数列求和方法总结例题和答案全解
1 直接求和
适用于等差数列或等比数列的求和（指前
项和）问题,在四个量
（或
）, 
中,已知三个量时,可以求出
来,我们简称为“知三求和”问题.它们的求和问题可以直接利用求和公式解决.
等差数列前项和公式：已知
时,利用公式
求和；
已知
时,利用公式
求和.
等比数列前项和公式：已知
时,利用公式
求和；
已知
时,利用公式
(
)求和.
例1
此式可看为一个等比数列的前项和,且此等比数列首项为1,公比为
,故可直接运用等比数列前项和公式
() 求和.
解
例2 一个等差数列的前项和等于
,前项和等于（其中m
）,试求这个数列的前
项和.
根据等差数列前项和公式运用所需的条件最好先求出数列首项
与公差
,然后运用求和.
解 设这个数列的首项为
,公差为,根据已知条件,有
得
=
因为
所以
由此得 
，
于是,这个数列的前项和为
2 转化求和
适用于不是等差数列或等比数列,不便直接求其前项和的数列.
2.1反序相加法
将
与
两式相加,如果得到一个常数列,其和为
,那么
例3已知
满足
,当
时,
,若
求
由知只要自变量即成立,又知
1
,…,则易求
解 因为, ①
所以
②
①+②,得
所以
2.2错项相减法
如果数列
中的
和
分别是等差数列和等比数列且等比数列公比为
,那么
与
两式“错项相减”可以求出
例4求和：1
数列2
,2
,2
,…,2,1与1,2,3,…,,
分别是等比数列（
）与等差数列（
）,可考虑用“错项相减法”求和.
解 令1 ①
则 1
＋
②
①-②,得
.
则
.
2.3组合数法
原数列各项可写成组合数形式,则可利用公式
求解.
例5求
的和
由
知可利用“组合数法”求和
解 
…
.
3 裂项求和
将数列的每一项分裂成两项之差,如果求数列的前项和时,除首尾若干项外,其余各项可以交叉相消.
例6求
此数列
故知拆项后是一个等比数列.
解 因为,
所以
.
例7 求证
<
此为分数数列求和问题,仍然用裂项求和法,难点在于分母出现了阶乘,为此,需将数列的第
项作一些恒等变形,以便将其分裂为两项之差.
解 因为
（
）
所以
<.
4 归纳求和
针对可猜想出其前项和的数列.
4.1直接利用归纳法
猜测出数列前n项和的形式，直接利用数学归纳法证明结论
例8在一个圆的直径两端写上自然数1,将此直径分得的两个半圆都对分,在每个分点上写上该点相邻两数之和,然后把分得的四个
圆周各自对分,在所分点上写上该点相邻两数之和,如此继续下去,问这样做第步之后,圆周所有分点上之和的和是多少？
由题意知
,
,
,
,
由此可猜想出
,则可利用数学归纳法证明.
解 由题意有
,
,
,
,
故猜想S＝,下面利用数学归纳法给予严格的证明.
当
时，命题显然成立;
设当
时，命题成立，则
;
当
时，
.
则证出时命题成立,从而证明对所有的自然数都成立.
4.2待定归纳法
解决与自然数有关的某一问题,首先应对结论的代数形式做一正确推测,并将结论用待定系数设出来,随之令其满足数学归纳法的各个步骤,从中得到待定系数的方程或方程组,求出待定系数,即可使问题得解.
例9求数列2
,4
,6
,…,2
的前项和.
因为数列的通项公式为
它是关于的多项式,与之类似的数列求和问题我们熟悉的有
（1）
（2）1
（3）
以上各式中，左端的通项公式及右端的和展开后都是关于的多项式,对其次数进行比较便可得到这样的结论:若数列的通项公式是关于的多项式,则其前项和是比通项公式高一次的多项式.对本题来讲,因为通项公式
是关于的三次多项式,所以我们猜想该数列的前项和是关于的四次多项式,故可设
.
解 令满足数学归纳法的各个步骤,
即
时上式均成立,有
①
②
又因为
③
比较②、③两式同类项系数可得
解方程得
代入①式有
,
故
5 逐差法
针对一类高阶等差数列求和问题.某些数列的构成规律不十分明显,我们可以逐次求出它的各阶差数列,如果某一阶差数列正好是等差数列或等比数列,那么可以利用这些数列的有限和得出原数列的一个通项公式,然后再求出其前项和
例10求数列5,6,9,16,31,62,…的前项和
考虑数列的各差数列:
原数列:5,6,9,16,31,62,…
一阶差数列:1,3,7,15,31,…
二阶差数列:2,4,8,16,…
由于二阶差数列是等比数列,可用逐差法求数列的通项,然后再求其前项和
解 设原数列为,一阶差数列为,二阶差数列为
那么
…
以上
个式子相加,有
.
因为
,所以
.
又 
…
所以
.
因为
,所以
.
数列的前项和为
第二篇：数列高考综合题方法总结
数列知识
数学探索©版权所有www.delve.cn（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．
数学探索©版权所有www.delve.cn（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．
数学探索©版权所有www.delve.cn（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题．
1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.
2.通项公式：如果数列
的第
项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即
.
