数列

一、等差数列

题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。

例：等差数列，            

题型二、等差数列的通项公式：；

说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列。

例：1.已知等差数列中，等于（    ）

A．15   B．30   C．31   D．64

2.是首项，公差的等差数列，如果，则序号等于

（A）667    （B）668     （C）669      （D）670

      3.等差数列，则为             为              （填“递增数列”或“递减数列”）

题型三、等差中项的概念：

定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中       

  ，，成等差数列  即：  （）

例：1．设是公差为正数的等差数列，若，，则 （   ）

A．             B．             C．             D．

2.设数列是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（   ）

A．1     B.2     C.4     D.8

题型四、等差数列的性质：

（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；

（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； 

（3）在等差数列中，对任意，，，；

（4）在等差数列中，若，，，且，则；

题型五、等差数列的前和的求和公式：。(是等差数列 )

递推公式：

例：1.如果等差数列中，，那么

（A）14              （B）21            （C）28                （D）35

2.设是等差数列的前n项和，已知，，则等于(   )

A．13            B．35               C．49                D． 63    

3.已知数列是等差数列，，其前10项的和，则其公差等于(    )

       C.        D.

4.在等差数列中，，则的值为（   ）

（A）5          （B）6          （C）8         （D）10

5.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（   ）

A.13项                B.12项              C.11项              D.10项

6.已知等差数列的前项和为，若            

7.设等差数列的前项和为，若则          

8. 设等差数列的前项和为，若,则=    

9.设等差数列的前n项和为,若,则                   

10．已知数列｛b_n｝是等差数列，b₁=1，b₁+b₂+…+b₁₀=100.，则b_n=                  

11．设｛a_n｝为等差数列，S_n为数列｛a_n｝的前n项和，已知S₇＝7，S₁₅＝75，T_n为数列｛｝的前n项和，求T_n。

12.等差数列的前项和记为，已知①求通项；②若=242，求

13.在等差数列中，（1）已知；（2）已知；

(3)已知

题型六.对于一个等差数列：

（1）若项数为偶数，设共有项，则①偶奇； ② ；

（2）若项数为奇数，设共有项，则①奇偶；②。

题型七.对与一个等差数列，仍成等差数列。

例：1.等差数列{a_n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（    ）

A.130              B.170               C.210             D.260

2.一个等差数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为             。

3．已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为        

4.设为等差数列的前项和，=         

5．设S_n是等差数列｛a_n｝的前n项和，若＝，则＝

A．             B．               C．               D．

题型八．判断或证明一个数列是等差数列的方法：

①定义法：是等差数列

②中项法：是等差数列

③通项公式法：是等差数列

④前项和公式法：是等差数列

例：1.已知数列满足，则数列为 （   ）

A.等差数列    B.等比数列    C.既不是等差数列也不是等比数列    D.无法判断

    2.已知数列的通项为，则数列为 （   ）

A.等差数列    B.等比数列    C.既不是等差数列也不是等比数列    D.无法判断

3.已知一个数列的前n项和，则数列为（   ）

A.等差数列    B.等比数列    C.既不是等差数列也不是等比数列    D.无法判断

4.已知一个数列的前n项和，则数列为（   ）

A.等差数列    B.等比数列    C.既不是等差数列也不是等比数列    D.无法判断

5.已知一个数列满足，则数列为（   ）

A.等差数列    B.等比数列    C.既不是等差数列也不是等比数列    D.无法判断

6．设S_n是数列{a_n}的前n项和，且S_n=n²，则{a_n}是（    ）

A.等比数列，但不是等差数列                B.等差数列，但不是等比数列

C.等差数列，而且也是等比数列              D.既非等比数列又非等差数列

7.数列满足=8， （）

       ①求数列的通项公式；

题型九.数列最值

（1），时，有最大值；，时，有最小值；

（2）最值的求法：①若已知，的最值可求二次函数的最值；

可用二次函数最值的求法（）；②或者求出中的正、负分界项，即：

若已知，则最值时的值（）可如下确定或。

1.设｛a_n｝（n∈N^*）是等差数列，S_n是其前n项的和，且S₅＜S₆，S₆＝S₇＞S₈，则下列结论错误的是（    ）

A.d＜0      B.a₇＝0      C.S₉＞S₅               D.S₆与S₇均为S_n的最大值

2．等差数列中，，则前            项的和最大。

3．已知数列的通项（），则数列的前30项中最大项和最小项分别是      

4．设等差数列的前项和为，已知

  ①求出公差的范围，

  ②指出中哪一个值最大，并说明理由。

5.已知是等差数列，其中，公差。

（1）数列从哪一项开始小于0？

（2）求数列前项和的最大值，并求出对应的值．

6.已知是各项不为零的等差数列，其中，公差，若,求数列前项和的最大值．

7.在等差数列中，，，求的最大值．

题型十.利用求通项．

1.设数列的前n项和，则的值为（  ）

（A） 15              (B)  16         (C)   49         （D）64

2．已知数列的前项和则                                          

3.数列的前项和．（1）试写出数列的前5项；（2）数列是等差数列吗？（3）你能写出数列的通项公式吗？

4.已知数列中，前和

①求证：数列是等差数列

②求数列的通项公式

等比数列

等比数列定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：：。

一、递推关系与通项公式

1.等比数列{a_n}中，a₂＝8，a₁＝64，，则公比q为（  ）

（A）2          （B）3          （C）4          （D）8

2.在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则（   ）

A 33     B  72      C  84     D  189

3.在等比数列中,，则       

4.在等比数列中,,则  

5.在等比数列中，，，则=      

二、等比中项：若三个数成等比数列，则称为的等比中项，且为是成等比数列的必要而不充分条件.

1.和的等比中项为(   )

                                

2.设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（    ）    

A．     B．     C．     D．

三、等比数列的基本性质，

1.（1）

（2）

（3）为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.

（4）既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列.

1．在等比数列中,和是方程的两个根,则(     )

                              

2.等比数列的各项为正数，且（    ）

       A．12       B．10     C．8     D．2+

3.已知等比数列满足，且，则当时，（  ）

A.             B.           C.              D.

4. 在等比数列，已知，，则=            

5.在等比数列中，

①求   ②若

四、等比数列的前n项和，

例：

1．设，则等于（   ）

A．       B．       C．      D．

2.已知等比数列的首相，公比，则其前n项和         

3.已知等比数列的首相，公比，当项数n趋近与无穷大时，其前n项和         

4．设等比数列的公比为q，前n项和为S­_n，若S_n+1,S­_n，S_n+2成等差数列，则q的值为               .

5.设等比数列的前n项和为，已，求和

6．设等比数列｛a_n｝的前n项和为S_n，若S₃＋S₆＝2S₉，求数列的公比q；

五.等比数列的前n项和的性质

若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列.

1设等比数列{ }的前n 项和为，若  =3 ，则   =(    ) 

A. 2       B.       C.          D.3

2.一个等比数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为（   ）

A．83     B．108     C．75      D．63

3.已知数列是等比数列，且        

4.等比数列的判定法

（1）定义法：为等比数列；

（2）中项法：为等比数列；

（3）通项公式法：为等比数列；

（4）前项和法：为等比数列。

为等比数列。

例：1.已知数列的通项为，则数列为 （   ）

A.等差数列    B.等比数列    C.既不是等差数列也不是等比数列    D.无法判断

2.已知数列满足，则数列为 （   ）

A.等差数列    B.等比数列    C.既不是等差数列也不是等比数列    D.无法判断

3.已知一个数列的前n项和，则数列为（   ）

A.等差数列    B.等比数列    C.既不是等差数列也不是等比数列    D.无法判断

5.利用求通项．

例：1.数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，，n=1，2，3，……，求a₂，a₃，a₄的值及数列{a_n}的通项公式． 

2.已知数列的首项前项和为，且，证明数列是等比数列．

第二篇：数列知识点总结含答案

数列知识点总结                     

1. 等差数列的定义与性质

定义：（为常数），

等差中项：成等差数列

前项和

性质：是等差数列

（1）若，则

（2）数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为；

（3）若三个成等差数列，可设为

（4）若是等差数列，且前项和分别为，则

（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）

的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.

当，由可得达到最小值时的值.

(6)项数为偶数的等差数列，有

，.

（7）项数为奇数的等差数列，有

，

 ，.

2. 等比数列的定义与性质

定义：（为常数，），.

等比中项：成等比数列，或.

前项和：（要注意！）

性质：是等比数列

（1）若，则

（2）仍为等比数列,公比为.

注意：由求时应注意什么？时，；时，.

3．求数列通项公式的常用方法

（1）求差（商）法

如：数列，，求

解时，，∴                                   ①

时，                           ②

①—②得：，∴，∴

［练习］数列满足，求

注意到，代入得；又，∴是等比数列，

时，

（2）叠乘法

 如：数列中，，求

解，∴又，∴.

（3）等差型递推公式

由，求，用迭加法

时，两边相加得

∴

［练习］数列中，，求（）

（4）等比型递推公式

（为常数，）

可转化为等比数列，设

令，∴，∴是首项为为公比的等比数列

∴，∴

（5）倒数法

如：，求

由已知得：，∴

∴为等差数列，，公差为，∴，

∴

4. 求数列前n项和的常用方法

(1) 裂项法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.

如：是公差为的等差数列，求

解：由

∴

［练习］求和：

（2）错位相减法

若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比.

如：                                          ①

                         ②

①—②

时，，时，

（3）倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.

相加

［练习］已知，则

     

由

∴原式

                           练习题

一、选择题

1.如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列                                                    （  B ）

（A）为常数数列        （B）为非零的常数数列      （C）存在且唯一       （D）不存在

4．已知方程(x²－2x＋m)(x²－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则

｜m－n｜等于( C    )．

A．1                           B．                          C．                          D． 

5．等比数列{a_n}中，a₂＝9，a₅＝243，则{a_n}的前4项和为(   B  ).

