子洲三中 数学   导学案

           20##-20##学年第 二 学期   高二  年级  班  组 姓名       

编写者 王治强  审核者          使用时间20##年  月  日

课题：2.1.1椭圆及其标准方程       

学习目标：

1、理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；

2、理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；

3、了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．

重点、难点：理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法

学习思路：认识椭圆→画椭圆→定义椭圆→推导椭圆方程→椭圆方程知识讲解→                   椭圆方程知识运用→本课小结→作业布置

自主学习

1.引导学生一起探究P₂₅页上的问题，准备无弹性细绳子一条（约60cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？

2.由上述探究过程容易得到椭圆的定义：                                     

                ．其中这两个定点叫做椭圆的       ，两定点间的距离叫做椭圆的        ．即当动点设为时，椭圆即为点集．

合作探究

1.椭圆标准方程的推导过程（见教材）：

思考：（1）已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系．

（2）无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理．

      （3）设参量的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、的关系有明显的几何意义．

（4）类比：写出焦点在轴上，中心在原点的椭圆的标准方程．

2.如何用几何图形解释    ？在椭圆中分别表示哪些线段的长？

3.已知椭圆两个焦点的坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过点，求它的标准方程．

基础达标:

1.椭圆的一个焦点坐标为(0，－3)，与y轴的交点为(0,5)，则满足条件的椭圆的标准方程为(　　)

A.   B.   C.   D.

2.若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是　     　　　　

              .

达标检测：

1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：

①两个焦点坐标分别是（-4，0）、（4、0），椭圆上一点Ｐ到两焦点的距离之和等于20；

②两焦点在坐标轴上，对称轴为坐标轴，且经过点（），和点（）.

2.  已知椭圆两焦点坐标分别是（0，-2），（0,2），并且经过点(，），求椭圆的标准方程.

★3.已知B,C是两个定点，|BC|=10，且DABC的周长等于22，求顶点A满足的一个轨迹方程。

学习小结：

学后反思：

个人笔记：

第二篇：案例名称椭圆的标准方程

案例名称：椭圆的标准方程

科目：数学      教学对象：高二                                      课时：1

提供者：郭占红

 单位：中宁县中宁中学

一、教学内容分析（简要说明课题来、学习内容、这节课的价值以及学习内容的重要性）

  本节课是高中新课程人教A版数学选修1—1第二章第一单元《椭圆及其标准方程》的第一课时.

　　本节的内容是继学习圆之后运用 “曲线和方程”理论解决具体二次曲线的又一实例.从知识上说，它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，推导椭圆的标准方程的方法对双曲线、抛物线方程的推导具有直接的类比作用，.因此，这节课有承前启后的作用，是本节乃至本章的重点

   教学目标（从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度对该课题预计要达到的教学目标做出一个整体描述）

    基于新课标的要求，结合本节内容的地位，我提出教学目标如下：

　　（1）知识与技能：

　　①了解椭圆的实际背景，经历从具体情景中抽象出椭圆模型的过程；

　　②使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过程.

　　（2）过程与方法：

　　①让学生亲身经历椭圆定义和标准方程的获取过程，掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想；

　　②学会用运动变化的观点研究问题，提高运用坐标法解决几何问题的能力. 

　　（3）情感态度与价值观：

　　①通过主动探究、合作学习，感受探索的乐趣与成功的喜悦；培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索创新的科学精神.

　　②通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨，

③通过椭圆知识的学习，进一步体会到数学知识的和谐美，几何图形的对称美；提高学生的审美情趣.

