高中数学第三章 数列
考试内容：
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数学探索©版权所有www.delve.cn等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．
数学探索©版权所有www.delve.cn等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．
数学探索©版权所有www.delve.cn考试要求：
数学探索©版权所有www.delve.cn（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．
数学探索©版权所有www.delve.cn（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．
数学探索©版权所有www.delve.cn（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题．
§03. 数 列 知识要点
1. ⑴等差、等比数列：
⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：
①
②2
(
)
③
(
为常数).
⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：
①
②
(，
)①
注①：i. 
，是a、b、c成等比的双非条件，即
a、b、c等比数列.
ii. （ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.
iii. 
→为a、b、c等比数列的必要不充分.
iv. 
且
→为a、b、c等比数列的充要.
注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.
③
(
为非零常数).
④正数列{
}成等比的充要条件是数列{
}（
）成等比数列.
⑷数列{}的前
项和
与通项的关系：
[注]： ①
（
可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若不为0，则是等差数列充分条件）.
②等差{
}前n项和
→
可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）
2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍
；
②若等差数列的项数为2
，则
；
③若等差数列的项数为
，则
，且
，
.
3. 常用公式：①1+2+3 …+n =
②
③
[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…
； 5，55，555，…
.
4. 等比数列的前项和公式的常见应用题：
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为
，年增长率为
，则每年的产量成等比数列，公比为
. 其中第年产量为
，且过年后总产量为：
⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为
元. 因此，第二年年初可存款：
=
.
⑶分期付款应用题：为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；为年利率.
5. 数列常见的几种形式：
⑴
（p、q为二阶常数）
用特证根方法求解.
具体步骤：①写出特征方程
（
对应
，x对应
），并设二根
②若
可设
，若
可设
；③由初始值
确定
.
⑵
（P、r为常数）用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为
的形式，再用特征根方法求；④
（公式法），由确定.
①转化等差，等比：
.
②选代法：
.
③用特征方程求解：
.
④由选代法推导结果：
.
6. 几种常见的数列的思想方法：
⑴等差数列的前项和为，在
时，有最大值. 如何确定使取最大值时的值，有两种方法：
一是求使
，成立的值；二是由
利用二次函数的性质求的值.
⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差
的最小公倍数.
2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证
为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证
都成立。
3. 在等差数列｛
｝中,有关Sn 的最值问题：(1)当
>0,d<0时，满足
的项数m使得
取最大值. (2)当<0,d>0时，满足
的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
（三）、数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于
其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。
3.错位相减法:适用于
其中{ }是等差数列，
是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论
1）: 1+2+3+...+n = 
2） 1+3+5+...+(2n-1) =
3）
4） 
5） 
6） 
第二篇：20xx届高考数学基础知识总结：第七章 直线和圆的方程(北师大版)
高中数学第七章-直线和圆的方程
考试内容：
直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式．
两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离．
用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题．
曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程．
圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程．
考试要求：
（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．
（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．
（3）了解二元一次不等式表示平面区域．
（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用．
（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．
（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程．
§07. 直线和圆的方程 知识要点
一、直线方程.
1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是0????180?(0????). 注：①当??90?或x2?x1时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.
②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.
2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.
特别地，当直线经过两点(a,0),(0,b)，即直线在x轴，y轴上的截距分别为a,b(a?0,b?0)时，直线方程是：
注：若y??xy??1. ab222则这条直线的方程是y??x?2，但若y??x?2(x?0)x?2是一直线的方程，333
则不是这条线.
附：直线系：对于直线的斜截式方程y?kx?b，当k,b均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果k,b变化时，对应的直线也会变化.①当b为定植，k变化时，它们表示过定点（0，b）的直线束.②当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线.
3. ⑴两条直线平行：
l1∥l2?k1?k2两条直线平行的条件是：①l1和l2是两条不重合的直线. ②在l1和l2的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误. （一般的结论是：对于两条直线l1,l2，它们在y轴上的纵截距是b1,b2，则l1∥l2?k1?k2，且b1?b2或l1,l2的斜率均不存在，即A1B2?B1A2是平行的必要不充分条件，且C1?C2） 推论：如果两条直线l1,l2的倾斜角为?1,?2则l1∥l2??1??2. ⑵两条直线垂直：
两条直线垂直的条件：①设两条直线l1和l2的斜率分别为k1和k2，则有l1?l2?k1k2??1这里的前提是l1,l2的斜率都存在. ②l1?l2?k1?0，且l2的斜率不存在或k2?0，且l1的斜率不存在. （即A1B2?A2B1?0是垂直的充要条件）
4. 直线的交角：
⑴直线l1到l2的角（方向角）；直线l1到l2的角，是指直线l1绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合时所转动的角?，它的范围是(0,?)，当??90?时tan??k2?k1. 1?k1k2
⑵两条相交直线l1与l2的夹角：两条相交直线l1与l2的夹角，是指由l1与l2相交所成的四个
????角中最小的正角?，又称为l1和l2所成的角，它的取值范围是??0,2?，当??90，则有??
k2?k1. 1?k1k2
?l1:A1x?B1y?C1?0的交点的直线系方程A1x?B1y?C1??(A2x?B2y?C2)?0(?为l:Ax?By?C?022?22tan??5. 过两直线?
参数，A2x?B2y?C2?0不包括在内）
6. 点到直线的距离：
⑴点到直线的距离公式：设点P(x0,y0)，直线l:Ax?By?C?0,P到l的距离为d，则有d?Ax0?By0?C
A?B22.
