式= 。

3． 利用两个重要极限求极限

例5

解：原式= 。

注：本题也可以用洛比达法则(第三章)

例6

解：原式= 。

例7

解：原式= 。

4． 利用定理2求极限

例8

解：原式=0 （定理2的结果）。

5． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限

  例9

  解：～，～， 原式= 。

例10

解：原式= 。

注：下面的解法是错误的：

   原式= 。

   正如下面例题解法错误一样：

    。

例11

解：，

  所以，  原式= 。（最后一步用到定理2）

5． 利用极限存在准则求极限

例20 已知，求

解：易证：数列单调递增，且有界（0<<2），由准则1极限存在，设 。对已知的递推公式 两边求极限，得：

 ，解得：或（不合题意，舍去）

所以 。

例21

解： 易见：

因为 ，

所以由准则2得： 。

上面对求第一章极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用洛必达、定积分求极限等，后面再作介绍。