极限计算方法总结

数学是专接本公共课重要的基础课之一，极限是数学的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限在专接本公共课数学考试中占13%-20%左右；学的好坏会关系到公共课数学的成绩。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。

一、极限定义、运算法则和一些结果

1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。

说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；；；等等

    

（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

2．极限运算法则

定理1 已知 ，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有  （1）

（2）

（3）

     说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

3．两个重要极限

（1）             

（2）  ；   

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，

作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。

例如：，，；等等。

  4．等价无穷小

    定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

定理3 当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：

～～～～～～ 。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成时（），仍有上面的等价

关系成立，例如：当时，  ～  ； ～ 。

   定理4 如果函数都是时的无穷小，且～，～，则当存在时，也存在且等于，即=。

5．洛比达法则

  定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：（1）和的极限都是0或都是无穷大；

        （2）和都可导，且的导数不为0；

        （3）存在（或是无穷大）；

  则极限也一定存在，且等于，即= 。

说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。

6．连续性

  定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有 。

7．极限存在准则

  定理7（准则1） 单调有界数列必有极限。

  定理8（准则2） 已知为三个数列，且满足：

（1）

       （2） ，

      则极限一定存在，且极限值也是a ，即。

二、求极限方法举例

1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

例1 

解：原式= 。

注：本题也可以用洛比达法则。

例2 

解：原式= 。

例3

解：原式 。

2． 利用函数的连续性（定理6）求极限

例4

解：因为是函数的一个连续点，

   所以  原式= 。

3． 利用两个重要极限求极限

例5

解：原式= 。

注：本题也可以用洛比达法则。

例6

解：原式= 。

例7

解：原式= 。

4． 利用定理2求极限

例8

解：原式=0 （定理2的结果）。

5． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限

  例9

  解：～，～，

    原式= 。

例10

解：原式= 。

注：下面的解法是错误的：

   原式= 。

   正如下面例题解法错误一样：

    。

例11

解：，

  所以，  原式= 。（最后一步用到定理2）

6． 利用洛比达法则求极限

说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。

例12 （例4）

解：原式= 。（最后一步用到了重要极限）

例13

解：原式= 。

例14

解：原式== 。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）

例15

解：

例18

解：错误解法：原式= 。

  正确解法：

应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。

例19

解：易见：该极限是“”型，但用洛比达法则后得到：，此极限

不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：

原式= （分子、分母同时除以x）

    = （利用定理1和定理2）

7． 利用极限存在准则求极限

例20 已知，求

解：易证：数列单调递增，且有界（0<<2），由准则1极限存在，设 。对已知的递推公式 两边求极限，得：

 ，解得：或（不合题意，舍去）

所以 。

例21

解： 易见：

因为 ，

所以由准则2得： 。

第二篇：归纳函数极限的计算方法

 

函数极限的计算方法

摘  要 ：本文总结出了求极限的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限.

关键词：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算

The sum of the Method of Computing Function Limit

Abstract：The write sums up in this article several ways of extacting the limit by the means of definition, formula,nature, theorem and so on.

Key Words：Function Limit；Computing method；L’Hospital rules; Four fundamental rules

前言

极限的概念是高等数学中一个最基本、最重要的概念，极限理论是研究连续、导数、积分、级数等的基本工具，因此正确理解和运用极限的概念、掌握极限的求法，对学好数学分析是十分重要的.求极限的方法很多且非常灵活，本文归纳了函数极限计算的一些常见方法和技巧.

1.预备知识

1.1函数极限的定义

设函数在点的某个空心邻域内有定义，为定数，若对任给的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限，记作或.

2.求函数极限的方法总结

极限是描述函数的变化趋势，以基于图形或直观结合定义可以求出一些简单的函数的极限；但是结构较为复杂的函数的图形不易画出，基于直观也就无法得出极限，本着化繁为简的思想，产生了极限的四则运算法则；由“数列的单调有界准则”和“迫敛准则”产生了两个重要极限和无穷小量的性质—有界函数与无穷小量的积仍是无穷小量；由中值定理得出了罗必达法则.以上也是我们求极限的理论依据，但在个依据下求极限又有各自的技巧.

2.1依据函数极限的迫敛性求极限

函数极限的迫敛性   设，且在某内有，则.