注：
1. 两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P1P2|?(x2?x1)2?(y2?y1)2.
特例：点P(x,y)到原点O
的距离：|OP|?????????2. 定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段PP??PP2,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2).12所成的比为?即PP1
则 x?x1??x2y??y2 ,y?1
1??1??
特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。
3. 直线的倾斜角（0°≤?＜180°）、斜率:k?tan?
4. 过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式：k?
当x1
⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线l1:Ax?By?C1?0,l2:Ax?By?C2?0(C1?C2)，它们之间的距离为d，则有d?C1?C2
A?B22y2?y1. x2?x1(x1?x2) ?x2,y1?y2（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角?＝90?，没有斜率 .
注；直线系方程
1. 与直线：Ax+By+C= 0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( m?R, C≠m).
2. 与直线：Ax+By+C= 0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( m?R)
3. 过定点（x1,y1）的直线系方程是： A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B不全为0)
4. 过直线l1、l2交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+λ( A2x+B2y+C2）=0 (λ?R） 注：该直线系不含l2.
7. 关于点对称和关于某直线对称：
⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.
⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.
若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线. ⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.
注：①曲线、直线关于一直线（y??x?b）对称的解法：y换x，x换y. 例：曲线f(x ,y)=0关
于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2 ,x –2)=0.
②曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a – x, 2b – y)=0.
二、圆的方程.
1. ⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的 与一个二元方程f(x,y)?0的实数建立了如下关系：
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）. ⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点M(x,y)其坐标与方程f(x,y)?0的一种关系，曲线上任一点(x,y)是方程f(x,y)?0的解；反过来，满足方程f(x,y)?0的解所对应的点是曲线上的点.
注：如果曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P0(x0 ,y)线C上的充要条件是f(x0 ,y0)=0
2. 圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(x?a)2?(y?b)2?r2. 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2?y2?r2. 注：特殊圆的方程：①与x轴相切的圆方程(x?a)2?(y?b)2?b2 [r?b,圆心(a,b)或(a,?b)] ②与y轴相切的圆方程(x?a)2?(y?b)2?a2 [r?a,圆心(a,b)或(?a,b)] ③与x轴y轴都相切的圆方程(x?a)2?(y?a)2?a2 [r?a,圆心(?a,?a)]
3. 圆的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0 .
?DE?当D?E?4F?0时，方程表示一个圆，其中圆心C??,??，半径r?2??222D2?E2?4F. 2
当D2?E2?4F?0时，方程表示一个点???DE?,??. 22??
当D2?E2?4F?0时，方程无图形（称虚圆）.
注：①圆的参数方程：??x?a?rcos?（?为参数）. y?b?rsin??
②方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圆的充要条件是：B?0且A?C?0且D2?E2?4AF?0.
③圆的直径或方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)?(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0（用向量可征）.
4. 点和圆的位置关系：给定点M(x0,y0)及圆C:(x?a)2?(y?b)2?r2.
①M在圆C内?(x0?a)2?(y0?b)2?r2 ②M在圆C上?（x0?a)2?(y0?b)2?r2 ③M在圆C外?(x0?a)2?(y0?b)2?r2
5. 直线和圆的位置关系：
设圆圆C：(x?a)2?(y?b)2?r2(r?0)； 直线l：Ax?By?C?0(A2?B2?0)； 圆心C(a,b)到直线l的距离d?①d?r时，l与C相切；
22??x?y?D1x?E1y?F1?0?相减为公切线方程. 附：若两圆相切，则?22?x?y?Dx?Ey?F?0222?Aa?Bb?CA?B22.
②d?r时，l与C相交；
C1: x2?y2?D1x?E1y?F1?0附：公共弦方程：设
C2:x2?y2?D2x?E2y?F2?0
有两个交点，则其公共弦方程为(D1?D2)x?(E1?E2)y?(F1?F2)?0. ③d?r时，l与C相离.
22??x?y?D1x?E1y?F1?0?相减为圆心O1O2的连线的中与线方程. 附：若两圆相离，则?22??x?y?D2x?E2y?F2?0
??(x?a)2?(y?b)2?r2
由代数特征判断：方程组?用代入法，得关于x（或y）的一元二次方程，?Ax?Bx?C?0?其判别式为?，则：
??0?l与C相切；
??0?l与C相交；
??0?l与C相离.
注：若两圆为同心圆则x2?y2?D1x?E1y?F1?0，x2?y2?D2x?E2y?F2?0相减，不表示直线.
6. 圆的切线方程：圆x2?y2?r2的斜率为k的切线方程是y?kx??k2r过圆x2?y2?Dx?Ey?F?0
上一点P(x0,y0)的切线方程为：x0x?y0y?Dx?x0y?y0?E?F?0. 22
①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地，过圆x2?y2?r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x?y0y?r2.
?y1?y0?k(x1?x0)?b?y1?k(a?x1)，联立求出k?切线方程. B②若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则??R?
R2?1?C)
7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD四类共圆. 已知?O的方程x2?y2?Dx?Ey?F?0…① 又以
(x?xA)(x?a)?(y?yA)(x?b)?k2…② ABCD为圆为方程为
(xA?a)2?(yA?b)2
…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即为所求. R?42
三、曲线和方程
1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：
1） 曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解（纯粹性）；
2） 方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上（完备性）。则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线。
2.求曲线方程的方法：.
1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验; 2）参数法; 3）定义法， 4）待定系数法.
