有理数知识小结
一、有理数
整数包括：正整数、零、负整数；分数包括 、 ； 和
统称为有理数。非负数：正数和零；非正数：负数和零；非负整数：正整数
和零；非正整数：负整数和零。
例1 认真找一找
在有理数1.7， －17， 0， 
，－0.001， 
， 2003， 3.14， 
， －1中，
负数有：{ } 正数有：{ }
分数有：{ } 整数有：{ }
非负整数有：{ }
变式 把下列各数填到相应的括号中：
－6
； 3.1415； －10； 0.62； －
； 18； 0； －2.3； 7
，
（1）整数集合：{ ……}
（2）负数集合：{ ……}
（3）非正数集合：{ ……}
（4）分数集合：{ ……}
（5）非负整数集合：{ ……}
暂停之思：
例2 1、下面说法正确的有 （填序号）
(1)正整数和负整数统称有理数;
(2)0既不是正数,又不是负数;
(3)正数和负数统称有理数；
（4）相反数等于它本身的数是不存在的；
（5）互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等；
(6)数轴上的点只能表示有理数；
(7)若一个数是有理数，则这个数不是分数就是整数
变式 1.最小的自然数是 ；最大的负整数是 ；绝对值最小的数是 ；非负数有最 数（填大或小）；非正数有最 数（填大或小）；
2.把-
，-，-0.3，-0.33按从大到小的顺序排列 。
3.如果水位下降3米记作-3米，那么水位上升4米，记作
二、数轴
数轴：
比较数的大小：右边的总比左边的大；正数大于0，负数小于0，正数大于负数；
例3 如图1－14所示A、B、C、D四点在数轴上分别表示有理数
，请用“＜”将连接起来 .
变式 1.在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“ ＜ ”把这些数连结起来
3．5 ，－3.5 ，0 ， 2 ，－2 ，－ ， 0.5
2．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图1－16所示，试用“＞”将有理数
连接起来．
3．如图1-15，一滴墨水洒在一条数轴上，根据图中标出的数值判断墨迹盖住的整数的个数有多少个?
暂停之思：
三、绝对值和相反数
相反数：只有符号不同的两数互为相反数；0的相反数是0，a的相反数是-a。
绝对值：（代数意义）一个数所对应的点与原点的距离叫这个数的绝对值；
代数意义：正数的绝对值是 ，负数的绝对值是 ，0的绝对值是 ；
即
．所以 
（绝对值的非负性）
说明：（Ⅰ）
即
是一个非负数；（Ⅱ）概念中蕴含分类讨论思想。
倒数:若
互为倒数，则
= .若互为负倒数，则= .
绝对值的概念
1.绝对值等于本身的数是 ；绝对值等于其相反数的数是 ；
2.若 
，则
0，
3.已知
，则
的取值范围是 。
4.绝对值大于2.5不大于5的所有整数是___________________________
5.如果
，则=_____
_；如果
，则=______；
如果一个数的绝对值是2，则这个数的相反数是 .
6.若
，则
的大小关系是 （用“>”连接起来）．
7.下列说法不正确的是（ ）
（1）有理数的绝对值一定是正数
（2）数轴上的两个有理数，绝对值大的离原点远
（3）一个有理数的绝对值一定不是负数
（4）两个互为相反数的绝对值相等
8.M点在数轴上表示
，N点离M的距离是3，那么N点表示（ ）。
A 
B 
C 或 D 或1
绝对值中的分类讨论思想（双解问题）
1.如果
，则
= ；如果，且
则= ；
2.已知
，则
= .
3.已知
，
，
.
求：（1）
的值； （2）代数式
的值.
4.已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，的绝对值是2，求代数式
的值
绝对值的非负性
例4 若
，则
=_______,
=______
.
变式 如果有理数、满足
，
试求
……
的值。
绝对值的化简
1.已知
，那么
的最大值等于（ ）
A.1 B.5 C.8 D.3
2.已知在数轴如图所示，
化简：
3.已知
，
，请化简
4.已知在数轴上位置如图：求代数式
的值
四、有理数的运算
一:有理数的混合运算方法归纳：
1、先乘方、后乘除、最后加减，如有括号先算括号里面的；
2、灵活运用运算律，使运算简化；
3、灵活进行小数、分数的转化；
4、在进行混合运算时，以“+”“-”为准，先把算式分为几段，再分别计算每一段。
二：求
个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在
中，叫做底数，叫做指数，读作的次幂。
例1：计算
1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、
9、
10、
有理数运算的应用
1.如果
那么下列各式中大小关系正确的是 （ ）
A.