3.递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项
与它的前一项
（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即
或
，那么这个式子叫做数列的递推公式.
⒋数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.
⒌ 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.
其中i有界数列:存在正数
使
.
ii无界数列:对于任何正数,总有项使得
.
等差数列
1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
即：
2.等差数列的判定方法：
①定义法：对于数列，若
(常数)，则数列是等差数列。
②等差中项法：对于数列，若
，则数列是等差数列。
③
(
为常数).
3.等差数列的通项公式：
如果等差数列的首项是
，公差是
，则等差数列的通项为
。
4.等差数列的前n项和：
①
②
5.等差中项：
如果
，
，
成等差数列，那么叫做与的等差中项。即：
或
推广：2=
6.等差数列的性质：
递推公式
；
①．等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，
是等差数列的第
项，且
，公差为，则有
②.对于等差数列，若
，则
。
③．设数列是等差数列，
是奇数项的和，
是偶数项项的和，
是前n项的和，则有如下性质：
(i)奇数项
(ii)
；
(iii)
；
(iv)若等差数列的前
项的和为
，等差数列
的前项的和为
，则
.
④
（
可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若不为0，则是等差数列充分条件）.
⑤等差{
}前n项和
→
可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件.
⑥非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）
⑦⑴在等差数列中，若项数也构成一个等差数列，则
为等差数列，公差为
⑵等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍
；
⑶数列是等差数列，则数列
、
（
是常数）都是等差数列；
⑷若等差数列的前项和
，则
是等差数列；
⑸若
、
是等差数列公差分别为d,d’则
(
、是非零常数)也成等差数列公差为kd+kd’；
(6) 若是等比数列公比为q，且
，则
是等差数列公差为q.
(7)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究
.
⑧常用公式：1）: 1+2+3+...+n = 
2） 1+3+5+...+(2n-1) =
3）
4） 
5） 
6） 
7) 9，99，999，…
； 5，55，555，…
.
⑨在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题：
i当>0,d<0时，满足
的项数m使得
取最大值.
ii当<0,d>0时，满足
的项数m使得取最小值。
⑩为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，
…（公差为）；偶数个数成等差，可设为…，
,…（公差为2）
等比数列
1．定义：
2.等比中项：
如果在与之间插入一个数
，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项。也就是，如果是的等比中项，那么
，即
。
注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.
3.等比数列的判定方法：
⑴定义法：对于数列，若
，则数列是等比数列。
⑵等比中项：对于数列，若
，则数列是等比数列。
4.等比数列的通项公式：
如果等比数列的首项是，公比是
，则等比数列的通项为
。
5.等比数列的前n项和：
6.等比数列的性质：
⑴等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有
⑵对于等比数列，若
，则
也就是：
。
⑶若数列
是等比数列，
是其前n项的和，
，那么
，
，
成等比数列。
⑷数列是等比数列，则数列、（
是常数）都是等比数列；
⑸在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为
.
⑹等比数列的前
项和公式的常见应用题：
i生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为
，年增长率为
，则每年的产量成等比数列，公比为
. 其中第年产量为
，且过年后总产量为：
ii银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为
元. 因此，第二年年初可存款：
=
.
iii分期付款应用题：为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；为年利率.
⑺看数列是不是等比数列有以下四种方法：
i. 
，是a、b、c成等比的双非条件，即
a、b、c等比数列.
ii. （ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.
iii. 
→为a、b、c等比数列的必要不充分.
iv. 
且
→为a、b、c等比数列的充要.
⑻
(
为非零常数) 成等比.
⑼正数列{
}成等比的充要条件是数列{
}（
）成等差数列.
⑽
数列的求通项方法
1. 
：这类其实就用叠加法就可以了
……..
把这些全部加起来就有
2. 
：这类类比上面的用叠乘法即可。
3. 
：这个在实际其实用的是挺多的，处理方法就是待定系数
设
，展开，得
综合上面两式，就有
令
，则有
，这就是我们最常见的等比啦，于是
4.还有一个和这个有相似都是在左右加减的，即
右边是关于
的分式，这也就是个分式递推关系。
可以令
（也就是求式子右边所表示的函数的不动点）
当求两个不等根
时，用原式在左右两边减
得
将右边通分化简
同理可得
将这两个式子相除得
其实你会很快发现这中间有个等比数列，然后就用
去代替求通项再求
当求两个等根
时，用原式在左右两边减
得
将右边通分化简，然后很容易找到等差数列然后同样用去代替求通项再求
5. 
：处理这类关系，只要在两边同除
，再令
转化为第一种去求
6. 
：左右都为乘积时，可考虑取对数化积为加
即
再令
即可转化为第三种来求
7.（特征根）
这个也很重要，用的较多
解方程
(称作特征方程)得两根
(称作特征根)
若
，则通项为
若
，，则通项为
其中系数p,q有给定的初始值
确定，从而求出通项
数列的求和方法
(1)等差与等比数列
(2)裂项相消法： 
(3)错位相减法：
, 
所以有
⑷倒序相加法
求数列{an}的最大、最小项的方法
an+1-an=……
(an>0)
an=f(n) 研究函数f(n)的增减性