三、学习者特征分析（说明学习者在知识与技能、过程与方法、情感态度等三个方面的学习准备（学习起点），以及学生的学习风格。最好说明教师是以何种方式进行学习者特征分析，比如说是通过平时的观察、了解；或是通过预测题目的编制使用等）

1.能力分析

①学生已初步掌握用坐标法研究直线和圆的方程，②对含有两个根式方程的化简能力薄弱。

2.认知分析

①学生已初步熟悉求曲线方程的基本步骤，②对曲线的方程的概念有一定的了解，

3.情感分析

学生具有积极的学习态度，强烈的探究欲望，能主动参与研究。

改变学生的学习方式是高中课改追求的基本理念。遵循以学生为主体，教师为主导，发展为主旨的现代教育原则。我采用了通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题；以学生主动探索、积极参与、共同交流与协作为主体，在教师的引导下，学生“跳一跳”就能摘得果实；于问题的分析和解决中实现知识的建构和发展。通过不断探究、发现，让学生的学习过程成为心灵愉悦的主动过程，使师生的生命力在课堂上得到充分的发挥。激发学生的学习兴趣和创新能力，帮助学生养成独立思考积极探索的习惯。

 四、教学策略选择与设计（说明本课题设计的基本理念、主要采用的教学与活动策略）

    椭圆的标准方程共两课时，第一课时所研究的是椭圆标准方程的建立及其简单运用，涉及的数学方法有观察、比较、归纳、猜想、推理验证等，我校学生基础差、底子薄，数学运算能力，分析问题、解决问题的能力，逻辑推理能力，思维能力都比较弱，所以在设计课的时候往往要多作铺垫，扫清他们学习上的障碍，保护他们学习的积极性，增强学习的主动 。在教法上，主要采用探究性教学法和启发式教学法。以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习

 五、教学重点及难点（说明本课题的重难点）

  重点难点

基于以上分析，我将本课的教学重点、难点确定为：

①重点：椭圆定义和标准方程

②难点：椭圆的标准方程的推导。

 六、教学过程（这一部分是该教学设计方案的关键所在，在这一部分，要说明教学的环节及所需的资源支持、具体的活动及其设计意图以及那些需要特别说明的教师引导语）

  一. 创设问题情境：

1．情境1给出椭圆的一些实物图片：天体运行图（月亮绕地球，地球绕太阳旋转）、汽车油罐的横截面，立体几何中圆的直观图……

实物：圆柱形杯倾斜后杯中水的形状。

 情境2校园内一些椭圆形小花坛         

问题 学校准备在一块长3米、宽1米的矩形空地上建造一个椭圆形花园，要尽可能多地利用这块空地，请问：如何画这个花园的边界线？                            

（学生现在还不能解决，只有通过今天这节课的学习才能解决这个问题）

   这是实际生活中图形，数学中我们也遇到这一类图形：归结为到两定点距离之和为定值的点的轨迹问题。如何用现有的工具画出图形？（启发学生用画圆的方法试着画图）

教师与学生一起找出上述问题的解决方案，并一同用给的工具画出图形，与上述图形相似——椭圆

 问题情境的创设应有利于激发学生的求知欲。为了学习椭圆的定义，我设计如下两个学生熟悉的情境：

通过情境1，让学生感受到椭圆的存在非常普遍。小到日常生活用品，大到建筑物的外形，天体的运行轨道。通过情境2，让学生主动思考如何画椭圆及椭圆的定义。

通过问题，要求学生以小组为单位进行实验、观察、猜想，激发学生探索的欲望和浓厚的学习兴趣，使学生的主体地位得到体现。

注重概念形成过程，通过

 3．归纳，形成概念

定义：到平面内两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。

定点F1、F2称为椭圆的焦点。

  问：哪些量是固定的、不变的？哪些量是变化的？

[学生讨论、作答]

问：椭圆如何定义？

[学生讨论、作答]