B.
C.
D.
2．如果均是非零的有理数，且
。求
的值。
3.有理数均不为0，且
，设
，试求代数式
的值
五、有理数的应用
1.下表是我国长江某段在汛期一周的水位变化情况（单位：m）.（8分）
注：长江此段的警戒水位为35.50米，“+”表示比警戒水位高，“－”表示比警戒水位低.
问：长江该河段本周水位最高的一天是哪天？最低的一天是哪天？；为什么？
2.M国股民吉姆上星期买进某公司月股票10000股，每股23元，下表为本周内每日该股的涨跌情况 (星期六、日股市休市) (单位：元)
(1)星期三收盘时，每股是多少元？（1分）
(2)本周内每股最高价多少元？最低价是多少元？（2分）
(3)已知吉姆买进股票时付了1.5‰的手续费，卖出时还需付成交额1.5‰的手续费和的1‰交易税，如果吉姆在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？(3分)
3.某超市对顾客实行优惠购物，规定如下：（1）若一次性购物少于200元，则不优惠；（2）若一次性购物满200元，但不超过500元，按标价给予9折优惠；（3）若一次性购物超过500元，其中500元以下部分（包括500元）按标价给予9折优惠，超过500元部分按标价8折优惠．李明两次去超市购物，分别付款198元和554元，现在王娟准备一次性地购买和李明分两次购买同样多的物品，他需付多少元？
4.观察下面一列数：-1，2，-3，4，-5，6，-7，．．．，将这列数排成下列形式
按照上述规律排下去，那么第10行从左边第9个数是_________________________.
5.“十·一”黄金周期间，成都欢乐谷在前7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）：
（1）若9月30日的游客人数为2万，请问10月2日的游客人数多少万人 。 （2分）
（2）请判断七天内游客人数最多的是第几日，最少的是第几日。 （2分）
（3）如果每位游客消费130元，这7天成都欢乐谷共收入多少元钱？ （2分）
（4）以9月30日的游客人数为0点，用折线图表示这7天的游客人数情况：
人数变化（万人） （2分）
3.2
2.8
2.4
2.0
1.6
1.2
0.8
0.4
6.有若干个数，第一个数记为
，第二个数记为
，第三个数记为
，…，第n个数记为
，若
，从第二个数起，每个数都等于：1与它前面的那个数的差的倒数。试求
的值，并推断
的值，写出推断过程．
a是不为1的有理数，我们把
称为a的差倒数．如：2的差倒数是
，的差倒数是
．已知
，是的差倒数，是的差倒数，
是的差倒数，…，依此类推，则
．
第二篇：《有理数》知识要点
第一部分 有理数
1、 正数：即以前学过的0以外的数叫做正数（根据需要，有时在正数前面也加上“+”）
2、 负数：在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数。
3、 整数：正整数、0、负整数统称整数
4、 分数：正分数和负分数统称分数
5、 有理数：整数和分数统称有理数。有理数还可按符号分为正、负有理数和0
6、 数轴：规定了原点、正方向、单位长度的一条直线叫数轴。原点表示0，
数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大。
7、 相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。任意一对相反数之和都等于0
8、 绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|。
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
两个负数，绝对值大的反而小。
9、 倒数：乘积是1的两个数互为倒数（0没有倒数），任意一对倒数之积都等于1.
10、 科学记数法：把一个数表示成a×10 n（其中1≤|a|＜10,n为整数）的形式就是科学记数法
11、 有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数 的有效数字
12、 有理数的加减法
有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。
（3）一个数同0相加，仍得这个数。
有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。
13、有理数的乘除法
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数同0相乘，都得0。
有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数，都得0。
14、有理数的乘方：求n个相同因数的积的运算，叫乘方，乘方的结果叫幂。
n个a相乘，即a的n次方，记作：an，a叫做底数，n叫做指数。
负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0。
15、有理数的混合运算：
（1）先乘方、再乘除，后加减，
（2）同级运算，从左到右依次计算
（3）有括号先算小括号里的，再算中括号里的，后算大括号里的
（4）可以灵活运用运算律使计算简便