首先对极限的总结如下：

　　极限的保号性很重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致

　　1 极限分为 一般极限 ， 还有个数列极限， (区别在于数列极限时发散的， 是一般极限的一种)

　　2解决极限的方法如下：(我能列出来的全部列出来了!!!!!你还能有补充么???)

　　1 等价无穷小的转化， (只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在) e的X次方-1 或者 (1+x)的a次方-1等价于Ax 等等 。 全部熟记

　　(x趋近无穷的时候还原成无穷小)

　　2落笔他 法则 (大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法)

　　首先他的使用有严格的使用前提!!!!!!

　　必须是 X趋近 而不是N趋近!!!!!!!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件

　　(还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷!)

　　必须是 函数的导数要存在!!!!!!!!(假如告诉你g(x), 没告诉你是否可导， 直接用无疑于找死!!)

　　必须是 0比0 无穷大比无穷大!!!!!!!!!

　　当然还要注意分母不能为0

　　落笔他 法则分为3中情况

　　1 0比0 无穷比无穷 时候 直接用

　　2 0乘以无穷 无穷减去无穷 ( 应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了

　　3 0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方

　　对于(指数幂数)方程 方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ， ( 这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0)

　　3泰勒公式 (含有e的x次方的时候 ，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意 !!!!)

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求数列极限的方法总结

数学科学学院数学与应用数学08级汉班 **

指导教师   ****

摘　要　数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同的方面罗列了它的几种求法。

关键词   数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量

极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。

1.定义法

利用数列极限的定义求出数列的极限.设﹛Xn﹜是一个数列,a是实数,如果对任意给定的〉0,总存在一个正整数N，当n〉N时,都有<,我们就称a是数列{Xn}的极限.记为.

例1: 按定义证明.

解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n

      令1/n<,则让n>即可,

         存在N=[],当n>N时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n<成立,

所以.

2.利用极限四则运算法则

对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则.

例2:  求,其中.

解:  分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限

,

原式=,

3. 利用夹逼性定理求极限

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一、极限计算方法总结

1．性质：limf（x）?Ax??的充分必要条件是 ： limx???f（x）?limf（x）?Ax???

2. 极限运算法则

f(x)Alim[f(x)?g(x)]?A?B limf(x)?g(x)?A?B li?,(此时需B?0成立) g(x)B

说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

3．两个重要极限

（1） limx?0sinx?1 x

1

x（2） (1?1)x?e lim(1?x)?e ； limx??x?0

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，

sin3x4lim?1，lim(1?2x)?2x?e，lim(1?)3?e；lim(1?)x?e4。 例如：x??x?0x?0x??3x

4．无穷小

① 有限个无穷小的代数和是无穷小。

② 有限个无穷小的乘积是无穷小。

③ 有界函数（包括常数）与无穷小的乘积是无穷小。

5．等价无穷小

① 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

② 当x?0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：

（1）sinx～x； （2）arcsinx～x； （3）tanx～x；

x （4）arctanx～x； （5）ln(1?x)～x； （6）e?1～x 1x

x2

xx? （7）1?cosx～ （8）(1?x)?1～?x （9）a-1～lna 2

说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)?0），仍有上面的等价关系成立，例如：当x?0

时， e?1 ～

③ 如果函数3x3x ；ln(1?x2) ～ ?x2。 f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是x?x0时的无穷小，且f(x)～f1(x)，g(x)～g1(x)，则当x?x0limf1(x)f1(x)f1(x)f(x)f(x)存在时，lim也存在且等于f(x)lim，即lim=lim。 x?xx?xx?xx?x0000g(x)g(x)g1(x)g1(x)g1(x)

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电力电子科学与技术 101班

高等数学论文

极限方法总结

201010107 刘帅 201010110孙力铎2011-5-29

201010113张强

极限计算方法总结

一、极限定义、运算法则和一些结果

1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的

极限严格定义证明，例如：lim

lim(3x?1)?5；limqn??；等等 x?2n??不存在，当|q|?1时? （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需

再用极限严格定义证明。

2．极限运算法则

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有 （1）lim[f(x)?g(x)]?A?B

（2）limf(x)?g(x)?A?B b?0(a,b为常数且a?0)；n??0，当|q|?1时an?

（3）limf(x)A?,(此时需B?0成立) g(x)B

说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，

不能用。

3．两个重要极限

（1） limsinx?1 x?0x

1

x（2） (1?)x?e lim(1?x)?e ； limx??x?0

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 例如：limsin3x?1，lim(1?2x)x?0x?03x1?2x?e，lim(1?)?e；等等。 x??x3

4．等价无穷小

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

定理3 当x?0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1?x)～ex?1 。 说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)?0），仍有上面的等价

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假如高等数学是棵树木得话，那么 极限就是他的根， 函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎， 可见这一章的重要性。

为什么第一章如此重要？ 各个章节本质上都是极限， 是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面

首先 对 极限的总结 如下

极限的保号性很重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致

1 极限分为 一般极限 ， 还有个数列极限， （区别在于数列极限时发散的， 是一般极限的一种）

2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）

1 等价无穷小的转化， （只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者 （1+x）的a次方-1等价于Ax 等等 。 全部熟记

（x趋近无穷的时候还原成无穷小）

2落笔他 法则 （大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法）

首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！

必须是 X趋近 而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件

（还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷！）

必须是 函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导， 直接用无疑于找死！！）

必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！

当然还要注意分母不能为0

落笔他 法则分为3中情况

1 0比0 无穷比无穷 时候 直接用

2 0乘以无穷 无穷减去无穷 （ 应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了

3 0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方

对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ， （ 这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0）

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几种求极限方法的总结

摘 要 极限是数学分析中的重要概念，也是数学分析中最基础最重要的内容.通过对求极限的学习和深入研究，我总结出十二种求极限的方法.       

关键词 定义  夹逼定理 单调有界 无穷小  洛必达 泰勒公式  数列求和定积分 定积分 数列 

 

                             

1 用定义求极限  

根据极限的定义：数列{}收敛a,〉0,N,当n〉N时，有-a〈.   

例1 用定义证明      

证明：要使不等式=成立：解得n,取N=，于是 N=，，有即

2利用两边夹定理求极限    

例2 求极限

 解：设      

则有：     

同时有： ，于是   由. 

有    

已知：   ∴=1        

3利用函数的单调有界性求极限

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1．定义：

说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；

     （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

利用导数的定义求极限
　这种方法要求熟练的掌握导数的定义。

2．极限运算法则

定理1 已知 ，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有  （1）

（2）

（3）

     说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

. 利用极限的四则运算法求极限
这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。

　　

8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

例1 

解：原式= 。

注：本题也可以用洛比达法则。

例2 

解：原式= 。

例3

解：原式 。

3．两个重要极限

（1）             

（2）  ；   

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，

例如：，，；等等。

 

利用两个重要极限求极限

例5

解：原式= 。

注：本题也可以用洛比达法则。

例6

解：原式= 。

例7

解：原式= 。

4．等价无穷小

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