课题：7.6 锐角三角函数的简单应用（一）
执教者：吴雪英 新海实验中学
点评人：孙朝仁 连云港市教研室
教 材：国标苏科版初中《数学》九年级（下）第54-55页
执教班级：连云港市新海实验中学九年级18班
上课时间：20##年12月5日上午3节
一、课标要求
运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。
二、教学目标及教学重难点
【知识与技能目标】利用构造直角三角形的方法解决与之相关的实际问题，通过问题的变式的训练，让学生感受到问题的"变"与"不变"，学会发现数学的本质，提高学生分析问题和解决问题的能力。
【过程与方法目标】让学生学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决的能力，帮助学生学会将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，培养学生用数学的意识。
【情感态度与价值观目标】让学生在自主探索、合作交流中获得成功的体验，建立自信心；让学生在解决问题的过程从中体会到学数学、用数学的乐趣，体验到学好知识，能应用于社会实践。
【教学重点】使学生学会将简单的实际问题转化为数学问题，并能选用适当的锐角三角函数关系式解决，提高他们分析和解决实际问题的能力。
【教学难点】让学生学会从实际问题中抽象出相应的数学模型，将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系。
【点评】本课的执教者所确立的教学目标不仅有知识与技能的达成目标，而且有过程与方法的揭示目标；不仅有学生认知方面的操作性目标，而且有学生情感态度方面的孕育目标；不仅有模糊性程度较高的"获得成功的体验、建立自信心、体会到学数学、用数学的乐趣"等意识目标，而且有操作性较强的"利用构造直角三角形的方法解决与之相关的实际问题、将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系"等行为目标。课堂教学目标设置的多元化、层次化、系统化、具体化，是新课程背景下课堂教学促进学生全面、和谐、持续发展的重要体现。
三、教学过程
1、设计思路
通过创设学生熟悉的问题情境，以学生感兴趣的，并容易回答的问题为开端，让学生在轻松、愉快地回答老师提出的问题后，带着成功的喜悦进入新课的学习。再在教师的启发下，引导学生逐步接触到问题的本质，带领学生共同探索解决问题的方法，努力让学生通过实践感受到问题的本质，提升学生的认识。
【点评】如何达成所预设的多元化目标呢？执教者从理性角度提出了三个层次的构想和设计。首先，课堂教学立足于学生已有的知识经验，遵循启发式教学原则；其次，依据原则选择立足于学生自我获取知识的引导发现式教学法，辅之以他法以及多媒体等教学手段；第三，立足于学生的自主发展而将教法融于与之相匹配的教学流程之中，并细化或分解为可操作的教学技艺，从而"逐步将学生引向知识的本质"。从听课情况来看，执教者能将宏观层面的原则，中观层面的方法和微观层面的技艺贯穿于课堂教学行为之中，使原则得以体现、方法得以应用、技艺得以展示。
2、教学媒体：多媒体辅助教学，展示动态变化
3、教学流程：
（一）创设情境、引入新课
投影展示我国著名数学家华罗庚先生的名言--"宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无不用数学。" 让学生初步感受数学与生活的紧密联系。
接着学生的"最喜欢玩"的回答开始新本节课的学习，激发学生的兴趣，创设良好的学习探索氛围。
【点评】"创设情境"是教学中常用的一种策略，有助于激发学生学习的积极性，有助于学生借助已有的知识和经验学习新的知识，有助于学生感受学科知识的价值。本课开始执教者借华老的一段"名言"，激发出学生"最喜欢玩"的天性，由此引出"小明和小丽开心地玩跷跷板"的问题，自然过渡，无缝对接。苏科版初中数学教材主编杨裕前先生曾经说过，一个好的情境应具有以下几个特征：一是学生所熟悉的；二是要简明的、真实的、合理的；三是能尽快将学生引向所要学习的知识本质。情境也有不同的类型，除了我们所熟知的"现实情境"外，还有"活动情境"、"问题情境"等。
（二）合作交流、探索新知
1、直角三角形的直接应用
【问题一】公园里，小明和小丽开心地玩跷跷板，当小丽用力将4 m长的跷跷板的一端压下并碰到地面，此时另一端离地面1.5m．你能求出此时跷跷板与地面的夹角吗？
T："另一端离地面1.5m"如何理解？
S：就是过其端点向地面作垂线，垂线段的长度就是1.5m。
S：（另一学生迫不及待地说）老师我知道了，我已经看出有直角三角形了
T：是吗？说说看！
S：如果我们把"碰地"的一端端点看作点A的话，"跷跷板"看作线段AB，那么过B点向地面作垂线，垂足为点C，这样就出现了△ABC。
T：接下来应该做什么呢？
S：只要解这个直角三角形，求出∠A的大小就行了。
......
