课题：等差数列

教学目标：掌握等差数列的定义，通项公式和前项和的公式以及等差数列的相关性质，并能利用这些知识解决有关问题．

教学重点：等差数列的判断，通项公式、前项和公式、等差数列的性质应用．

（一） 主要知识： 

等差数列的判定方法：

定义法：常数（）为等差数列；

中项公式法：（）为等差数列；

通项公式法：（）为等差数列；

前项求和法：（）为等差数列；

（二）主要方法：

涉及等差数列的基本概念的问题，常用基本量来处理；

若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为；若偶数个成等差数列且和为定值时，可设中间两项为，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元．

等差数列的相关性质:

等差数列中，，变式；

等差数列的任意连续项的和构成的数列仍为等差数列．

等差数列中，若，则，

若，则

等差数列中，（其中）

两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列．

若是公差为的等差数列,则其子列也是等差数列,

且公差为;也是等差数列,且公差为

在项数为项的等差数列中，；

   在项数为项的等差数列中．                   

等差数列中，也是一个等差数列，即点（）在一条直线上; 点（）在一条直线上.

两个等差数列与中,分别是它们的前项和,则.

（三）典例分析：

问题1．（全国）设数列是递增等差数列，前三项的和为，前三项的

积为，求 （全国Ⅰ文）等差数列的前项和记为，已知，，  ①求通项；       ② 若，求

问题2．(北京春)在等差数列中，已知，

则                            

（届高三湖南师大附中第二次月考）在等差数列中，

，则       22    20      

（全国理Ⅱ）等差数列中，，，

则此数列前项和等于                  

（东北三校）设等差数列的前项和记为，若，

则                          

问题3．设等差数列的前项和为，已知，， 
(Ⅰ)求公差的取值范围；
(Ⅱ)指出, ,…,，中哪一个值最大,并说明理由

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

问题4．等差数列中，，，求数列的前项和

问题5． 已知数列的前项和为，且，

    求证：为等差数列，求的表达式.

（四）巩固练习：

填空：若一个等差数列前项的和为，最后三项的和为，且所有项的和为,则这个数列有       项；

等差数列前项和是，前项和是，则它的前项和是         

若是公差为的等差数列,如果,那么         

                   　

含个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为

                     

已知个数成等差数列，它们的和为，平方和为，求这个数

等差数列中共有项，且此数列中的奇数项之和为，偶数项之和为，，求其项数和中间项.

（五）课后作业：

（宿迁模拟）已知数列中，，若为等差数列，则

                               

（潍坊模拟）等差数列中，，，若在每相邻两项之间各插入一个数，使之成为等差数列，那么新的等差数列的公差是   

在等差数列中，，则此数列的前项之和等于

                                      

（江南十校）已知函数，数列满足，

求证：数列是等差数列；记，求.

（汕头模拟）已知数列中，，数列

（）数列满足（）.   

求证：数列是等差数列；求数列的最大项与最小项，并说明理由.

（六）走向高考：

（全国）等差数列中，已知，，，则是

                                                    

（春高考）设（）是等差数列，是前项和，，，

则下列结论错误的是     与均为的最大项

（福建文）设是等差数列的前项和，若，则              

                                                                           

（全国Ⅱ）设是等差数列的前项和，若，则

                                   

（福建）在等差数列中，已知则

    　　　    　 　　　  　 　　　　 

（广东）已知等差数列共有项，其中奇数项之和，偶数项之和为，则

其公差是　　　                  

 (陕西文) 已知等差数列中，，则该数列前项和等于 

                        

 (江西文) 在各项均不为零的等差数列中，若，则                                                        

 (全国Ⅰ文) 设是等差数列的前项和，若，则

                                      

 (山东文) 等差数列中，，，则         

（上海春）设，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得              

 （湖南）已知数列（）为等差数列，且，，则  　          　 

（海南）已知是等差数列，，其前项和，则其公差                                      

（陕西文）等差数列的前项和为，若，，则等于

                                  

（辽宁）设等差数列的前项和为，若，，则

                                         

(北京文)设等差数列的首项及公差都是整数,前项和为,

    (Ⅰ)若，,求数列的通项公式；

    (Ⅱ)若≥，，≤，,求所有可能的数列的通项公式.

（重庆）已知各项均为正数的数列的前项和满足，

且，（）．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足，并记为的前项和，

求证：（）．

（江苏）设数列、、满足：，（，…）证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且≤（，…）

第二篇：20xx年新课标高考数学题型全归纳：等差数列求和的故事

等差数列求和的故事

数学家高斯小时候做的题1+2+3+?+100，就是求公差为1的等差数列前100项的

和。小高斯想到的方法与等差数列前n项和的公式完全相同。

等差数列是一个古老的数学课题。例如，早在公元前2700年埃及数学的“莱因特

纸草书”中，就记载有相关的问题。在巴比伦晚期的“泥板文书”中，也有按递减分物的等差数列问题。

其中一个问题的大意是：

10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目。现知第八兄弟分得6两，问相邻两兄弟分得银子相差多少？

在我国公元五世纪写成的《张丘建算经》中，透过五个具体例子，分别给出了求公差、总和、项数的一般步骤。比如卷上第23题（用现代语叙述）：

有一女子不善织布，逐日所织布按数递减，已知第一日织5尺，最后一日织1尺，共织了30日，问共织布多少？

这实际上是一个已知首项、末项，以及项数求总数的问题。

等差数列有着较为广泛的实际应用。例如各种产品尺寸常要分成若干等级，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级，比如鞋的尺码。