A．81              B．120              C．168              D．192

2.在等差数列中，,且,,成等比数列，则的通项公式为                              （ D  ）

（A）   （B）     （C）或     （D）或

3.已知成等比数列，且分别为与、与的等差中项，则的值为                        （  C ）

（A）        （B）        （C）       （D） 不确定

4.互不相等的三个正数成等差数列，是a,b的等比中项，是b,c的等比中项，那么，，三个数（  A ）

（A）成等差数列不成等比数列              （B）成等比数列不成等差数列

（C）既成等差数列又成等比数列            （D）既不成等差数列，又不成等比数列

5.已知数列的前项和为,,则此数列的通项公式为                                  （ A）

（A）      （B）    （C）      （D）

6.数列的前项和，则关于数列的下列说法中，正确的个数有                         （ C  ）

①一定是等比数列，但不可能是等差数列   ②一定是等差数列，但不可能是等比数列   ③可能是等比数列，也可能是等差数列     ④可能既不是等差数列，又不是等比数列    ⑤可能既是等差数列，又是等比数列

（A）4         （B）3         （C）2        （D）1

7.数列1，,前n项和为                                                               （  A ）

      （A）    （B）    （C）   （D）

9、若两个等差数列、的前项和分别为 、，且满足，则的值为（  D   ）

（A）         （B）         （C）        （D）

10.已知数列的前项和为,则数列的前10项和为                               （ D）

（A）56       （B）58       （C）62        （D）60

11.已知数列的通项公式为, 从中依次取出第3，9，27，…3ⁿ, …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n项和为                                                                                     （  D   ）

（A）      （B）       （C）      （D）

12.下列命题中是真命题的是                                                                                 (   D  )

A．数列是等差数列的充要条件是()

B．已知一个数列的前项和为,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列

C．数列是等比数列的充要条件

D．如果一个数列的前项和,则此数列是等比数列的充要条件是

7．已知等差数列{a_n}的公差为2，若a₁，a₃，a₄成等比数列, 则a₂＝( B   )．

A．－4                        B．－6                        C．－8                        D． －10

8．设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若＝，则＝(   A  )．

A．1                           B．－1                        C．2                            D．

9．已知数列－1，a₁，a₂，－4成等差数列，－1，b₁，b₂，b₃，－4成等比数列，则的值是( A    )．

A．                         B．－                      C．－或         D．

二、填空题

13、各项都是正数的等比数列，公比,成等差数列，则公比=     

14、已知等差数列，公差,成等比数列，则=      

15、已知数列满足,则=      

一、解答题

17、已知数列是公差不为零的等差数列，数列是公比为的等比数列， ，求公比及.

 .a=a₁,a=a₁₀=a₁+9d,a=a₄₆=a₁+45d

由{a_bn}为等比数例，得（a₁+9d）²=a₁(a₁+45d)得a₁=3d,即a_b1=3d,a_b2=12d,a_b3=48d.

∴q=4   又由{a_bn}是{a_n}中的第b_na项，及a_bn=a_b1·4^n-1=3d·4^n-1,a₁+(b_n-1)d=3d·4^n-1 

∴b_n=3·4^n-1-2

18、已知等差数列的公差与等比数列的公比相等，且都等于 , ，,,求.

∴ a₃=3b₃ , a₁+2d=3a₁d²  ,(1-3d²)=-2d  ① 

 a₅=5b₅, a₁+4d=5a₁d₄ , ∴a₁(1-5d⁴)=-4d    ②

 ,得=2，∴ d²=1或d²=,

由题意，d=,a₁=-。∴a_n=a₁+(n-1)d=(n-6)   b_n=a₁d^n-1=-·()^n-1

20、已知为等比数列，，求的通项式.

.解: 设等比数列{a_n}的公比为q, 则q≠0, a₂= = , a₄=a₃q=2q

所以 + 2q= , 解得q₁= , q₂= 3,

当q₁=, a₁=18.所以 a_n=18×()^n－1= = 2×3^3－n. 

当q=3时, a₁= , 所以a_n=×3n－1=2×3^n－3.

21、数列的前项和记为

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求

(I)由可得，两式相减得

又 ∴

   故是首项为，公比为得等比数列

   ∴

（Ⅱ）设的公差为

由得，可得，可得

故可设

又

由题意可得

解得

∵等差数列的各项为正，∴

∴

∴

22、已知数列满足

    （I）求数列的通项公式；

    （II）若数列满足，证明：是等差数列；

22（I）：

      

       是以为首项，2为公比的等比数列。

      

       即　

       （II）证法一：

      

       　　　　　　　　　　　　　①

       　　　　　　②

       ②－①，得

       即                 ③

                            ④

　    ④－③，得　

       即　

      

       是等差数列。