【变式】如果小丽将跷跷板压下后，离地面还有0.5m，那么跷跷板与水平面的夹角是多少？
【拓展】如图,（1）当奇奇乘坐登山缆车的吊箱经过点A到达点B时,它走过了200m. 在这段路程中缆车行驶的路线与水平面的夹角为30°,你知道缆车垂直上升的距离是多少吗?
（2）当奇奇要乘缆车继续从点B到达比点B高 200m的点C, 如果这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为60°,缆车行进速度为1m/s,奇奇需要多长时间能到达目的地？
T：缆车与跷跷板之间有无相似之处？
S：都可以放到直角三角形中加以解决。
......
【点评】在"直角三角形的直接应用"这一板块中，执教者设计了一个"主问题"、一个"变式"、一个"拓展"，层层推进，梯度合理，其层次性非常明显。在问题一的解决过程中，通过师生的对话，让学生初步经历"构造直角三角形"的过程，也就是让学生经历"将实际问题转化成数学问题"的全过程，换言之，是让学生经历"舍弃非本质属性留下本质属性"的过程。同时渗透了转化的思想，让学生感受在变化中蕴含着不变的思想。接下来，执教者在问题一的基础上，根据学生已有的生活经验，设置了一道变式题，此时，学生只需稍加分析，就会立即发现"问题改变的仅仅是所求角的对边的长度"。至此，学生的思维得到初步是激活。接着，执教者又进一步将问题进行"拓展"，将直角三角形中的条件进一步变化，帮助学生灵活理解实际问题中各量对应的模型，尤其是（2）中所求的时间实质是求BC间距离，从而让构造直角三角形解决问题成为学生有意识的行为，学生的思维得到了有效的激活。
我们都知道，在新课程的课堂教学中教师的功能角色是学习活动的组织者、引导者、合作者。这样一种理念，实际上并没有贬低教师在新课程的课堂教学当中的地位和作用,甚至是，教师的作用还得到了加强。不是吗，经过了近三年的新课程，我们大部分教师已经在实践当中深深地感到现在的课堂教学中老师的责任以及任务比过去重了,因为你自己要想讲什么东西给学生听是一回事，应该说是一件比较容易的事，对很多教师来说是"驾轻就熟"的事。但你要想让学生自己想办法弄懂这些事情，你就要去不断地引导他，不断地给予点拨给予启发，这比教师自己讲清楚一件事情可能更难。因为，此时教师的作用在于如何"让学生真正成为学习的主体"，实现"教是为了不教"的理想状态。本节课中的学生回答的"都可以放到直角三角形中加以解决"，不正是教师引导作用的结果吗？！
2、直角三角形的间接应用
【问题二】如图所示，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，那么秋千踏板与地面的最大距离为多少？
T：何时秋千踏板离地面最高？如何表示出秋千踏板与地面的最大高度？
S：就是当秋千达到最大摆角时其踏板离地面的高度。
T：这个距离方便直接求吗？
S：不方便。因为它不在某一个直角三角形中，需要构造直角三角形。
T：那该如何转化呢？
S：连接......
S：（另一学生脱口而出）不必这么麻烦。只需......得RtΔABC（如图4）。
T：你还能有其它解决问题的办法吗？如果能，请构造成新的直角三角形；如果不能，请你利用图4写出计算过程。
......
接下来，除如图4的方法外，学生还给出了多种转化的方法，下面实录3种：
【拓展】游乐场的大型摩天轮的半径为20m，旋转1周需要10min。小明乘坐最底部的车厢（离地面约0.5m）开始1周的观光。
（1）经过多长时间后，小明离地面的高度将首次达到10m?
（2）经过多长时间后，小明离地面的高度将再次达到10m?
（3）小明将有多长时间连续保持在离地面20m以上的空中?
