极限计算方法总结

靳一东

《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。

一、极限定义、运算法则和一些结果

1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。

说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；；；等等

     （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

2．极限运算法则

定理1 已知 ，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有  （1）

（2）

（3）

     说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

3．两个重要极限

（1）             

（2）  ；   

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，

作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。

例如：，，；等等。

  4．等价无穷小

    定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

定理3 当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：

～～～～～～ 。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成时（），仍有上面的等价

关系成立，例如：当时，  ～  ； ～ 。

   定理4 如果函数都是时的无穷小，且～，～，则当存在时，也存在且等于，即=。

5．洛比达法则

  定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：（1）和的极限都是0或都是无穷大；

        （2）和都可导，且的导数不为0；

        （3）存在（或是无穷大）；

  则极限也一定存在，且等于，即= 。

说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。

6．连续性

  定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有 。

7．极限存在准则

  定理7（准则1） 单调有界数列必有极限。

  定理8（准则2） 已知为三个数列，且满足：

（1）

       （2） ，

      则极限一定存在，且极限值也是a ，即。

二、求极限方法举例

1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

例1 

解：原式= 。

注：本题也可以用洛比达法则。

例2 

解：原式= 。

例3

解：原式 。

2． 利用函数的连续性（定理6）求极限

例4

解：因为是函数的一个连续点，

   所以  原式= 。

3． 利用两个重要极限求极限

例5

解：原式= 。

注：本题也可以用洛比达法则。

例6

解：原式= 。

例7

解：原式= 。

4． 利用定理2求极限

例8

解：原式=0 （定理2的结果）。

5． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限

  例9

  解：～，～，

    原式= 。

例10

解：原式= 。

注：下面的解法是错误的：

   原式= 。

   正如下面例题解法错误一样：

    。

例11

解：，

  所以，  原式= 。（最后一步用到定理2）

6． 利用洛比达法则求极限

说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。

例12 （例4）

解：原式= 。（最后一步用到了重要极限）

例13

解：原式= 。

例14

解：原式== 。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）

例15

解：

例18

解：错误解法：原式= 。

  正确解法：

应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。

例19

解：易见：该极限是“”型，但用洛比达法则后得到：，此极限

不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：

原式= （分子、分母同时除以x）

    = （利用定理1和定理2）

7． 利用极限存在准则求极限

例20 已知，求

解：易证：数列单调递增，且有界（0<<2），由准则1极限存在，设 。对已知的递推公式 两边求极限，得：

 ，解得：或（不合题意，舍去）

所以 。

例21

解： 易见：

因为 ，

所以由准则2得： 。

上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用定积分求极限等，由于不常用，这里不作介绍。

第二篇：极限计算方法总结.doc

极限计算方法总结

靳一东

《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。

一、极限定义、运算法则和一些结果

1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。

说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；；；等等

     （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

2．极限运算法则

定理1 已知 ，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有  （1）

（2）

（3）

     说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

3．两个重要极限

（1）             

（2）  ；   

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，

作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。

例如：，，；等等。

  4．等价无穷小

    定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

定理3 当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：

～～～～～～ 。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成时（），仍有上面的等价

关系成立，例如：当时，  ～  ； ～ 。

   定理4 如果函数都是时的无穷小，且～，～，则当存在时，也存在且等于，即=。

5．洛比达法则

  定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：（1）和的极限都是0或都是无穷大；

        （2）和都可导，且的导数不为0；

        （3）存在（或是无穷大）；

  则极限也一定存在，且等于，即= 。

说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。

6．连续性

  定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有 。

7．极限存在准则

  定理7（准则1） 单调有界数列必有极限。

  定理8（准则2） 已知为三个数列，且满足：

（1）

       （2） ，

      则极限一定存在，且极限值也是a ，即。

二、求极限方法举例

1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

例1 

解：原式= 。

注：本题也可以用洛比达法则。

例2 

解：原式= 。

例3

解：原式 。

2． 利用函数的连续性（定理6）求极限

例4

解：因为是函数的一个连续点，

   所以  原式= 。

3． 利用两个重要极限求极限

例5

解：原式= 。

注：本题也可以用洛比达法则。

例6

解：原式= 。

例7

解：原式= 。

4． 利用定理2求极限

例8

解：原式=0 （定理2的结果）。

5． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限

  例9

  解：～，～，

    原式= 。

例10

解：原式= 。

注：下面的解法是错误的：

   原式= 。

   正如下面例题解法错误一样：

    。

例11

解：，

  所以，  原式= 。（最后一步用到定理2）

6． 利用洛比达法则求极限

说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。

例12 （例4）

解：原式= 。（最后一步用到了重要极限）

例13

解：原式= 。

例14

解：原式== 。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）

例15

解：

例18

解：错误解法：原式= 。

  正确解法：

应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。

例19

解：易见：该极限是“”型，但用洛比达法则后得到：，此极限

不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：

原式= （分子、分母同时除以x）

    = （利用定理1和定理2）

7． 利用极限存在准则求极限

例20 已知，求

解：易证：数列单调递增，且有界（0<<2），由准则1极限存在，设 。对已知的递推公式 两边求极限，得：

 ，解得：或（不合题意，舍去）

所以 。

例21

解： 易见：

因为 ，

所以由准则2得： 。

上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用定积分求极限等，由于不常用，这里不作介绍。