例1求极限

解：当时，有

而,由函数迫敛性可得

同理可得时,，即

    注：依据函数极限的迫敛性求极限时，需判断该函数的上下范围，这时通常用到以下不等式：

2.2 依据极限的四则运算求极限

依据极限的四则运算法则求极限的题目，除了直接使用极限的四则运算法则外，往往还有以下几种类型：

分母极限为0:可先采用“约简分式”或“分子、分母有理化”进行恒等变形，将分母极限化为非零，然后再运用法则：

例2 求极限（和都是正整数）

解：原式= 

=

等未定型：因“”不是一个数，故该类型的题目不能直接使用运算法则，但可以利用“无穷大量的导数”、“分式有理化”或“通分”等方法，将其转化为极限存在后，再运用法则计算.

例3求极限

解：原式=

= 

2.3 依据两个重要极限求极限

两个重要的极限:，.

函数经过一定变形，若能出现以下情况：

时，也可采用重要极限来求.

例4 求极限

解：原式=

例5 求极限

解：原式=

2.4依据等价无穷小替换求极限

求函数极限，若能恰当采用等价无穷小的代换，可以起到变难为易，化繁为简的作用.需要记住一些常见的等价无穷小, 如当时:

  

例6 求极限

解:原式

       

       

注:用等价无穷小替换求极限时，应注意只能用分子、分母整个部分去代换，或是把函数化成积的形式实行无穷小代换，对极限式的相加相减部分不能随意替代.

2.5 依据洛必达法则求极限

洛必达法则:

型不定式极限  若函数和满足:

(i);

(ii)在点的某空心邻域内两者都可导, 且

(iii)(可为实数, 也可为或), 则

型不定式极限  若函数和满足:

(i);

(ii)在点的某右邻域内两者都可导, 且

(iii)(可为实数, 也可为或), 则

因此函数为型，通常可采用此法，如下：

例7计算极限

解：原式

注：“洛必达法则”是求函数极限的有力工具，但在运用中，由于积、商、复合函数的求导会使分子、分母的项数增加, 导致求极限过程繁琐，因此用法则求型的极限是不够的，需综合运用其它方法才能发挥作用.

2.6 依据麦克劳林展开式求极限

一般常见函数的麦克劳林公式:

利用洛必达法则求型极限时，其结果是化成某阶导数的比，而麦克劳林展开式的各项系数正分别含着各阶导数的值，因此对型函数极限也可采用此法.

例8 求极限

解：

原式=

注：若本题采用洛必达法则去做，会导致计算过程繁杂.

2.7 运用函数的连续性求极限

函数的连续性定义:  设函数在某内有定义, 若

,

则称在点连续.

若函数在区间上的每一点都连续, 则称为上的连续函数.

例9 计算极限

思路：为连续函数, 为的定义区间上的一点，则.

解：原式=

2.8 运用导数的定义求极限

导数的定义:  设函数在点的某邻域内有定义, 若极限

存在, 则称函数在点处可导, 并称该极限值为函数在点处的导数, 记作.

     若函数在区间上的每一点都可导(对区间端点, 仅考虑相应的单侧导数), 则称为上的可导函数.

例10 计算

思路：对具有或形式的极限，可由导数的定义来进行计算.

解：原式=

2.9运用定积分的定义求极限

定积分的定义:  设是定义在上的一个函数, 是一个确定的实数.若对任意给的正数, 总存在某一正数, 使得对的任何分割, 以及在其上任意选取的点集, 只要, 就有

则称函数在区间上可积或黎曼可积;数称为在区间上的定积分或黎曼积分, 记作

例11 计算

思路：和式极限，利用定积分定义求得极限.

解：原式

        

        

2.10 运用微分中值定理求极限

拉格朗日中值定理:  若函数满足如下条件：

（i）在闭区间上连续；

（ii）在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得

.

例12：计算

思路：对函数在区间上运用拉格朗日中值定理，即可求得.

解：原式  （其中在区间内）

综上所述，求极限时，在不同的函数类型下，所采用的技巧是各不相同的，对同一题也可能有多种求法，有难有易，有时甚至需要结合上述各种方法，才能简单有效的求出，因此学会判断极限的类型和对以上的解法的灵活运用是必要的.

参考文献

[1]华东师范大学数学系. 数学分析（第五版）[M]. 高等教育出版社，2001.

[2]钱志良. 谈极限的求法[J]. 常州信息职业技术学院学报，2003.

[3]李占光. 函数极限的计算方法[J]. 长沙民政职业技术学院学报，2004.