等差数列的性质总结
1.等差数列的定义:(d为常数)();
2.等差数列通项公式:
推广: . 从而;
3.等差中项
(1)如果,,成等差数列,那么叫做与的等差中项.即:或
(2)等差中项:数列是等差数列
4.等差数列的前n项和公式:
(其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0)
(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)
5.等差数列的判定方法
(1)定义法:若或(常数) 是等差数列.
(2) 等差中项:数列是等差数列.
(3) 数列是等差数列(其中是常数)。
(4) 数列是等差数列,(其中A、B是常数)。
6.等差数列的证明方法
定义法:若或(常数) 是等差数列.
7.提醒:
(1)等差数列的通项公式及前和公式中,涉及到5个元素:、、、及,其中、 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2
(2)设项技巧:
①一般可设通项
②奇数个数成等差,可设为…,…(公差为);
③偶数个数成等差,可设为…,,…(注意;公差为2)
8..等差数列的性质:
(1)当公差时,
等差数列的通项公式是关于的一次函数,且斜率为公差;
前和是关于的二次函数且常数项为0.
(2)若公差,则为递增等差数列,若公差,则为递减等差数列,若公差,则为常数列。
(3)当时,则有,特别地,当时,则有.
注:,
(4)若、为等差数列,则都为等差数列
(5) 若{}是等差数列,则 ,…也成等差数列
(6)数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列
(7)设数列是等差数列,d为公差,是奇数项的和,是偶数项项的和,是前n项的和
1.当项数为偶数时,
2、当项数为奇数时,则
(其中是项数为2n+1的等差数列的中间项).
(8)、的前和分别为、,且,
则.
(9)等差数列的前n项和,前m项和,则前m+n项和
(10)求的最值
法一:因等差数列前项和是关于的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的
特殊性。
法二:(1)“首正”的递减等差数列中,前项和的最大值是所有非负项之和
即当 由可得达到最大值时的值.
(2) “首负”的递增等差数列中,前项和的最小值是所有非正项之和。
即 当 由可得达到最小值时的值.或求中正负分界项
法三:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数,故n取离
二次函数对称轴最近的整数时,取最大值(或最小值)。若S p=S q 则其对称轴为
注意:解决等差数列问题时,通常考虑两类方法:
①基本量法:即运用条件转化为关于和的方程;
②巧妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量.
第二篇:等差数列性质若干性质总结
等差数列等比数列若干性质总结
等差通项公式的推广: 可以求d
(1)若,则;
(2)特别,若,则
(3)若数列是等差数列,是其前n项的和,,
那么,,成等差数列。
如下图所示:
(4)等差数列前2n项中,存在
(5)等差数列中:
数列有2n项时 ;;
数列有2n+1项:;
(6)前奇数项求和公式:
均为等差,且前n 项和分别为和 则有
(10).等比数列及其前项和的主要性质:
(1)等比通项公式的推广:
(2)若,则.
(3)若,则
(4)等比数列中,为前项和,成等比数列,且
等比数列前前n项和,前2n项中,前3n项;前4n项存在
关于取得最值的问题:
取得最大的n,从上理解为,最大的n 也是接近于1或等于1的n,建立式=1如果n可求,则取得最大的n值有二个,否则只有一个答案
(11)、求数列的前n项和的常用方法:分析通项,寻求解法
,
① 公式法:“差比之和”的数列:
②、并项法:
③、裂项相消法:
⑤、错位相减法:“差比之积”的数列: