求数列通项公式的方法
一、观察法：通过观察数列的前几项，归纳猜想数列的通项公式
（一）公式法：通过观察，若数列是等差或等比数列，则可确定基本量套等差或等比数列的通项公式，这种求通项公式的称为公式法
（1）1，2，3，4，5，……； （2）1，2，4，8，16，……；
（3）1，-1，1，-1，1，-1，……；
此法的观察角度：数列是否成等差或等比数列
（二）类比联想法：象这样联想基本数列（基本函数），找出与基本数列的关系，求通项公式的方法叫联想类比法（需熟记一些基本数列的通项公式）
常用基本数列有：
（1）1，2，3，4，5，…… （2）1，2，4，8，16，……
（3）-1，1，-1，1，-1，…… （4）1，-1，1，-1，1，……
（5）9，99，999，9999，99999，……等。
请根据前几项，求下列数列的通项公式
（1）1，4，9，16，25，… （2）1，0，1，0，1，0，…
（3） 0，1，0，1，0，1，… （4）2，3，5，9，17，…
解：（1）类比数列1，2，3，4，5，…… （2）类比数列1，-1，1，-1 ，1，……
（3）类比树列-1，1，-1，1，-1，……或（2）中数列 （4）类比数列1，2，4，8 ，16，……
此法的观察角度：找已知通项公式的基本数列的关系，（如：运算关系）
（三）变形转化法：通过对数列的各项进行变形，转化为等差或等比数列用公式法，这种方法叫变形转化法。变形目的化归等差（比）数列，
请根据数列的前几项，求下列数列的通项公式
（1）11，103，1005，10007，……（2）9，99，999，9999，……（3）
解：（1）变形为10+1，100+3，1000+5，10000+7，…（2）变形为10-1，100-1，1000-1，10000-1，…
（3）变形为
此法的观察角度：变形后，先观察部分规律，然后得整体
（四）、逐项作差（商）累加（乘）法：若通过观察，发现数列从第二项起，每一项与它前一项的差（或商）成等差（比）数列，则可通过累加（或累乘）转化为等差（比）数列的前n项和，求数列的通项公式，此法叫做逐项求差累加法。等差（比）数列通项的推导就是此法
请根据前几项，求下列数列的通项公式
（1）3，5，9，15，23，……
（2）9，99，999，9999，……
解：（1）
=（5-3）+（9-5）+（15-9）+（23-15）+…… +3
=（2+4+6+8+……）+3
=
此法的观察角度：逐项求差组成的数列是否成等差数列或等比数列
思路整合
上述四种方法可统称为观察法，都是通过观察前几项，归纳猜想数列的通项，其基本思路是：
首先要观察 ：观察的角度有①数列是否为等差或等比，若是，则用公式法；
②若不是，则可类比基本数列（即找与基本数列的关系）或③变形转化为等差（或等比）数列用公式法或④通过逐项求差（商）累（乘）化归为等差或等比的前n项和来求通项。
其次观察时要遵循先部分后整体的原则，符号的规律用基本数列来 调解。
如：分式形式的数列，分子找规律，得分子的通项，分母找规律，得分母的通项，这是先部分，然后得出整体的通项。又如：正负相间的数列，可先定符号。
二、由前
项和
与通项 的关系：
求通项
例1：已知数列 前n项和为
（1）若 ，求
（2）若 ，求
（3）若
，求
解法一：求出数列的前几项，归纳猜想求通项公式
解法二：判断数列为等差数列，用公式法求通项公式
解法三：由数列的 与的 关系求通项公式，易错点：易忽略公式是分段的
例2、已知数列 的前n项和为 ，且 求
评：（1）用 转换，转换方式有两种，或保留 或保留
（2）两种方法的实质方程思想中的消元统一变量，
例3 、若数列 的前n项和为 ，求数列 的通项公式
例4、各项均为正数等差数列 且 成等差数列，求数列 的通项公式。
例5、（2008全国2）设数列
的前n项和为Sn，已知
，设
求数列
的通项公式。
例6：（2008山东）已知数列的前n项和为，且b1=1,
，求数列的通项公式。
例7、设数列的前n项和为Sn，且
，求
三、利用递推关系求通项的方法：
1、
2、
3、
4、
思路一、根据递推关系，求出前几项利用观察法求通项。
思路二、适当变形（两边加减一个适当的数、取倒数、取对数等）构造数列，化归为等差或等比数列
思路三、采取累加累乘或采用迭代的方法
例1、
（1）已知数列，
，求
（2）已知数列，
，
，求
例2、
1、已知
求；
2、已知
求
例3：1、已知数列中，
，求
2、已知数列中，
，求
例4、
1、在数列中，
求；
2、在数列中，，
3、已知数列中，，
，求数列的通项公式
例5、
1、已知数列｛a
｝满足a
=1，a=3
+2a
（n≥2）求数列｛a｝的通项
2、已知数列｛a｝已知数列｛a｝中a=1，且a
=a
+（－1）
，
a
=a+3，其中k=1，2，3 …，（1）求a
，a
（2）求｛a｝的通项公式
第二篇：求数列通项公式方法总结
求数列通项公式方法总结
一、 观察法
利用等差数列、等比数列的通项公式求解。 例1． 写出下列数列的通项公式
371531（1）,,,,? an481632
111（2）1,?,,?,? an357
（3）1,3,5,7… an
（4）已知等差数列?an?满足：a3?7,a5?a7?26， 求an
n?1?S1,二、 利用an??求an S?S,n?1n?1?n
例2.已知数列?an?的前n项和Sn?解：?Sn?3?an?1? 23?an?1?，求通项公式an. 2
?当n?1时，a1?S1?
S2?a1?a2?3?a1?1?2?a1?33?a2?1?2?a2?9
3?an?1?-3?an-1?1??3an-3an-1 2222a?3且2?3a1 当n?1时，an?Sn-Sn-1?13?an?an-122?an
an-1
??an?是首项为3，公比为3的等比数列，?an?a1qn-1?3?3n-1?3n
练习：已知数列?an?的前n项和Sn?2n?1，求通项公式an.
三、 累加法
适用于：an?1?an?f?n? ，变形为an?1?an?f(n)（f?n?易求和） 例3. 已知数列{an}满足an?1?an?2n,a1?1，求数列通项公式an。 解：由an?1?an?2n得an?1?an?2n
?a2?a1?2?1
a3?a2?2?2
a4?a3?2?3
??
an?an?1?2?n?1?
累加得an?a1??2?1???2?2???2?3????2?n?1?
?2?1?2?3????n?1??
2
?an?n2?n?a1?n2?n?1?2??n?1?n?n2?n 练习：已知数列?an?中，an?1?an?2n,a1?1，求通项公式an.
四、 累乘法
适用于：an?1?f?n?an ，变形为an?1?f?n? an例4. 已知数列?an?满足
解：由an?1?a1?2nan?1?an3，n?1，求an nann?1得an?1?n ann?1
?aa21a32a43n?1?,?,?,?,n?a12a23a34an?1n
aa2a3a4123n?1?????n??????a1a2a3an?1234n 累乘得
?an1?a1n
12a1?n3n?an?
练习：已知数列?an?中，an?1?2nan, a1?1，求通项公式an.
五、 构造转化法
适用于an?1?pan?q或an?1?pan?f(n)，构造成等差或等比数列。
*an??a?1,a?2a?1(n?N). 求通项公式an?1n例5. 已知数列满足1n.
*?a?2a?1(n?N), n?1n解：
?an?1?1?2(an?1), ??an?1?是以a1?1?2为首项，2为公比的等比数列。 ?an?1?2n. 即 an?22?1(n?N*).
2an?1，求通项公式an. 3练习：已知数列?an?中，a1?1,an?1?
例6. 已知数列{an}满足解：?an?1?
1
an?1an?1?2an,a1?1an?2，求数列{an}的通项公式。 2ana?2111两边取倒数得 ?n??an?2an?12an2an??11? an2
?1?11???是首项为?1，公差的等差数列 2a1?an?
?111n?1 ???n?1?d?1??n?1???ana122
2 n?1?an?
练习：已知数列{an}满足a1?1, an?1an，求通项公式an. ?32an?3