一、极限计算方法总结
1．性质：limf（x）?Ax??的充分必要条件是 ： limx???f（x）?limf（x）?Ax???
2. 极限运算法则
f(x)Alim[f(x)?g(x)]?A?B limf(x)?g(x)?A?B li?,(此时需B?0成立) g(x)B
说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
3．两个重要极限
（1） limx?0sinx?1 x
1
x（2） (1?1)x?e lim(1?x)?e ； limx??x?0
说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，
sin3x4lim?1，lim(1?2x)?2x?e，lim(1?)3?e；lim(1?)x?e4。 例如：x??x?0x?0x??3x
4．无穷小
① 有限个无穷小的代数和是无穷小。
② 有限个无穷小的乘积是无穷小。
③ 有界函数（包括常数）与无穷小的乘积是无穷小。
5．等价无穷小
① 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
② 当x?0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：
（1）sinx～x； （2）arcsinx～x； （3）tanx～x；
x （4）arctanx～x； （5）ln(1?x)～x； （6）e?1～x 1x
x2
xx? （7）1?cosx～ （8）(1?x)?1～?x （9）a-1～lna 2
说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)?0），仍有上面的等价关系成立，例如：当x?0
时， e?1 ～
③ 如果函数3x3x ；ln(1?x2) ～ ?x2。 f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是x?x0时的无穷小，且f(x)～f1(x)，g(x)～g1(x)，则当x?x0limf1(x)f1(x)f1(x)f(x)f(x)存在时，lim也存在且等于f(x)lim，即lim=lim。 x?xx?xx?xx?x0000g(x)g(x)g1(x)g1(x)g1(x)
5．洛比达法则
f(x)和g(x)满足：（1）f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大；
（2）f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；
（3）limf?(x)存在（或是无穷大）； ?g(x)
则极限limf(x)f?(x)f(x)f?(x)limlimlim也一定存在，且等于，即= 。 g(x)g?(x)g(x)g?(x)
0?”型或“”型；条件（2）一般0?说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“
都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。
6．连续性
一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x0是函数f(x)的定义去间内的一点，则有
x?x0limf(x)?f(x0) =f(lim) x?x0
7.夹逼准则
① 若g（x）≤f（x）≤h（x）且limg(x)?A ，limh(x)?A（或limg(x)?A ，limh(x)?A） x?0x?0x??x??
mil 则且limf(x)?A（（x?0x??f(x)?A）
n??n??② 如果数列?xn?、?yn?及?zn?满足：yn?xn?zn,(n?1,2,3,?)； limyn?a，limzn?a。
则数列?xn?的极限存在，且limxn?a n??
8.幂指函数
① 若limf(x)?A ，limg(x)?B且A>0,则有limf(x)g(x)?[limf(x)]x?x0
x?x0x?x0limg(x)x?x0x?x0?AB
② 若limf(x)x?x0g(x)g(x)f(x)，令y=两边同时取对数，lny=g（x）lnf（x）；则limlny?limg(x)?lnf（x）
9.特殊形式 m对于形如lix??f（x）的极限，f（x）、g（x）为多项式；用分子分母同时除以f（x）、g（x）中的最高次项，g（x）
再利用limx??1?0(K>0)可求结果（x区域有极值不能用该方法） XK
第二篇：求极限的方法总结
求数列极限的方法总结
摘 要 数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同的方面罗列了它的几种求法。
关键词 数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量
极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。
1.定义法
利用数列极限的定义求出数列的极限.设﹛Xn﹜是一个数列,a是实数,如果对任意给定的
〉0,总存在一个正整数N，当n〉N时,都有
<,我们就称a是数列{Xn}的极限.记为
.
例1: 按定义证明
.
解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n
令1/n<,则让n>
即可,
存在N=[],当n>N时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n<成立,
所以.
2.利用极限四则运算法则
对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则.
例2: 求
,其中
.
解: 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限
,
原式=
,
3. 利用夹逼性定理求极限
若存在正整数N,当n>N时,有Xn≤Yn≤Zn,且
,则有
.
例3:求{
}的极限.
解: 对任意正整数n,显然有
,
而
,
,由夹逼性定理得
.
4．换元法
通过换元将复杂的极限化为简单.
例4.求极限
，此时
解：若 有 
，令
则
5.单调有界原理
例5.证明数列
有极限，并求其极限。
证： 令 
，易知｛
｝递增，且
我们用归纳法证明 ≤2. 显然
。
若≤２ 则
。
故由单调有界原理｛｝收敛，设→
，则在 中两边取极限得 
即 
解之得 =２ 或 =-１ 明显不合要求，舍去，
从而 
6.先用数学归纳法,再求极限.
例6:求极限
解:
S=
设
=
则有S<
S2=S*S<S*=
而
,
再由夹逼性定理,得
=0
7.利用两个重要极限
,
.
例7:求
解: 原式=
8.利用等价无穷小来求极限
将数列化成自己熟悉的等价无穷小的形式然后求极限.
例8:求
解:当
的时候,
,
.
而此时,
,所以
原式=
9.用洛必达法则求极限.适用于
例9:求
解: 是
待定型.
=
10.积分的定义及性质
例10:求
解: =
设
,则
在[0,1]内连续,
所以, 
所以原式=
11.级数收敛的必要条件.
设
据必要条件知所求表达式的极限为0.
例11:求
解:设
,则
所以该级数收敛,所以=0
12.对表达式进行展开、合并、约分和因式分解以及分子分母有理化，三角函数的恒等变形。
例12. 求
解：
法一：原式=
法二：原式=
13.奇数列和偶数列的极限相同，则数列的极限就是这个极限。
例13：求
的值
解：奇数列为
=0
偶数列为
=0
所以=0
14．利于泰勒展开式求极限。
例14.求
解：原式=
(令t=
)
=
=
=
15.利于无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限。
利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量，无穷小量与无穷大量互为倒数的关系，以及有限个无穷小的和仍是无穷小等等。
例15：求
的值
解：因为
是无穷小量，而
是有界变量，所以
还是无穷小量，即
=0
16.利用数列的几何、算术平均值求极限。
数列{
}有极限，则它的几何平均值和算术平均值的极限与与原极限相同。
例16：求
的值
解：=
=
设
=
，因为知=1
所以，所求原式的极限就等于{}的极限
即原式=
=
17.绝对值中的极限
若
,则
例17：求
的值
解：=
=0
18.利用黎曼引理
例18：求
（a>0）
解：原式=
数列极限的方法还有很多，以上给与大致列举。本文在写作过程中得到了****老师多次精心指导，在此表示感谢。