《方程的根与函数的零点》教学设计研究

内蒙古包头市北方重工业集团第三中学    数学       郭园园

   【课程分析】

    本节内容为新课标《函数与方程》中的教学内容，安排在了《函数的应用》中。为了提高学生对函数的广泛应用，以及函数与其他数学内容有机联系的认识，教科书加强了知识间的联系，具体体现在结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点和方程根的关系。对于进一步完善函数内容的知识体系，培养学生应用数学的意识都具有极为重要的意义。

    本节内容首先从已有的知识背景出发，从具体抽象出一般方程的根与相应函数零点之间的对应关系，要搞清楚方程的实数根就是相应函数图象与x轴交点的横坐标，就是相应函数的零点。学习的过程是一个由具体到抽象、特殊到一般的过程，方程式数根的存在与对应函数零点的存在是一致的，从而对于一个代数方程没有公式求解的情况下，可以通过转化为相应函数零点问题来解决。在闭区间上连续的函数存在零点的结论是结合函数的图象与性质直观给出的，不要求从理论的角度来证明，只要求会用就可以。并且该结论只说明满足条件的前提下，在该区间上有零点，没有明确几个，若需要确定零点的个数，还需要利用函数的性质来解决。课本注重思想方法的渗透，即以已知探求，注重抽象概念不同意义间的转换，即从实际意义、数值意义、几何意义等方面理解导数内涵与思想。目的在于，不仅让学生在数学的知识量上有所收获，而且能够体会其中蕴涵的丰富的思想，逐渐掌握数学研究的基本思考方式和方法。

本节要求学生结合一次函数、二次函数、二次函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系。学习的重点是方程的根与函数零点的联系，难点是函数零点的判断。

【学情分析】

【设计思路】

《高中数学课程标准》中明确指出：高中数学课程应倡导“自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式”。因为这些方式有助于发挥学生学习的主动性。正像张熊飞教授在《诱思探究学科教学论中》所指出：教师，不应该仅仅考虑自己怎么“教”，而应该突出考虑怎么样“教”学生“学”。课堂教学应该是灵动的，引而不发，因人善喻； 不言之教，合易以思。这是为师之道的根本。食贵自化，学贵自得；深思熟虑，积水成渊。这是为学之道的灵魂。为此，我曾苦苦思索，如何才能使教师的“教”与学生的“学”相一致呢？期间，一波三折，直到遇到诱思探究学科教学论。回忆以往的教学，也确实费了不少功夫：把概念的前因后果、关键字句、容易忽略的地方都一一呈现给学生，生怕学生走一点弯路。但是效果并不好，更甚至每次课下来，心总是悬着的，也不知道学生到底有没有掌握，掌握到什么程度。通过《诱思探究学科教学论》的学习，我领悟到：教师只有真正的调动起学生的学习主动性，课堂上坚持以学生的体验为红线，思维为主攻，才能形成教育的合力。

结合《诱思探究学科教学论》的指导思想，本节课是按照三个认知层次进行设计的，即复习回顾，奠定基础；合作探究，总结规律；学以致用，巩固提高。

在第一个认知层次上，探究具体的一元二次方程的根与其对应的一元二次函数的图象与x轴的交点横坐标之间的关系，作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系。第二个认知层次，学生在独立思考的基础上，根据数形结合的思想，通过合作交流探究方程的根与函数的零点尽管有密切的联系，但不能将它们混为一谈，之所以介绍通过求函数的零点来求方程的根，是因为函数的图像和性质，为理解函数的零点提供了直观的认识，并作为判断函数的零点是否存在和求出零点提供了支持，这就使方程的求解与函数的变化形成联系，有利于分析问题的本质。第三个认知层次，在学生对函数的零点与方程的根有了较深刻认识的基础上，去学以致用，巩固提高，从而完成对知识的迁移深化。这样设计旨在培养学生思维的灵活性，实现学生主体地位的基本特征即能动性、独立性、创造性和基础性。充分发挥了学生学习的积极性、主动性、实现了学生的主体地位。

课时安排是1节课，教学媒体设计是多媒体课件，及实物投影仪。

【学习目标】

1．理解函数零点的意义

2．会求简单函数的零点，了解函数零点与方程根的关系

【教学流程】

    一、复习回顾，奠定基础

{课件投影}（一） 问题1   求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数的图象与x轴的交点坐标

问题2  从上面的表格，你能发现方程的实数根与函数图象和X轴的交点具有什么样的关系吗？

 

要求：先独立完成，画出标准函数图象，然后小组内部交流答案并派代表展示结果，其它组的同学若有不同意见请及时补充完善.

