武 汉 大 学
20##年攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目：线性代数 科目代码：491
一、（20分）设
是元素全为1的
阶方阵，
是阶单位矩阵。
（1）求行列式
的值，其中
是实常数；
（2）已知
，试确实所满足的条件，并求下列线性子空间的维数：
。
二、（20分）在欧氏空间
中，已知向量组
线性无关，向量组
。
（1）求向量组
的秩；
（2）试问
组能否由组线性表示？组能否由组线性表示？请阐述理由；
（3）求由向量组所生成的线性子空间的一个标准正交基。
三、（20分）已知实二次型
，问当
取何值时，
是正定的、半正定的、以及不定的二次型？
四、（20分）在欧氏空间
中，
为一已知单位向量，线性变换A定义为
A
，
（1）证明A是的一个正交变换；
（2）求A关于的基
，
，
的矩阵。
五、（20分）设是阶单位矩阵，证明：
（1）若
都是阶矩阵，
，且
是可逆矩阵，则
。
（2）若
，其中
是维列向量，
是的转置，则
的充分必要条件是
。
（3）若是阶实矩阵，且
，其中
是的转置矩阵，则是可逆矩阵。
六、（20分）设是
矩阵，
是
维列向量，证明下述命题相互等价：
（1）线性方程组
有解；
（2）齐次方程组
的任一解
必满足
；
（3）线性方程组
无解，其中
是维零向量。
七、（15分）设矩阵
有一个二重特征值
（1）试求的最小多项式与Jordan标准形；
（2）确定相似于对角矩阵的充分必要条件。
八、（15分）设是阶矩阵，
是的重特征值，
（1）求使
的最小正整数；
（2）证明：
必有一个列向量是的属于的特征向量。
第二篇：线性代数20xx年考研试题
20##年全国硕士研究生入学统一考试
(7)设向量组
线性无关,则下列向量组线形相关的是
(A)
(B)
(C)
(D)
(8)设矩阵
,
,则
与
(A)合同,且相似 (B)合同,但不相似
(C)不合同,但相似 (D)既不合同,也不相似
(15)设矩阵
,则
的秩为________.
(21)(本题满分11分)
设线性方程组
与方程
有公共解,求
的值及所有公共解.
(22)(本题满分11分)
设3阶实对称矩阵的特征向量值
是的属于特征值
的一个特征向量,记
其中
为3阶单位矩阵.
(1)验证
是矩阵的特征向量,并求的全部特征值与特征向量.
(2)求矩阵.