1、行列式

1.  行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；

2.  代数余子式的性质：

①、和的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；

3.  代数余子式和余子式的关系：

4.  设行列式：

将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；

将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；

将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；

将主副角线翻转后，所得行列式为，则；

5.  行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积；

③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；

④、和：副对角元素的乘积；

⑤、拉普拉斯展开式：、

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；

⑦、特征值；

6.  对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；

7.  证明的方法：

①、；

②、反证法；

③、构造齐次方程组，证明其有非零解；

④、利用秩，证明；

⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

1.  是阶可逆矩阵：

（是非奇异矩阵）；

（是满秩矩阵）

的行（列）向量组线性无关；

齐次方程组有非零解；

，总有唯一解；

与等价；

可表示成若干个初等矩阵的乘积；

的特征值全不为0；

是正定矩阵；

的行（列）向量组是的一组基；

是中某两组基的过渡矩阵；

2.  对于阶矩阵： 无条件恒成立；

3. 

4.  矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

5.  关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：

若，则：

Ⅰ、；

Ⅱ、；

②、；（主对角分块）

…… …… 余下全文

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线性代数讲义

       

目录 

第一讲   基本概念

     线性方程组  矩阵与向量  初等变换和阶梯形矩阵  线性方程组的矩阵消元法

第二讲   行列式

     完全展开式  化零降阶法  其它性质  克莱姆法则

第三讲   矩阵

     乘法  乘积矩阵的列向量和行向量  矩阵分解  矩阵方程  逆矩阵  伴随矩阵

第四讲   向量组

     线性表示  向量组的线性相关性  向量组的极大无关组和秩  矩阵的秩

第五讲   方程组

     解的性质  解的情况的判别  基础解系和通解

第六讲   特征向量与特征值  相似与对角化

     特征向量与特征值—概念,计算与应用  相似  对角化—判断与实现

附录一    内积 正交矩阵 施密特正交化 实对称矩阵的对角化

第七讲   二次型

     二次型及其矩阵  可逆线性变量替换  实对称矩阵的合同  标准化和规范化  惯性指数  正定二次型与正定矩阵

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《线性代数》复习提纲

第一章、行列式（值，不是矩阵）

1．行列式的定义：用个元素组成的记号称为n阶行列式。

　（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；

　（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；

2．行列式的计算

一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；

N阶（n3）行列式的计算：降阶法

　定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

　方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。

特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；

行列式值为0的几种情况：

Ⅰ　行列式某行（列）元素全为0；           Ⅱ　行列式某行（列）的对应元素相同；

Ⅲ　行列式某行（列）的元素对应成比例；  Ⅳ　奇数阶的反对称行列式。

3.概念：全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式、代数余子式

    定理：一个排列中任意两个元素对换，改变排列的奇偶性。

          奇排列变为标准排列的对换次数为基数，偶排列为偶数。

          n阶行列式也可定义：，t为的逆序数

4.行列式性质：

    1、行列式与其转置行列式相等。

2、互换行列式两行或两列，行列式变号。若有两行(列)相等或成比例，则为行列式0。

    3、行列式某行（列）乘数k,等于k乘此行列式。行列式某行（列）的公因子可提到外面。

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1、行列式

1.       行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；

2.       代数余子式的性质：

①、和的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；

3.       代数余子式和余子式的关系：

4.       设行列式：

将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；

将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；

将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；

将主副角线翻转后，所得行列式为，则；

5.       行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积；

③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；

④、和：副对角元素的乘积；

⑤、拉普拉斯展开式：、

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；

⑦、特征值；

6.       对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；

7.       证明的方法：

①、；

②、反证法；

③、构造齐次方程组，证明其有非零解；

④、利用秩，证明；

⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

1.       是阶可逆矩阵：

（是非奇异矩阵）；

（是满秩矩阵）

的行（列）向量组线性无关；

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考研数学线性代数重要考点总结

　一、行列式与矩阵

　　行列式、矩阵是线性代数中的基础章节，从命题人的角度来看，会结合其它章节出题，因此必须熟练掌握。

　　行列式的核心内容是求行列式——具体行列式的计算和抽象行列式的计算。其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型，主要方法是应用行列式的性质及按行(列)展开定理化为上下三角行列式求解;而对于抽象行列式而言，考点不在如何求行列式，而在于结合后面章节内容的相对综合的题。

　　矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵各种运算律、矩阵的基本性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩、初等矩阵等。

　　二、向量与线性方程组

　　向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节，而其后两章特征值和特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。

　　向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。

　　这部分的重要考点一是线性方程组所具有的两种形式——矩阵形式和向量形式;二是线性方程组与向量以及其它章节的各种内在联系。

　　(1)齐次线性方程组与向量线性相关、无关的联系

　　齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立——印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。

　　齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解;②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式中的变量只能全为零才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为零的变量使上式成立;但向量部分中判断向量组是否线性相关、无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系——齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关、无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。

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线性代数部分—矩阵理论

一、矩阵基本概念

1、矩阵的定义—形如，称为矩阵，记为。

特殊矩阵有

（1）零矩阵—所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵。

（2）方阵—行数和列数都相等的矩阵称为方阵。

（3）单位矩阵—主对角线上元素皆为1其余元素皆为零的矩阵称为单位矩阵。

（4）对称矩阵—元素关于主对角线成轴对称的矩阵称为对称矩阵。

2、同型矩阵—行数和列数相同的矩阵称为同型矩阵。若两个矩阵同型且对应元素相同，称两个矩阵相等。

3、矩阵运算

（1）矩阵加、减法：

，则

。

（2）数与矩阵之积：

。

（3）矩阵与矩阵之积：

设，则

，

其中（）

【注解】

（1）不一定有或。

（2）矩阵乘法没有交换律。

（3）含方阵的矩阵多项式可象普通多项式一样因式分解的充分必要条件是。

（4）设，则定义，且关于矩阵的矩阵多项式可因式分解。

二、方程组的矩阵形式及解的概况

方程组的基本形式为

                   （1）

称（1）为齐次线性方程组。

                  （2）

称（2）为非齐线性方程组。

令    ，，，则（1）、（2）可分别表示为矩阵形式：

                               （1）

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1、行列式

1.         行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；

2.         代数余子式的性质：

①和的大小无关；

②某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

③某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；

3.         代数余子式和余子式的关系：

4.         设行列式：

将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；

将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；

将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；

将主副角线翻转后，所得行列式为，则；

5.         行列式的重要公式：

①主对角行列式：主对角元素的乘积；

②副对角行列式：副对角元素的乘积；

③上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；

④和：副对角元素的乘积；

⑤拉普拉斯展开式：、

⑥范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；

⑦特征值；

6.         对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；

7.         证明的方法：

①；

②反证法；

③构造齐次方程组，证明其有非零解；

④利用秩，证明；

⑤证明0是其特征值；

2、矩阵

1.         是阶可逆矩阵：

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