图8
【点评】在"直角三角形的间接应用"这一板块中，执教者设置了"问题二"及"拓展"两个层次的问题。问题难度较前问题一有所增大，为此，教师用一串问题"如何表现出秋千踏板与地面的最大高度？这个距离能直接求吗？该如何转化？"等帮助学生自悟"要求秋千踏板距离地面的高度只需要求出踏板离链条固定点的垂直高度"这一道理，让学生形成与问题一的联系，最终构造出相应的数学模型。有了问题二的铺垫，学生很容易发现"摩天轮"问题只不过是变换了问题二的背景而已，其数学模型是一致的，三个问题均可以转化为问题一加以解决，让学生感受转化的思想在解决数学问题中的作用。
（三）学以致用，体验成功
运用本节所学数学思想和方法解决下面问题。
【问题三】某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼,该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房. 在该楼的前面要盖一栋高20米的新楼. 当冬季正午的阳光与水平线的夹角为30°时.
（1）如果新楼盖在居民楼前面15米处，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？
（2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？若新楼的影子恰好落在超市1米高的窗台处，两楼应相距多少米？
【点评】有了前两个问题的基础，学生已经对"构造直角三角形"来解决实际问题有了较为深刻的把握。从学生上课的反应来看，构造直角三角形来解决实际问题，已经在大部分学生的脑海里有了深深的"烙印"。此时执教者抛出"学以致用"板块，给出"问题三"，一方面是检验一下前两个问题的学习效果，看学生能否意识到需要构造直角三角形；另一方面也是检验学生面对新的情境真正意义上的分析问题、解决问题的能力是否得到了提高。从实际来看，应该是达到了预期的目标，学生普遍都能正确构造直角三角形来解决第（1）个问题；而对于第（2）个问题则需要学生在有了一定的"思维定势"后，具有突破"思维定势"的能力，分析"超市采光不受影响"以及"影子落在超市1米高的窗台处"的区别。执教者在处理上述两个问题时，同样是循序渐进地进行的，先是让学生"求出CE的高度"，此时对学生来说构造直角三角形是"易如反掌"的事。
应该说这一板块的教学是整个教学过程中的难点。问题教学是数学教学的核心，如何进行问题教学呢？执教者仍然坚持整个设计的指导思想，坚持了启发式教学原则和应引导发现式教学方法。尤其值得一提的是，学生在分析这两个问题时，居然"头头是道"，甚至说出了执教者未曾预料的分析思路，使教学达到了高潮，学生不仅掌握了"构造直角三角形"的技能，而且体验到独立获取解决问题方法的愉悦，增强了对数学的情趣。由此可见，提高数学问题教学的效率，不在于量的多少和单纯技能的传授，而应当加强问题解决方法的发现过程的思维教学，让学生在相对独立的活动中，提高分析问题、解决问题的能力。
（四）总结回顾、内化提高
1、通过本节课的学习，你最大的感受是什么？
2、送给学生一句话"一双能用数学视觉观察世界的眼睛；一个能用数学思维思考世界的头脑。"
（五）布置作业、巩固提高
课本第58页：习题7.6 第5、6两题。
四、教学反思
数学离不开生活，生活也离不开数学。在实际生活中，有不少问题的解决都涉及到数学中直角三角形的边、角关系。本节教材的主要内容是在学生研究了直角三角形的边、角关系后，探究如何利用上一节的知识解决与直角三角形有关的实际问题，而本节课注重联系学生的生活实际，侧重于解决与学生生活比较接近的实际问题，突出了学数学、用数学的意识与过程。
新课程标准要求学生能认识到现实生活中蕴含着大量了数学信息、数学在现实生活中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。因此本节课从创设学生感兴趣的生活情境开始，使学生从生活中体验数学的意义,激发学生的学习兴趣.有利于让学生体会数学来源于生活、服务于生活，符合新课标理念，同时自然地将学生的思维引入本节课的重点,为学生的思维营造了一个广阔的空间.