设计意图：从学生熟知的、具体的二次函数入手，设置学生的最近思维发展区，使新知识与原有知识形成联系

  {课件投影} 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？

（要求：请同学们根据下面的表格，独立完成。然后小组内部交流意见和解题方法，并派代表展示结果，其它组的同学若有不同意见请及时补充完善.）

 

设计意图：由具体的一元二次方程和二次函数到一般的一元二次方程和二次函数，既有利于学生掌握知识，又有助于学生抽象思维能力的形成。

二、合作探究  发现规律

    （一）直观感知，形成思路

     {课件投影} 1、零点是点吗？

2、方程的实数根，函数的零点、函数y=f(x)的图象与x轴的交点有什么关系？

3、求函数零点的方法有几种？

（要求：独立思考上面的问题，2分钟后小组讨论给出答案，并说明理由。其它同学认真聆听，有不同意见及时补充完善）

设计意图：让学生自己探究出函数零点的性质，以及函数的零点和方程的根之间的关系，记忆更加深刻

{课件投影} 请同学们认真阅读习题，独立完成，2分钟后举手回答下列问题，其它同学如果有不同意见，请补充完善。

 

（一）观察二次函数的图象：

1、在区间(-2,0)上有零点______；_______，_______,·_____0（＜或＞）．

2、在区间(2,4)上有零点______；·____0  （＜或＞）．

（二）观察函数的图象

①在区间(a,b)上______(有/无)零点；f(a)·f(b)_____0（＜或＞）．

② 在区间(b,c)上______(有/无)零点；f(b)·f(c) _____ 0（＜或＞）．

③ 在区间(c,d)上______(有/无)零点；f(c)·f(d) _____ 0（＜或＞）．

设计意图：让学生观察二次函数在区间端点上的函数值之积的特点，引导学生发现连续函数在某个区间上存在零点的判断方法

（二）深化认识，总结规律

{课件投影}请认真阅读下面问题，先独立思考5分钟，然后小组讨论交换意见，并派代表发言。其它同学认真聆听，有不同意见及时补充完善

1、所有函数都存在零点吗？

2、若函数y=f(x) 在区间[a, b]内有零点，一定能得出f(a) · f(b)<0的结论吗？

3、若函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义，而且满足f(a) · f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上一定存在零点吗？

4、你能根据上述问题总结出在什么条件下才能确定零点的存在呢？

5、“有零点”是指有几个零点呢？只有一个吗？再加上什么条件就只有一个了？

         

设计意图：让学生通过这几个问题，自己总结出函数零点的存在性定理及唯一性定理。几个问题层层递进有助于学生理解所学内容

三、学以致用，巩固提高

{课件投影} （请同学们独立完成下面的习题，然后小组内部交流结果，并且派出代表发言，其它同学仔细聆听，若有不同意见请及时补充完善.）

解：例题1    求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。

用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1）和图象

 

设计意图：信息技术的使用有助于学生理解数学概念和数学思想，但不利用信息技术，也可能帮助学生从另一角度理解问题，从而加深学生对知识理解的程度。

【课后反思】

第二篇：方程的根与函数的零点(2)

§3.1.1  方程的根与函数的零点（2）

学习目标

1. 进一步理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系。

2. .掌握函数零点的存在性定理。

※学习重点、难点：

重点：掌握零点存在性定理并能应用

难点：零点存在性定理的理解

学习过程

一、知识链接

复习1：函数零点的概念

2：函数零点与方程根的关系

3：实例探究

已知函数y= x²+4x– 5，则其零点有几个？分别为多少？

（预习教材P₈₈，找出疑惑之处）

二、自主学习

探究1：

探究函数y = x² + 4x – 5的零点所在区间及零点存在区间的端点函数值的正负情况的关系

讨论：

1：函数y=f(x)在区间[a,b]上存在零点的的条件是什么？它与对应方程的根存在何关系？

新知： 函数零点存在性定理：

如果函数y = f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)·f (b)＜0那么，函数y = f (x)在区间[a，b]内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c) = 0这个c也就是方程f (x) = 0的根

探究1：定理的理解

（1）函数在区间[a，b]上的图象连续不断，又它在区间[a，b]端点的函数值异号，则函数在[a，b]上一定存在零点

（2）函数值在区间[a，b]上连续且存在零点，则它在区间[a，b]端点的函数值可能异号也可能同号

（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数

小结：

反思：

三、合作探究

※知识检测

1．求函数的零点

２．在同一坐标系中作出函数f(x)=lnx与 的图象。

３．求函数的零点个数。

小结：

※能力达标

４．判断函数的零点个数。

小结：

※拓展提高

5 ．已知f(x)是定义域为R 的奇函数，且在（－∞，0）内的零点有2011个，则f(x)的零点的个数为  

          个。

分析：

四、课堂小结

1．数形结合探究函数零点

2．应用定理探究零点及存在区间.

3．定理应用的题型：判定零点的存在性及存在区间.

达标练习

1.下列函数：①②③④,其中有2个零点的函数是       (    )

（A）①②       （B）③④

（C）②③       （D）④

2．函数的零点所在的区间是（   ）

（A） （0，）     （B）（，1）

（C）（1，）       （D）（，1）

3．若函数y=f(x)在区间（－2，2）上是连续的，且方程f(x)=0在（－2，2）上仅有一个实根0，则f(－1)·f(1)的值是                       （    ）

（A）大于0       （B）小于0

（C）等于0       （D）无法判断

4．若函数一定有零点，则实数a的取值范围是                     。

课后作业

1．  已知函数的两个零点是－1和2，且f(5)＜0,则此函数的单调递增区间为                       。

2．  若二次函数有一个零点小于－1，一个零点大于3，求实数a的取值范围。

3、若一次函数f(x)=kx+1－3k在区间[1，2]内有零点，求实数k的取值范围。

分析：