等差等比数列的综合及数列求和
知识要点：
1、等差数列、等比数列的综合
（1）等差数列通项公式有如下求法：
∴
当
成立。
由此，这种“累加法”适用于如下数列
，
的数列求通项公式。
（2）等比数列通项公式有如下求法：
当
成立。
由此，这种“累乘法”知用于如下数列，
的数列求通项公式。
（3）“错位相减法”求“差比数列”的前n项和
等比数列前n项和公式采用的是“错位相减法”求得，用此方法还可以求符合条件的“差比数列”求前n项和：
，其中
是等差数列，
是等比数列，公差为d，公比为q
。
设
……（1）
两边同乘以q，得
……（2）
（1）－（2），得：
∴
2、数列求和
求
的方法有如下几种
（1）公式法：等差数列中
等比数列中
（2）错位相减法：如果一个数列的通项是由一个等比数列相应项乘积构成其前n项和公式可以采用“错位相减法”求得。
（3）裂项法：如果一个数列的通项公式是分式形式，通常可考虑采用这种方法。
3、方程与函数思想在等差数列、等比数列中的应用：
对于等差数列来说，其通项公式
可以写成自变量
的函数式，其图象是在同一条直线的一系列点，d为这些点所在直线的斜率，
纵截距。
等差数列的前n项和公式
可以写成自变量的函数式，其图象是分布在抛物线上的一系列点，
为二次项系数，
为一次项系数，常数项为0。容易知道，>0时
有最小值，<0时有最大值。
对于等比数列常采用方程的方法解决问题，解决问题时除用“代入法消元”、“加减法消元”之外还常用“除法消元”。
4、“换元法”求数列的通项公式
如果一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，但由
构造的新数列是等差数列或等比数列，通过求的通项公式，由解出的通项公式的方法是“换元法”我们也可以称之为“等差数列、等比数列转化法”。
第二篇：等差数列、等比数列的证明及数列求和
等差数列、等比数列的证明
1．已知数列
满足
，
，
（Ⅰ）求证：数列
是等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式。
2．已知数列满足
，
，
（Ⅰ）求证：数列
是等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式。
3．已知数列满足，
，
（Ⅰ）求证：数列
是等差数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式。
4．已知数列满足
，
，
（Ⅰ）求证：数列
是等差数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式。
5．已知数列，
是它的前
项和，且
，
（Ⅰ）设
，求证：数列
是等比数列；
（Ⅱ）设
，求证：数列
是等差数列；
（Ⅲ）求数列的通项公式。
数列求和的方法介绍
一、公式法
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。
1、等差数列求和公式：
2、等比数列求和公式：
二、错位相减法
这种方法是在推导等比数列的前项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列
的前项和，其中、分别是等差数列和等比数列
三、裂项相消法
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解，其中裂项是手段，相消是目的。常见的裂项法有：
（1）
（2）
（3）
（4）若等差，公差为
，则
【裂项原理】
（5）
例1、已知数列是等差数列，设其前项和为，若
，
（Ⅰ）求数列的通项公式
；
（Ⅱ）设
，求数列的前项和
例2、已知数列的通项公式为
，求前项和
例3、已知数列是等差数列，设其前项和为，若
，
（Ⅰ）求数列的通项公式和；
（Ⅱ）设
，求数列的前项和。