在教学过程中，我遵循由感性到理性，由具体到抽象的认识过程，启发学生审清题意，明确题中的各量的含义，将解直角三角形的知识始终与现实生活中学生熟悉的实际问题相结合，不断提高他们运用数学方法分析、解决实际问题的能力。基于学生的认识发展规律，我将课本的例题进行了适当的调整和延伸，让学生的认识从易到难，最终让学生形成构造直角三角形解决与之相关的实际问题的意识。在整个教学过程中，始终注重的是学生的参与意识，注重学生对待学习的态度是否积极；注重引导学生从数学的角度去思考问题，让学生主动暴露思维过程，及时得到信息的反馈。我在课堂上，尽量留给学生更多的空间，更多的展示自己的机会，让学生在充满情感的、和谐的课堂氛围中，充分调动学生的非智力因素，特别是内在动机，让他们以强烈的求知欲和饱满的热情来学习新知识，在老师和同学的鼓励与欣赏中认识自我，找到自信，体验成功的乐趣，从而树立了学好数学的信心。
五、总评
随着新课程改革的不断推进，数学课堂教学的水平有了明显的提高，好课率也在大幅度的上升，这说明我市加强对教师基本功的训练和新教材的培训已初见成效。同时，也为推进新课程背景下的数学课堂教学改革奠定了坚实的基础。在新课程改革进行一轮后，需要花大力气研究，需要更多的一线教师参与的是，如何在大面积提高好课率的基础上，推出一批具有坚实的理论依据、科学的教学设计、规范的操作流程的课改实验课、课改示范课等。本课就是从理论构想到实际教学都力图反映或体现这种教学改革的指导思想。
纵观本课的教学设计和实际的课堂教学，笔者有以下两点体会：一是整个教学设计的理论构想是比较清晰的。教学的指导思想明确，符合新课程改革的精神，体现新课程的理念。教学目标设置切合教学实际，达成的效果优良。教学结构安排比较合理，各环节衔接自然，教学方法选择得当，并能与各环节有机匹配、融为一体；二是理论构想与实际操作结合得较好。教师既是教育思想的传播者，又是教育思想的实践者。从教学设计中可以看出，执教者对新课程的理念、现代数学教学观以及数学教育改革趋向都有了一定的了解、把握，对贯彻现代数学教育观的教学方法以及现代课堂教学论的基本知识都具有一定的基础。同时，执教者又努力将新的教育思想、方法运用到数学课堂教学实践中，提高了本课教学的效率，应该说是一节具有新课程思想形态的"好课"。
当然，任何一节课都不可能是十全十美的。这节课从实际教学过程来看也还存在若干值得改进或探讨的问题。例如多媒体辅助教学怎样才能辅助到"点"子上，就拿本节课教学来说，都是由实例图经过"抽象"而得到"纯数学"的图形，这个工作如果用多媒体来做，在实例图上"隐去非本质"的色彩及图案等，剩下"骨架"，而这个"骨架"其实就是"纯数学"的图形，这样一来就可以让学生经历"看得见、摸得着"的数学建模过程，相信会留下更为深刻的印象，也会让学生获得更为有效的发展。
总之，数学课堂教学要有效地展开学生的思维活动，使每一位学生获得发展。为了每一位学生的发展，提高初中数学课堂教学的效率，将是一个永久性的研究课题。
作者简介
吴雪英 现任教于连云港市新海实验中学，中学一级教师，从教12年，工作一直兢兢业业，认真对待每一节课，努力提升自己的课堂教学水平，多次执教省、市级公开课。1999年参加连云港市初中数学青年教师基本功大赛荣获一等奖，20##年参加连云港市初中数学青年教师基本技能比赛荣获一等奖，20##年参加江苏省初中数学青年教师优质课评比荣获一等奖，同时获全国三等奖。
孙朝仁 男，1967年生。现任职于连云港市教育局教研室，江苏省中学数学特级教师。主持省教育科学"十五"规划青年专项课题、省教学研究课题以及3项市级课题的实验研究工作。在省市级以上专业刊物发表研究性文章80余篇，20篇论文在市级以上评比中获奖，主编或参编教辅用书40余本。95年获市基本功大赛一等奖；97年被评为市"百名教学能手"；98被评为第二届省"优秀青年数学教师"；99年记三等功一次；01年被评为省教育科研"先进个人"；01年获市教育局"九五"科研成果评比一等奖；02年获得市政府优秀学术论文评比三等奖；03年被评为市"数学"学科带头人，同年被确定为市"521"工程培养对象。
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