椭圆及其标准方程教学设计

金牛中学 刘文

【设计理念】： 本节借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，充分体现学生的主体地位和教师的主导地

位，让学生在思维参与中学会学习、学会合作、学会创新。让探究式教学走进课堂.

一、【教材分析】：

1、教学内容：高中教材第二册上第八章第一节，椭圆及其标准方程，本节研究椭圆的定义、图形及标准

方程的推导，让学生了解和体验椭圆的定义的推导和标准方程。

2、教学地位：本节是第八章的基础，也是本章的重点内容, 在高考中也是重点考察内容之一,是作为承上

启下的一重要内容.

3、教学重点：椭圆定义、标准方程

4、教学难点：椭圆标准方程的推导

二、【教学目标】：

1、知识目标：①掌握椭圆定义。

②掌握椭圆标准方程的推导及标准方程。

2、能力目标：通过椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几

何问题的能力。

3、情感目标：①通过学生个性化的学习增强学生的自信心和意志力。

②通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流

的意识。

③通过神州五号的引入对学生进行爱国主义教育，增强民族自豪感。

4、学科渗透：通过对椭圆的图形认识、定义的引入、标准方程的推导提高对各科知识的综合运用能力体

现了数学是基础学科，是工具学科。在各个领域内有广泛的应用。

三、【学情分析】：

1、年龄、认知特点：高二年级的学生，已具备了对几何图形的一定水平层次的想象能力，和一定的逻辑

推理能力和分析问题的能力。

2、应具备的旧知识和技能： 应熟练掌握曲线和方程的关系，求曲线方程的方法和步骤，具备一定的观

察能力和分析能力。

3、本课应获得能力训练：通过本节的学习强化探索能力、几何图形构造能力的训练，了解数形结合思想。

四、【教法和学法的分析】：

1、通过探究式教学方法充分利用现实情景，尽可能的增加教学过程的趣味性、实践性。利用多媒体课件

和实物模型等丰富学生的学习资源，生动活泼的展示图形，强调学生动手操作试验和主动参与。

2、教师是学生的学习的组织者、促进着、合作者，在本节课的备课和教学过程中，为学生的动手实践，自

主探索与合作交流的机会搭建平台，鼓励学生提出自己的见解，学会提出问题解决问题，通过恰当的教学方式已到学生学会自我调适，自我选择。

五、【教学媒体和教学技术的选用】

本次教学需要教具和多媒体课件的辅助，教具包括:直尺、细绳、钉子等几何画板制作的课件。它们的使

用可以更好的帮助学生认识图形，丰富直观，使学生的学习资源更为丰富。

六、【板书设计】:

椭圆的定义及标准方程

1. 椭圆的图形 3、例1 解题过程

2. 标准方程的推导 4、例2解题过程

① 焦点在x轴上的椭圆方程。

② 焦点在y轴上的椭圆方程

七、【教学过程说明】：

学生虽然对椭圆图形有所了解，但只限于感性认识，缺少理性的思考、探索和创新，这与缺乏必要的数学思想和方法密切相关。而这一点，恰恰是现代社会对人的基本要求，也是目前以德育为核心，以培养创新精神和实践能力为重点的素质教育所提倡的。所以，本节课力图从圆的定义和圆的方程的联系出发，借助类比的思想对动点有规律的运动作一些理性的探索和研究。同时，在学习运用过程中，对数形结合思想、分类讨论思想和化归思想加深认识。

八、【教学过程】：

1、知识回顾；圆的定义、求轨迹方程的一般思想方法等。(教师提问)

2、创设情境：以20xx年10月12日上午，神州六号飞船成功发射为引入；

有关数据：北京航天飞行控制中心主任席政介绍说，正在太空中遨游的神舟六号，每９０分钟环绕地球飞行一圈，２４小时内要绕地球飞上１６圈。飞到地球和太阳之间时，飞船太阳帆板在阳光下开始发电；飞到地球阴影中时，太阳帆板放电，每一圈飞行，航天员都经历了一次日升日落。 测控通信系统轨道专家刘迎春介绍说，飞船刚入轨时在近地点２００公里，远地点３４７公里的椭圆形轨道运行；第五圈变轨为距地面３４３公里的圆轨道，这时飞船速度为每秒７．８２０１８５公里，每圈飞行距离约为４２２２９公里，日飞行距离６７５６６４公里。

