数列求和的基本方法和技巧
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础。 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧。
一、公式法
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。
1、 差数列求和公式：Sn(a1?an)n?
2?na?n(n?1)
12
d ?na1(q?1)2、等比数列求和公式：S???an
n?1(1?q)a1?1?q
??anq1?q(q?1)
n
3、S??k?1n
(n?1) 4、S2
1nn?k?1
2?k?(n?1)(2n?1)
k?16n4、Sn?
?k
3
?[1
(n?1)]2k?1
2
例 ：已知log?123x?
log，求x?x?x3?????xn
????的前n项和. 23
解：由log13x?
?log3?log??log1
3x32?x?2
2 由等比数列求和公式得 Sn?x?x2?x3?????xn
＝x(1?xn)
1?x
1(1?1＝n)
1?12＝1－12
n
解析：如果计算过程中出现了这些关于n的多项式的求和形式，可以直接利用公式。
二、错位相减
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列。
bn}的前n
例：求数列a,2a2,3a3,4a4,…,nan, …(a为常数)的前n项和。 解：若a=0, 则Sn=0
若a=1,
则Sn=1+2+3+…+n= 若a≠0且a≠1
则Sn=a+2a2+3a3+4a4+…+ nan ∴aSn= a2+2 a3+3 a4+…+nan+1 ∴(1-a) Sn=a+ a2+ a3+…+an- nan+1
…… …… 余下全文
4、
5、
，求
的前n项和.
＝
＝
＝1－
若a=1, 则Sn=1+2+3+…+n= 
（要记忆） 4、
（要记忆）
，求
的前n项和.
（利用常用公式）
＝
＝1－
………………………①
}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{
}的通项之积
………………………. ② （设制错位）
4、
，求
的前n项和.
则Sn=1+2+3+…+n= 
=
∴Sn= 
4、
，求
的前n项和.
＝
＝1－
则Sn=1+2+3+…+n= 
4、
，求
的前n项和.