 讨论让学生都积极地参与到学习中来，体现学生主体意识，开动大脑，训练思维。

问：为什么常数要大于|F1F2|？不大于会如何？

  （学生继续分组讨论，请出代表说讨论的结果

 通过讨论对椭圆的定义有初步的感性认识。并作归纳。

在给出定义后，通过设问让学生加深对椭圆定义中的关键词汇的理解，进一步

二. 探求椭圆方程

（1）如何选取坐标系？

方案1：以一个定点为原点，两定点的连线为X轴

  回顾圆的方程的建立过程，首先是做什么？                    （提问学生）

   如何选择适当的坐标系来建立椭圆的方程呢

   学会建立适当的坐标系，构造数与形的桥梁，学会用解析的方法来解决问题，渗透数形结合的数学思想。

 方案2：以两定点的连线为X轴，其垂直平分线为Y轴

 

   学生可能有很多种建系方法，根据课堂的实际情况进行处理。不能否定学生的方法，让学生自己讨论那种建系方法更为合适，我想学生通过这些活动能够建立几种常见的坐标系，并列出相应的代数方程。我认为这样有利于培养学生的动手实验，分析比较，相互协作等能力。让学生体验到知识的产生过程。

 （2）推导方程

方案2的实施：

根据椭圆的定义可得：│PF1│+│PF2│=

[化简过程老师带着学生一起完成]

方程简化为：

方案1的实施：类似方案1中的方法,移项后平方，整理可得

把方程 叫做椭圆的标准方程。

由于这两种形式的方程都很简单，因此我们把这两种方程都叫椭圆的标准方程（其中 ）

 （3）如果椭圆竖起放置，怎样建系？

学生们自己写出F1、F2的坐标，以及列出方程，推导出与上面类似的结果

椭圆的标准方程为：   

三. 标准方程比较

（让学生讨论，归的标准方程有何异同）

（1）相同点

纳出这两种形式的标准方程有何异同）

（1）相同点

①方程中x，y表示椭圆上任意一点

②关于x，y的二元二次方程；

③焦点位置的判定：焦点在较大分坐标；

（2）不同点、

①方程形式      ②图形     ③焦点坐标

 由于化简两个根式的方程的方法特殊，难度较大，估计学生容易想到直接平方，这时可让学生预测这样化简的难度，从而确定移项平方可以简化计算。为此，我首先启发学生如何去掉根号较好，让学生动手比较，最后得出移项平方化简方程比较简单，这样有利于培养学生的分析比较能力。

七、教学评价设计（创建量规，向学生展示他们将被如何评价（来自教师和小组其他成员的评价）。也可以创建一个自我评价表，这样学生可以用它对自己的学习进行评价）

 椭圆方程的化简是学生从未经历的问题，方程的推导过程采用学生分组探究，师生共同研讨方程的化简和方程的特征，可以让学生主体参与椭圆方程建立的具体过程，使学生真正了解椭圆标准方程的来源，并在这种师生尝试探究、合作讨论的活动中，使学生体会成功的快乐，提高学生的数学探究能力，培养学生独立主动获取知识的能力

八、板书设计（本节课的主板书）

 

 【例1】判断焦点的位置并求其坐标：

（1）   （2）         （3）

【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）已知椭圆的焦点坐标是F1（－4，0）、  F2（4，0），椭圆上任一点到F1、F2的距离之和为10，求椭圆的标准方程。

（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点（， ）。

 九．教学反思

    椭圆是圆锥曲线中重要的一种，本节内容的学习是后继学习其它圆锥曲线的基础，坐标法是解析几何中的重要数学方法，椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例。本节课内容的学习能很好地在课堂教学中展现新课程的理念，主要采用学生自主探究学习的方式，使培养学生的探索精神和创新能力的教学思想贯穿于本节课教学设计的始终。

椭圆是生活中常见的图形，通过实验演示，创设生动而直观的情境，使学生亲身体会椭圆与生活联系，有助于激发学生对椭圆知识的学习兴趣；在椭圆概念引入的过程中，改变了直接给出椭圆概念和动画画出椭圆的方式，而采用学生动手画椭圆并合作探究的学习方式，让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程，有利于培养学生观察分析、抽象概括的能力。