问题： 求“神州”六号飞船飞行轨道椭圆方程

过程1、放一段“神州”六号 升空和着陆的录像：

过程2、用几何画板演示飞行船绕地球运行模拟图。

学生思考：认真观察图形变化思考怎样求椭圆轨迹方程。

点评：通过录像激发学生的爱国热情，调动起好奇心，激发起学生的学习本课的兴趣。让学生感到数学无处

不在。

3、新课：

过程1：学生分组动手作椭圆的图形；

过程2：教师提出问题让学生思考：椭圆上的点具有什么特点？满足什么关系?怎样依据这些条件去求出方

程？

结论1：椭圆上的点满足： ｜P F1｜+ ｜P F2｜= 2a

过程3：教师指导学生怎样化简方程，学生动手列关系式推到方程。并分组探讨化简。

x2y2y2x2

结论2： a2?b2?1 (a>b>o) a2?b2?1

点评：通过学生自己动手操作，培养他们动手能力，合作精神。通过观察推导建立数学模型，使学生构建知识的一个过程。在轻松愉快的环境中获得了知识。

4、例题一

1、:求适合条件的椭圆方程

1）、两个焦点的坐标分别是（-3，0）（3，0），椭圆上一点到两个焦点的距离的和等于10；

2）、两个焦点的坐标是（0，-1）（0，1）并且椭圆经过电（2，3）

过程1：教师给学生思考时间，学生思考独立解决写出完整的解题过程后教师板书解题过程；

例题二、已知B 、C是两个定点｜BC｜=6切△ABC的周长等于16，求定点A的轨迹方程.。

过程2：引导学生建立坐标系，多种情况正确地给予肯定引导，寻求最简单的建立坐标系，利用多媒体显示图像。

点评：运用所学的知识解决问题，激发学生的兴趣，使学生会主动运用所学知识解决问题。

5、小结 ：知识总结：椭圆的定义，标准方程 ；思想方法总结

过程1：学生在教师的引导下小结，

过程2：教师提出几个值得注意的问题。

6、作业：课本96页4、5、6题

研究性作业：有余力的同学：查找资料、搜集数据，求神州六号飞行的轨迹方程。

点评：鼓励学生进一步探索，激发学生的爱国热情。

九、【教后反思】

1、教学科研融入教学中，让学生明白生活中处处有数学，通过让学生观察、猜想、推理等丰富多彩的活动达到了知识的主动构建与理解。

2、 充分利用在数学教学中的数学思想方法----数形结合思想、讨论思想和化归思想。

3、充分利用多媒体手段，以轻松愉快的动画演示，化抽象为形象，创设了直观的课堂教学效果，化解了知识

的难点。

4、课堂上教师应注意引导学生，在方法上，节奏上，思维上下功夫。

5、注意教学中的易错点和精彩点的展示。

【感悟】：好的课堂是一杯留香的清茶，回味悠长，数学课正是通过师生的思维的碰创，达到了一种境界。而这种境界正是学生在今后人生中的一种重要的财富。

第二篇：2.1.1椭圆及其标准方程(一)教学设计

2.1.1椭圆及其标准方程（一）

一、教材分析

本节课是新课标人教版选修1-1第二章《圆锥曲线方程》的第一节课，主要学习椭圆的定义和标准方程.它是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识.这一节课是在高一学完圆及其标准方程的基础上，将研究曲线的方法拓展到椭圆，又是继续学习椭圆的几何性质的基础；同时还为后面学习双曲线和抛物线作好准备.因此本节内容起到一个承上启下的重要作用.

二、学生分析

介于所教的文科班的生源情况较差，在初中阶段就带了帐的学生，学习高中数学的能力我们都非常清楚是怎样一个情况.在此就以这样的学生作为背景来设计这堂课，使之成为一节很有必要的研究性课.

由于学生基础差、底子薄，数学运算能力，分析问题、解决问题的能力，逻辑推理能力，思维能力都比较弱，所以在设计课的时候往往要多作铺垫，扫清他们学习上的障碍，保护他们学习的积极性，增强学习的主动性.

