等差数列性质总结
1.等差数列的定义式：
（d为常数）（
）；
2．等差数列通项公式：
， 首项:
，公差:d，末项:
推广： 
． 从而
；
3．等差中项
（1）如果
，
，
成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：
或
（2）等差中项：数列
是等差数列
4．等差数列的前n项和公式：
（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）
特别地，当项数为奇数
时，
是项数为2n+1的等差数列的中间项
（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）
5．等差数列的判定方法
（1） 定义法：若或
(常数
)
是等差数列．
（2） 等差中项：数列是等差数列
．
⑶数列是等差数列
（其中
是常数）。
（4）数列是等差数列
,（其中A、B是常数）。
6．等差数列的证明方法
定义法：若或(常数) 是等差数列
等差中项性质法：
．
7.提醒：
（1）等差数列的通项公式及前
和公式中，涉及到5个元素：、
、、及
，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）设项技巧：
①一般可设通项
②奇数个数成等差，可设为…，
…（公差为）；
③偶数个数成等差，可设为…，
,…（注意；公差为2）
8.等差数列的性质：
（1）当公差
时，
等差数列的通项公式
是关于的一次函数，且斜率为公差；
前和
是关于的二次函数且常数项为0.
（2）若公差
，则为递增等差数列，若公差
，则为递减等差数列，若公差
，则为常数列。
（3）当
时,则有
，特别地，当
时，则有
.
注：
，
（4）若
、
为等差数列，则
都为等差数列
(5) 若{}是等差数列，则
，…也成等差数列
（6）数列
为等差数列,每隔k(k
)项取出一项(
)仍为等差数列
（7）设数列是等差数列，d为公差，
是奇数项的和，
是偶数项项的和，
是前n项的和
。当项数为偶数
时，
。当项数为奇数
时，则
（其中
是项数为2n+1的等差数列的中间项）．
（8）
的前和分别为
、
，且
，
则
.
（9）等差数列的前n项和
，前m项和
，则前m+n项和
则
(10)求
的最值
法一：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性
。
法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前
项和的最大值是所有非负项之和
即当
由
可得达到最大值时的值．
（2） “首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。
即 当
由
可得达到最小值时的值．
或求
中正负分界项
注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；
②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．
第二篇：等差数列的性质总结
等差数列的性质总结
1.等差数列的定义：
（d为常数）（
）；
2．等差数列通项公式：
， 首项:
，公差:d，末项:
推广： 
． 从而
；
3．等差中项
（1）如果
，
，
成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：
或
（2）等差中项：数列
是等差数列
4．等差数列的前n项和公式：
（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）
特别地，当项数为奇数
时，
是项数为2n+1的等差数列的中间项
（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）
5．等差数列的判定方法
（1）定义法：若或
(常数
)
是等差数列．
（2）等差中项：数列是等差数．
⑶数列是等差数列
（其中
是常数）。
（4）数列是等差数列
,（其中A、B是常数）。
6．等差数列的证明方法
定义法：若或(常数) 是等差数列．
7.提醒：
（1）等差数列的通项公式及前
和公式中，涉及到5个元素：、
、、及
，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）设项技巧：
①一般可设通项
②奇数个数成等差，可设为…，
…（公差为）；
③偶数个数成等差，可设为…，
,…（注意；公差为2）
8..等差数列的性质：
（1）当公差
时，
等差数列的通项公式
是关于的一次函数，且斜率为公差；
前和
是关于的二次函数且常数项为0.
（2）若公差
，则为递增等差数列，若公差
，则为递减等差数列，若公差
，则为常数列。
（3）当
时,则有
，特别地，当
时，则有
.
注：
，
（4）若
、
为等差数列，则
都为等差数列
(5) 若{}是等差数列，则
，…也成等差数列
（6）数列
为等差数列,每隔k(k
)项取出一项(
)仍为等差数列
（7）设数列是等差数列，d为公差，
是奇数项的和，
是偶数项项的和，
是前n项的和
1.当项数为偶数
时，
2、当项数为奇数
时，则
（其中
是项数为2n+1的等差数列的中间项）．
（8）、
的前和分别为
、
，且
，
则
.
（9）等差数列的前n项和
，前m项和
，则前m+n项和
(10)求
的最值
法一：因等差数列前项和是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性
。
法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前
项和的最大值是所有非负项之和
即当
由
可得达到最大值时的值．
（2） “首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。
即 当
由
可得达到最小值时的值．
或求
中正负分界项
法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为
注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；
②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．