组合

知识点1 组合的定义（重点；理解）

一般地，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.

知识点2 组合数与组合数公式（重点；掌握）

1） 组合数的定义

从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示， 规定.

2）组合数公式

（1）公式；(用于求值)

（2）公式.（一般用于化简、证明）.

知识点3 组合数的两个性质（难点；掌握）

性质1：.

性质2：.

考点1：排序组合

例1 （1）有四个元素，写出每次取出2个元素的所有组合；

（2）有五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合.

考点2：组合数的计算或证明

例2 化简（1）；

（2）.().

（3）；     （4）；    （5）求证

考点3：利用组合知识解决实际问题

例4 有6本不同的书，按照以下要求处理，各有多少种分法？

（1）   一堆一本，一堆两本，一堆三本；

（2）   甲得一本，乙得两本，丙得三本；

（3）   一人得一本，一人得两本，一人得三本；

（4）   平均分给甲、乙、丙三人；

（5）   平均分成三堆.

例5 车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外有2名师傅既能当车工又能当钳工.现要在这11名工人中选派4名钳工，4名车工修理一台机床，有多少种不同的选派方法？

考点4：与几何有关的组合应用题

例6 已知平面内有4个点，平面内有5个点.

（1）这九个点最多能确定多少个平面？

（2）这九个点最多能确定多少个四面体？

6 （1）以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？

（2）以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？

考点5：产品抽取问题

例7 在产品质量检验时，常从产品中抽取一部分进行检查，现有200件产品，其中有197件正品，3件次品，从中任意抽取5件检查.

（1）   共有多少种不同的抽法？

（2）   至少有2件是次品的抽法有多少种？

考点6：分组问题与分配问题

例8 将4个编号为1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中.

（1）   有多少种放法？

（2）   每盒有一个球，有多少种放法？

（3）   恰好有一个空盒，有多少种放法？

（4）   每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？

（5）   若把4个不同的小球换成4个大小相同的小球放入盒子中，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？

考点7：排列、组合综合应用问题

例9 从6名运动员中选出4人参加接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑最后一棒，那么共有多少种不同的参赛方法？

同步练习—组合

1（2009湖南）从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（       ）.

2（2010湖北）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（        ）.

3（2010湖南）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息.若所有数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（        ）.

4（2011合肥）在20##年某大学的小语种提前招生考试中，某中学共获得了5个推荐名额，其中俄语2名，日语2名，西班牙语1名，并且日语和俄语都要求必须男生参加考试.学校通过选拔定下3男2女五个推荐对象，则不同的推荐方案共有（        ）.

5（2010全国）将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（       ）种.

6(2010重庆)某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天，若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（      ）种.

7（2010山东）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（    ）种.

8（2010江西）将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有（         ）种.

9（2011天津）把5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分发种数为(      ).

10 袋中有红、黄、白三种颜色的球各2个，从中任意取出4个球，试求恰得2个红球和2个其他不同颜色的球的取法有多少种？

11 有9名工人，其中4人只会排版，3人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现在从中选3人排版，3人印刷，共有多少种选法？

12 已知，求.

同步训练—组合2

1.不等式的解为（    ）

A.         B.        C.       D.

2. = (     )    A.       B.      C.       D.

2.从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人参加，则不同的选派方法有（     ）     A. 60种       B. 48种       C. 30种       D. 10种

3. 某食堂中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法搭配午餐：

（1）任选两种荤菜，两种蔬菜和白米饭；（2）任选一种荤菜，两种蔬菜和蛋炒饭，则每天午餐的不同搭配方法有（      ）  A. 22种      B. 56种       C. 210种      D. 420种

4.从4台A型笔记本电脑和5台B型笔记本电脑中任意选取3台，其中至少要有A型和B型笔记本电脑各一台，则不同的选取方法共有（    ）   A.140种    B.84种    C.70种    D.35种

5.已知集合A=，其中为类元素，为类元素.从集合A中取出3个元素再组成集合，其中至少有一个类元素组成的不同集合的个数是（    ）.

A.42        B.31        C.27        D.21

6. 某班由8名女生和12名男生组成，现要组织5名学生外出参观，若这5名成员按性别分层抽样产生，则参观团的组成方法共有（      ）种.

7.5枚相同的白棋子和3枚相同的黑棋子排成一行，可以得到（     ）种不同的图案.

8.五位大学毕业生被某工厂招聘去四个部门上岗，其中岗位需要2人，其余岗位各需要1人，而大学生甲因专业限制不能上岗位，那么上岗的不同方法有（       ）种.

9.有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.其中恰有2个盒子不放球，有多少种方法？

10.“抗震救灾”，在“四川5.12”抗震救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家.

（1）抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？

（2）至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？

（3）至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？

11.设集合A=，求所有的集合A的三元子集（含有3个元素的子集）中的各元素之和.

第二篇：排列组合知识点总结

排列组合 二项式定理

1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情） 分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法 2，排列

3，组合

组合定义 从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

组合数 从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有组合个数

C

mn

Cn=

m

n!

m!(n?m)!

性质

Cn=Cn

mn?m

Cn?1?

m

Cn?

m

C

?m1n

排列组合题型总结 一． 直接法

1 .特殊元素法

例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 （1）数字1不排在个位和千位

（2）数字1不在个位，数字6不在千位。

分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择

2A52A4=240

A52，其余

2位有四个可供选择

2

A4，由乘法原理：

2．特殊位置法

（2）当1在千位时余下三位有有

311

A5=60，1不在千位时，千位有A4种选法，个位有A4种，余下的

1122

A4，共有A4A4A4=192所以总共有192+60=252

二 间接法

当2）可用间接法

432

A6?2A5?A4=252

Eg 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，

将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？

33

?23?A3 分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数C5个，其中0在百

22

?22?A2位的有C4个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数3322

C5?23?A3?22?A2-C4=432

Eg 三个女生和五个男生排成一排

（1） 女生必须全排在一起 有多少种排法（ 捆绑法） （2） 女生必须全分开 （插空法 须排的元素必须相邻） （3） 两端不能排女生 （4） 两端不能全排女生

（5） 如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法

二． 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。

例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插

入方法？

分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有中插入方法。

三． 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。

1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（C4

23A3）

11

A9?A10=100

,2，某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（C29

1

1

19?A28）（注意

连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有C29其余的就是19所学校选28天进行排列）

四． 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法

例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 。

分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有C11种

7

五 平均分推问题

eg 6本不同的书按一下方式处理，各有几种分发？

（1） 平均分成三堆，

（2） 平均分给甲乙丙三人

（3） 一堆一本，一堆两本，一对三本

（4） 甲得一本，乙得两本，丙得三本（一种分组对应一种方案） （5） 一人的一本，一人的两本，一人的三本

分析：1，分出三堆书（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由顺序不同可以有A33=6种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有

22C62C4C2

=15种 3

A3

2，六本不同的书，平均分成三堆有x种，平均分给甲乙丙三人 就有xA3种 C6C4C2 3，

五． 合并单元格解决染色问题

Eg 如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）。 分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5． 下面分情况讨论:

(ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素 ①③⑤的全排列数

3

2

2

2

C6C5C3 5，A3

1233

CCC

6

5

1233

A

4

4

（ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得（ⅲ）当2、4与3、5 ①

A 种着色法．

4

4

分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格

从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有 由加法原理知：不同着色方法共有2

4

C4?A3种方法．

3

3

33

A4?C4A3=48+24=72（种）

练习1（天津卷（文））将3种作物种植

在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ， 不同的种植方法共 种（以数字作答） （72）

2．某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图3），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作答）．（120）

图3 图4

3．如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数．（540）

4．如图5：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是 种（84）

1

24

3

5

6

2

13

4

BA

C

DE

图5 图6

5．将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共 种（420）