三、教学目标分析

根据教学大纲的要求，教材的具体内容和学生的认知心理，确定教学目标如下：

1、 知识与技能目标：理解椭圆的定义及有关概念；明确椭圆的标准方程的形式，能区分椭圆的焦点在X轴与Y轴上的不同；掌握椭圆的标准方程的概念，能够根据给定的条件求椭圆的标准方程.

2、过程与方法：通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力，注重掌握运用解析法研究几何的一般方法，注重动手能力、探索能力的培养。

3、情感态度与价值观：通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神，同时培养学生运动、变化和对立统一的观点.以“嫦娥1号”月球探测卫星的运动轨迹的视频演示，引入新课，激发学生学习数学的兴趣，增强学生的数学应用意识、创新意识，扩展学生的数学视野，并让学生受到爱国主义思想的教育，使之逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值.

四、学情分析与学法指导

学情分析：在学生已学习了圆的定义及其标准方程和掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念之后，学习椭圆定义及其标准方程，符合学生的认知规律，学生有能力学好本节内容.

学法指导：改变学生的学习方式是高中课改追求的基本理念。遵循以学生为主体，教师为主导，发展为主旨的现代教育原则。本设计笔者采用了以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题；以学生主动探索、积极参与、共同交流与协作为主体，在教师的引导下，学生“跳一跳”就能摘得果实；于问题的分析和解决中实现知识的建构和发展.通过不断探究、发现，让学生的学习过程成为心灵愉悦的主动过程，使师生的生命力在课堂上得到充分的发挥.

五、教学重点、难点及其解决办法

教学重点：椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程.

解决办法：采用了循序渐进、逐层推进的方法.

教学难点：椭圆标准方程的建立和推导.

解决办法：为突破难点，在设计中通过课堂精心设问.

①教师问：化简含有根号的式子时，我们通常有什么方法？

②教师问：对于本式是直接平方好呢还是恰当整理后再平方？

六、教学方法与教学手段

教学方法：为了使学生更主动地参加到课堂教学中，培养他们的能力，发展他们的“最近发展区”，以及为了实现本课的教学目标，本课采用探究式教学法即教师通过“问题诱导→实验探究→探索结果”， 引导学生“直接观察——归纳抽象——总结规律”的一种研究性教学方法. 使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力.

教学手段：多媒体辅助教学、动手实验.

教学准备:课件（包括PPT课件、视频、几何画板课件）、准备几副画椭圆工具（每副包括一块木板、两颗图钉、一根细绳，一张白纸）.

七、教学过程

(一) 创设情景，提出课题

提出问题:20##年10月24日是全中国人感到骄傲和自豪的日子,这一天在中国发生了什么震惊世人的事件？中国人终于实现了什么梦想？请问嫦娥1号月球探测卫星的运行轨道是什么？

创设情景:情境1: 视频演示我国20##年10月24日发射嫦娥1号探月卫星运行的轨迹,并用几何画板演示行星运行轨迹.

情境2:生活中,你见过哪些类似椭圆的图形或物体?

(教师用多媒体演示)

学生思考：椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？

（二）实验探究，形成概念

1、动手实验：学生分组动手画出椭圆.

实验探究：

(1)固定一条细绳的两端,用笔尖将细绳拉紧并运动,在纸上你得到了怎样的图形?

(2)如果调整、的相对位置,细绳的长度不变,猜想你的椭圆会发生怎样的变化?

思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？

2、  引导学生概括椭圆定义

椭圆定义：平面内与两个定点、距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆.

教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距.

深化概念: (通过flash动态演示加深学生对椭圆定义的理解)

注：1、平面内.

2、若，则点P的轨迹为椭圆;

若，则点P的轨迹为线段;

若, 则点P的轨迹不存在.

思考：焦点为、椭圆上任一点M，有什么性质？

令椭圆上任一点M，则有

（三）研讨探究，推导方程

1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程:

(1)求曲线方程的一般步骤是什么？

(2)建立坐标系的一般原则有哪些？

学生围绕两问思考、讨论可得：求曲线方程的一般步骤——建系设点、写出点集、列出方程、化简方程、证明（可省略）；建系的一般原则为：使已知点的坐标和曲线的方程尽可能简单，即原点取在定点或定线段的中点，坐标轴取在定直线上或图形的对称轴上，充分利用图形的对称性.

[设置依据]让学生明确思维的目的，通过复习旧知，为下一步学习搭桥铺路.

2、研讨探究

问题：如图已知焦点为、的椭圆，且=2c,对椭圆上任一点M，有

，尝试推导椭圆的方程。

 

思考:怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？

通过前面知识的回忆，学生思考、相互交流，很容易选定下列两种方案，由各组学生自己完成设点、列式、化简.

方案一                             方案二

 

(1)建系设点：以两定点、的连线为x轴，以线段、的垂直平分线为y轴，建立坐标系，如图1

设M (x，y)为椭圆上任意一点，| F₁、F₂ |=2c(c>0) ，则有F₁（－c、0）、F₂ (c、0)，又设M与F₁、M与F₂的距离的和等于常数.

[设置依据]因为正确选取坐标系是解析几何解题的基本技巧之一，故设计目的是为了着重培养学生这方面的能力.

(2)写出点集：让学生利用两点的距离公式，根据椭圆定义列出：

(3)列出方程：

到此为止，学生以为椭圆的方程已求出，此时教师可以指出:为了更进一步利用方程探讨椭圆的其他性质需要尽量简化方程形式，使数量关系更加明朗化.

(4)化简方程：学生对含有两个根式之和的等式进行化简有一定困难，教师可采用以下方法突破难点：首先让学生明确，含根号的等式化简的目的就是要去掉根号，变无理式为有理式；其次复习含有一个根式的等式的化简方法——将根式放在等式的一边，其它项移到等式另一边，两边平方可去掉根号；有了这一基础，可启发学生，化简含两个根式之和的等式，只要将两个根式分别放在等号两边，其中一边只含一个根式，平方一次后即可转化为只含一个根式的化简问题.

教师引导学生化简，得到，指出：此方程形式还不够简捷，还有变形的必要.

思考：观察图形能找出图形中、所表示的线段及其关系吗？

先简化令则方程变为，联想到直线截距式方程，两边同时除以得

教师指出方程叫做椭圆的标准方程.此时椭圆的焦点在轴上，、，这里.

(5)证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点，一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，此步可以省略.如有特殊情况，应给出说明.

另外步骤(2)也可省略，直接列出曲线的方程.

[设置依据]再一次体现解析几何的基本思想，即用代数方法研究几何问题.在解决解析几何问题中，熟练运用代数变形技巧是十分重要的，学生常因运算能力不强而功亏一篑，故在此，教师不失时机地加强了运算技能的训练.

按方案一建立坐标系，师生研讨探究得到椭圆标准方程:

，其中；

如图２,如果焦点F₁、F₂在y轴上，并且点O与线段F₁、F₂ 的中点重合，a、b、c 的意义同上，椭圆的方程形式又如何呢？

学生相互讨论、交流，合情猜想，动手验证可得：

指出：方程叫做椭圆的标准方程.此时椭圆的焦点在轴上，焦点是、，这里

选定方案二建立坐标系，由学生完成方程化简过程，可得出+=1，同样也有 

教师指出：我们所得的两个方程+=1和+=1（）都是椭圆的标准方程。（建系过程通过几何画板动态演示）

[设置依据] 该问的设置，一方面是为了得出焦点在y轴上的椭圆的标准方程；另一方面通过学生的猜想，充分发挥学生的直觉思维和数学悟性.调动了学生学习的主动性和积极性，通过动手验证，培养了学生严谨的学习作风和类比的能力.

（四）归纳概括，方程特征

1、  观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳

（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；

（2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；

（3）椭圆标准方程中三个参数关系：；

（4）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定；

（5）求椭圆标准方程时，可运用待定系数法求出的值.

为了让学生加深对椭圆的两种标准方程的理解，下面举例，巩固练习.

（五）例题研讨，变式精析

例题：已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0),椭圆上一点到两焦点的距离的和等于，求它的标准方程.

变式：已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0),并且经过点，              求它的标准方程.

随堂练习：求下列椭圆的焦点的坐标.

      

（六）小结提问

1、本节课学习的主要知识是什么?你学会了哪些数学思想与方法?

椭圆的定义

2、椭圆的标准方程

（七）布置作业：    

1、课本p46 A组 1.  2 . （1）、 （2）、 （3）.

2、探究椭圆标准方程的其它推导方法.

3、思考题：已知直线经过椭圆 的一个焦点,且与椭圆交于A、B两点，求 的周长.

（八）板书设计: